Nhiễu loạn là nguyên nhân gây ra sự dịch chuyển của hệ từ một trạng thái lượng tử này sang trạng thái lượng tử khác. Sự chuyển dời này không được thực hiện bằng bước nhảy mà diễn ra trong thời gian. Xác suất dịch chuyển được xác định bằng tính chất của nhiễu loạn và sự phụ thuộc vào thời gian. Khi hệ chuyển từ trạng thái dừngψ(0)m (x)
sang trạng thái dừng ψ(0)n (x), (n 6=m) trong khoảng thời gian từ 0→t có nhiễu loạn tác động thì xác suất dịch chuyển của hệ là
Wnm =|a(1)(t)|2 = 1
~2|
Z t
0
NếuVb(0) =Vb(t) = 0thì (1.80) có thể được biến đổi bằng cách lấy tích phân từng phần Z t 0 vmn(t)eiΩmntdt= 1 iΩmn eiΩmnt |t0− 1 iΩmn Z t 0 dvmn dt e iΩmntdt. (1.81) Ta có thể viết Wnm= 1 ~2Ω2 nm| Z t 0 dvmn dt e iΩmntdt|2. (1.82) Nếu Vb(t) là hàm điều hòa theo thời gian thì phần tử ma trận của toán tử nhiễu loạn cũng là một hàm tuần hoàn theo thời gian
Vmn(t) =Vmn(0) cos Ωt, (1.83)
trong đóΩ thỏa mãn ~Ω> E0−En(0).Thực hiện một số tính toán cần thiết, ta được |a(1)mn|2 = π 4~2|Vmn(0)|2tδ Ωmn−Ω 2 = π 2~|Vvn(0)|2tδ(Em−En(0)−~Ω). (1.84) Xác suất dịch chuyển từ trạng thái lượng tử có năng lượngEn(0) sang trạng thái có phổ liên tục trong khoảng dv tính cho một đơn vị thời gian được xác định bởi
dWmn= 1
t|a(1)mn|2 = π
2~|Vmn(0)|2δ(Em−En(0)−~Ω)dv (1.85) Công thức trên chứng tỏ, dưới tác dụng của nhiễu loạn phụ thuộc thời gian, hệ chỉ có thể thực hiện chuyển dời sang trạng thái có mức năng lượng thỏa mãn điều kiện
Ev =En(0)+~Ω. (1.86) Khoảng các giá trị năng lượng dE tương ứng với khoảng các giá trị chỉ số v
trong đóg(E) là hàm mật độ trạng thái,g(E)dE là số các trạng thái năng lượng trong khoảngE vàE+dE. Lấy tích phân theo các thông số còn lại, biểu thức (1.85) trở thành
dWEn= π
2~|VEn(0)|2g(E)δ(E−En(0)−~Ω)dE, (1.88) trong đó đã đưa ký hiệu
dE Z
|Vvn|2dEdv =|VEn|2g(E)dE. (1.89) Lấy tích phân theo năng lượng, ta tìm được xác suất dời chuyển toàn phần trong một đơn vị thời gian từ trạng thái có năng lượng En(0) sang trạng thái của phổ năng lượng dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn điều hòa
W = π
2~|VEn(0)|2g(E), (1.90) trong đó E =En(0)+~Ω. Nếu phần tử nhiễu loạn khác với (1.80)và ta lấy ký hiệu phần tử nhiễu loạn bằng cách đưa vào hàm mũ như
Vkn(t) = Vkn(0)(eiΩt+e−iΩt), (1.91) thì hệ số trong các biểu thức trên sẽ thay đổi gấp bốn lần. cụ thể, biểu thức (1.85) sẽ được viết dưới dạng
dWvn = 2π
~ |Vvn(0)|2δ(Ev −En(0)−~Ω)dv. (1.92)