trong đó hXiγδ ≡ TR{ρeq(Heq)[X, a+
γaδ]}. Phép chiếu này phụ thuộc các trạng thái |αi,|βi,|γi,|δi, toán tửPαβγδ tác dụng lên toán tử X sẽ chiếuX lên phương của toán tử a+
αaβ.
Vì vậy, kỹ thuật chiếu hệ nhiều electron sẽ được áp dụng rộng rãi hơn. Tùy vào bài toán cụ thể mà ta áp dụng kỹ thuật chiếu nào cho phù hợp; trong đó kỹ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái tỏ ra chiếm ưu thế hơn khi nghiên cứu hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon.
1.2.1. Hamiltonian của hệ electron tương tác với phonon
Xét hệ electron và phonon trong giếng lượng tử đặt trong điện trường ngoài biến thiên theo thời gian, có dạng
E(t) =
3
X
j=1
EjeiΩtej,
với ej là vectơ đơn vị của trường ngoài theo phương (j=x, y, z), Ej là biên độ theo phương j và Ωlà tần số của điện trường ngoài. Hamiltonian toàn phần của hệ lúc này sẽ gồm Hamiltonian cân bằng của hệ electron-phonon và Hamiltonian không cân bằng do tương tác của hệ với trường ngoài,
H(t) =Heq+Hint(t). (1.25) Giả sử mật độ electron trong bán dẫn đủ bé để ta có thể bỏ qua tương tác electron- electron, Hamiltonian cân bằng của hệ bao gồm Hamiltonian của hệ electron-phonon tự
do có dạng chéo Hd và Hamiltonian tương tác electron-phonon không chéo V: Heq =Hd+U =He+Hp+U, He =X α Eαa+αaα, Hp =X q ~ωqb+qbq, U =X q X α,µ Cαµ(q)a+αaµ(bq+b+−q). (1.26)
Trong các biểu thức trên, He và Hp là Hamiltonian của hệ electron và hệ phonon không tương tác; a+
α vàaα lần lượt là toán tử sinh và toán tử hủy electron ở trạng thái |αi với năng lượng Eα =hα|he|αi,he là Hamiltonian của một electron, b+
q và bq là các toán tử sinh và toán tử hủy phonon ở trạng thái |qi = |q, si, qlà vectơ sóng phonon, s là chỉ số phân cực, ~ωq là năng lượng của phonon. Cαµ(q) là yếu tố ma trận tương tác electron-phonon,Cαµ(q) =V(q)hα|exp(iq.r)|µi, với rlà vectơ vị trí của electron và V(q) là hằng số tương tác electron-phonon phụ thuộc vào loại phonon.
Hamiltonian tương tác phụ thuộc vào trường ngoài biến thiên theo thời gian được cho bởi [33] như sau:
Hint(t) = e 3 X j=1 X α,β (rj)α,βa+αaβEjeiΩt, (1.27)
trong đó kí hiệu (X)αβ ≡ hα|X|βi đối với toán tử X bất kỳ. Áp dụng giả thiết đoạn nhiệt, tức là xét tại thời điểm t → −∞ trường ngoài bắt đầu đặt vào hệ. Khi đó, biểu thức Hamiltonian tương tác sẽ xuất hiện thêm thừa số e∆t với ∆→0+. Cho nên, phương trình (1.27) được viết lại dưới dạng
Hint(t) = lim ∆→0+e 3 X j=1 X α,β (rj)α,βa+αaβEjeiΩ¯t, với Ω = Ω¯ −i∆. (1.28)