Khi nghiên cứu sự chuyển tải của hệ nhiều hạt, Hazime Mori đã đề xuất phương pháp tính bằng phép chiếu toán tử [53] hay còn gọi là phép chiếu toán tử kiểu Mori. Trong quá trình nghiên cứu, phép chiếu toán tử kiểu Mori đã được hoàn thiện qua nhiều cách định nghĩa chiếu toán tử khác nhau tùy vào cách giải bài toán cụ thể. Chẳng hạn, đối với bài toán tìm độ dẫn quang, chúng ta khai triển biểu thức
σij(Ω) = i Ω
X
µν
h· · ·Jiiµν, (1.17)
trong đóJi là phần tử thứi của dòng điện trung bình.
Nhóm tác giả A. Suzuki và M. Ashikawa [87] đã định nghĩa hai chiếu toán tử có dạng P X ≡ hXiµνJi/hJiiµν,
Q≡1−P,
(1.18)
với X là toán tử bất kì, hXiµν = TR{ρeq(H0)}, TR là phép lấy vết nhiều hạt, ρeq(H0)
là toán tử mật độ cân bằng của hệ, H0 là Hamiltonian của hệ electron-phonon, a+
µ(aν)
là toán tử sinh (hủy) electron ở các trạng thái tương ứng. Nếu khai triển toán tử dòng một chiều thành
Ji =X
αβ
trong đója =jx+ijy, thay vào (1.17), ta được kết quả σij(Ω) = i Ω X αβ (ja)αβh(· · ·)a+αaβiαβ. (1.20)
Vì vậy, ta có thể định nghĩa các chiếu toán tử theo cách khác P X ≡ hXiµνa+αaβ/ha+αaβiµν,
Q≡1−P,
(1.21)
Hay nói cách khác, phương chiếu sẽ được chọn sao cho toán tửP luôn là phương của toán tử chứa trong biểu thức cần khai triển, phương còn lại là phương vuông góc với phương chiếu củaP,Q≡1−P. Chính vì vậyP tác dụng lên toán tử chọn làm phương chiếuAbằng chính toán tửA,Qtác dụng lên toán tửAbằng không, tích của hai chiếu toán tử bằng không (do chiếu theo hai phương vuông góc nhau). Mặc khác, A. Suzuki và M. Ashikawa đã định nghĩa kỹ thuật chiếu toán tử có dạng
P Ji =hJiiµνJi/hJiiµν =Ji, QJi = (1−P)Ji = 0, P Q=QP = 0.
(1.22)
Phép chiếu thứ nhất chọn phương chiếu là toán tử dòng điện, không phụ thuộc trạng thái, nên có thể gọi là phép chiếu không phụ thuộc trạng thái, phép chiếu thứ hai phụ thuộc vào hai trạng thái α và β của toán tử chọn làm phương chiếu nên gọi là phép chiếu phụ thuộc trạng thái.
Badjou và cộng sự [5] là nhóm tác giả đầu tiên áp dụng phép chiếu phụ thuộc trạng thái để tính toán công suất hấp thụ cộng hưởng cyclotron trong bán dẫn do tương tác electron-phonon. Nhóm tác giả này định nghĩa phép chiếu phụ thuộc trạng thái như sau:
Pαβ(k)X ≡ hXiαβJk/hJkiαβ, Q(αβk)≡1−Pαβ(k),
(1.23)
trong đóhXiαβ ≡TR{ρeq(Heq)[X, a+
αaβ]},Jklà thành phần thứ k của toán tử dòng của hệ. Phép chiếu này phụ thuộc trạng thái | αi,| βi, toán tử Pαβ(k) tác dụng lên toán tử
X sẽ chiếu X lên phương của toán tử Jk. Phép chiếu này được gọi là phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại I.
Đồng thời, nhóm Kang. N. L. và Choi. S. D. đã định nghĩa phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại II [32] theo cách khác
PαβγδX ≡ hXiγδa+γaδ/ha+αaβiγδ, Qγδαβ ≡1−Pαβγδ,