Giả sử cho mơ hình k nhân tố, chúng ta thiết lập một danh mục cĩ các hệ số nhạy cảm đối với các nhân tố là β1, β2,..., βk và giả định là danh mục đầu tư này cĩ (k+1) loại chứng khốn, mỗi loại chứng khốn thể hiện qua sự đo lường sau:
ri = αi + βi1F1 + βi2F2 + …+ βikFk + εi
Giả sử xi là tỷ trọng vốn đầu tư vào chứng khốn i trong danh mục đầu tư thì: βp1 = xiβ11 + x2β21 + … + xnβn1 βp2 = xiβ12 + x2β22 + … + xnβn2 …….. βpk = xiβ1k + x2β2k + … + xnβnk x1 + x2 + … + xn = 1
Thành lập một hệ phương trình ta tìm được xi để thiết lập danh mục đầu tư.
Ví dụ 5: Chẳng hạn với ba loại chứng khốn đã nghiên cứu ở trên, ta hình thành một danh mục đầu tư gồm ba chứng khốn đĩsao cho βp1 = 2, βp2 = 1. Hệ phương trình dưới đây được thiết lập:
xAGF + xBBC + xCAN = 1 0.966xAGF + 1.441xBBC + 0.980xCAN = 2
-3.272xAGF + 1.859xBBC + 0.298xCAN = 1
Vậy, tỷ trọng vốn đầu tư vào từng loại chứng khốn trên theo điều kiện đã cho là:
xA = 0.78119 xB = 2.23631 xC = -2.0175
Trong mơ hình k nhân tố, để lập được một danh mục đầu tư với cấu trúc
β mục tiêu xác định, ta cần cĩ (k+1) chứng khốn. 2.5. Danh mục nhân tố thuần nhất:
Danh mục nhân tố thuần nhất là danh mục cĩ hệ số nhạy cảm là 1 đối với một trong các nhân tố, cịn đối với các nhân tố khác cịn lại, danh mục đĩ cĩ các hệ số nhạy cảm bằng 0.
Trong mơ hình k nhân tố, ứng với mỗi nhân tố, ta sẽ tạo được một danh mục đầu tư thuần nhất từ (k+1) sự đầu tư (các đầu tư này đều khơng cĩ rủi ro riêng).
Chúng tơi sẽ lựa chọn các cổ phiếu cĩ mức rủi ro riêng (σ của hàm hồi quy) thấp nhất.
Ví dụ 6: Như vậy, với ba loại chứng khốn GMD, HAS, VTC:
rGMD = 0.010 + 0.878F1 - 2.526F2
rHAS = 0.009 + 0.849F1 + 1.812F2
rVTC = 0.026 + 1.382F1 - 2.055F2
Chúng ta thiết lập hai danh mục đầu tư thuần nhất đối với F1, F2 từ ba loại chứng khốn trên (tức là tìm tỷ trọng của từng loại chứng khốn trong từng danh mục đầu tư thuần nhất).
Để thiết lập danh mục nhân tố chỉ chịu ảnh hưởng bởi nhân tố thứ nhất F1 (tức là βp1 = 1, βp2 = 0), ta cần tìm các tỷ trọng xC, xG, xS thỏa:
0.878xC + 0.849xG + 1.382xS = 1 -2.526xC + 1.812xG – 2.055xS = 0 xC + xG + xS = 1
Và kết quả ta cĩ được là: xC = 0.17358, xG = 0.55256 , xS = 0.27385.
Tương tự, để thiết lập danh mục nhân tố chỉ chịu ảnh hưởng của nhân tố thứ hai F2 ( tức là βp1 = 0, βp2 = 1), ta cũng giải hệ phương trình sau:
0.878xC + 0.849xG + 1.382xS = 0 -2.526xC + 1.812xG – 2.055xS = 1 xC + xG + xS = 1 Tỷ trọng cần cĩ của mỗi loại chứng khốn là:
xC = 1.68903, xG = 0.99574, xS = -1.68477.
2.5.2. Phần bù đắp rủi ro của các danh mục nhân tố thuần nhất:
Gọi λi (i =1, k) là phần bù đắp rủi ro của danh mục nhân tố thứ i trong mơ hình k nhân tố. Nĩi cách khác, tỷ suất sinh lợi mong đợi của danh mục nhân tố thứ i là (rf + λi), với rf là thu nhập từ tài sản phi rủi ro.
Ví dụ 7: Với giả định tỷ suất sinh lợi phi rủi ro rf = 0.7083% / tháng, ta cĩ thể thiết lập các phương trình nhân tố và các phần bù đắp rủi ro cho các danh mục nhân tố ở ví dụ 6 ở trên:
Tỷ suất sinh lợi của danh mục nhân tố thứ nhất là trung bình tỷ trọng của các chứng khốn riêng lẻ, tức là:
αp1 = (0.17358)*(0.010) + (0.55256)*(0.009) + (0.27385)*(0.026) = 0.0138 Cho nên, phương trình nhân tố của danh mục nhân tố thứ nhất:
rp1 = 0.0138 + F1 + 0F2
Tương tự, tỷ suất sinh lợi của danh mục nhân tố thứ hai là:
αp2 = (1.68903)*(0.010) + (0.99574)*(0.009) + (-1.68477)*(0.026) = -0.0180
Và phương trình nhân tố của danh mục nhân tố thứ hai: rp2 = - 0.0180 + 0F1 + F2
Phần bù đắp rủi ro tương ứng của từng nhân tố là:
λ1 = αp1 – rf = 0.0138 – 0.007083 = 0.006717 = 0.6717% λ2 = αp2 – rf = -0.0180 – 0.007083 = -0.025083 = -2.5083% Việc một danh mục nhân tố cĩ phần bù đắp rủi ro dương ( > 0 ), bằng khơng ( = 0 ), hay âm ( < 0 ) tùy thuộc vào thị hiếu của nhà đầu tư và độ ảnh hưởng của nhân tố đối với thị trường tài chính.
2..6. Việc mơ phỏng và sự chênh lệch giá:
Ta cĩ thể thiết lập danh mục đầu tư mơ phỏng từ các danh mục đầu tư nhân tố thuần nhất và các hệ số β của sự đầu tư được mơ phỏng. Tỷ suất sinh lợi cĩ thể cĩ của danh mục đầu tư mơ phỏng chênh lệch nhau một hằng số, đĩ là chênh lệch của tỷ suất sinh lợi mong đợi . Nếu các hệ số β của danh mục đầu tư mơ phỏng và của sự đầu tư được mơ phỏng giống nhau thì sẽ cĩ cơ hội chênh lệch giá chứng khốn.
Ví dụ 8: Dùng một chứng khốn phi rủi ro (tín phiếu kho bạc) cĩ tỷ suất sinh lợi mong đợi là 0.7083% /tháng và hai danh mục đầu tư nhân tố thuần nhất cĩ phương trình nhân tố:
rp1 = 0.0138 + F1 + 0F2 rp2 = - 0.0180 + 0F1 + F2
Để mơ phỏng tỷ suất sinh lợi của cổ phiếu LAF cĩ phương trình nhân tố: (xem như cổ phiếu này khơng cĩ rủi ro riêng)
rLAF = 0.005 + 0.888F1 - 2.471F2
Để mơ phỏng hai hệ số β của cổ phiếu LAF, ta lấy tỷ trọng của nhân tố 1 là 0.888 và tỷ trọng của nhân tố 2 là -2.471. Bởi vì các tỷ trọng cộng lại là-1.583 nên để cho hợp lý thì tỷ trọng của tài sản phi rủi ro là 2.583. Tỷ suất sinh lợi mong đợi của danh mục đầu tư này là:
Ở đây xuất hiện một cơ hội chênh lệch bởi vì tỷ suất sinh lợi mong đợi này là 7.5% khác so với tỷ suất sinh lợi mong đợi 0.5% của chứng khốn được mơ phỏng, và phần chênh lệch sẽ là 7%.
Tỷ suất sinh lợi mong đợi của danh mục đầu tư mơ phỏng: (1 - β1 - β2)rf + β1(rf + λ1) + β2(rf + λ2)
Với: βj là hệ số β của sự đầu tư được mơ phỏng trên nhân tố j (cũng là tỷ trọng trên danh mục nhân tố thuần nhất j).
λj là mức bù đắp rủi ro của danh mục đầu tư nhân tố j (làm cho [rf + λj] là tỷ suất sinh lợi mong đợi của danh mục nhân tố j).
Biểu thức trên cịn cĩ thể viết ở dạng tương đương là:
Tỷ suất sinh lợi mong đợi = rf + β1λ1 + β2λ2
Khái quát lên cho một sự đầu tư khơng cĩ rủi ro riêng (rủi ro phi hệ thống) và được biểu diễn bằng một mơ hình k nhân tố với hệ số β nhân tố βj trên nhân tố thứ j. Một danh mục đầu tư mơ phỏng sự đầu tư trên cĩ các tỷ trọng β1 trên danh mục nhân tố 1, β2 trên danh mục nhân tố 2, …, βk trên danh mục nhân tố k, và (1 - ∑βj) trên tài sản phi rủi ro. Tỷ suất sinh lợi của danh mục đầu tư mơ phỏng này là:
Với : λ1, λ2, …,λk là các mức bù đắp rủi ro của các danh mục đầu tư nhân tố. rf là thu nhập phi rủi ro.