hướng đường lối giải bài toán
2.3.3.1. Các giai đoạn giải một bài toán bằng cách lập phương trình (hay hệ phương trình)
Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài rồi ghi giả thiết, kết luận của bài toán
Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phương trình. Tức là chọn ẩn như thế nào cho phù hợp, điều kiện của ẩn thế nào cho thoả măn.
Giai đoạn 3: Lập phương trình.
Dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng đã biết, dựa vào các công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã giải được.
Giai đoạn 4: Giải phương trình. Vận dụng các kỹ năng giải phương trình đã biết để tìm nghiệm của phương trình.
Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phương trình để xác định lời giải của bài toán. Tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với thực tiễn xem có phù hợp không?
Giai đoạn 6: Trả lời bài toán, kết luận nghiệm của bài toán xem có mấy nghiệm, sau khi đã thử lại.
Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải. Phần này thường để mở rộng cho học sinh tương đối khá, giỏi sau khi đã giải xong có thể gợi ý học sinh biến đổi bài toán đã cho thành bài toán khác bằng cách:
- Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác. - Giữ nguyên các dữ kiện thay đổi các yếu tố khác. - Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất.
2.3.3.2. Ví dụ minh họa cho các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phương trình (hay hệ phương trình)
Nhà bác Điền thu hoạch được 480 kg cà chua và khoai tây, khối lượng khoai gấp 3 lần khối lượng cà chua. Tính khối lượng mỗi loại.
Giai đoạn 1:
Giả thiết: mkhoai + mcà chua = 480 mkhoai = 3 mcà chua
Giai đoạn 2: Thường là điều chưa biết gọi là ẩn số. Ở bài này cả số lượng cà chua và số lượng khoai tây đều chưa biết nên ta có thể gọi số lượng khoai là x (x > 0kg) và số lượng cà chua là y (0 < y < x)
Giai đoạn 3: Lập hệ phương trình
Vì tổng khối lượng là 480 kg và số lượng khoai gấp 3 lần số lượng cà chua nên ta
có hệ phương trình : 480(1) 3 x y x y
Giai đoạn 4: Giải hệ phương trình
Ta có thể dùng phương pháp thế x = 3y vào phương trình (1): 3y + y = 480 => y = 120
Khi đó x = 3. 120 = 360
Giai đoạn 5: Đối chiếu nghiệm đã giải với điều kiện của ẩn để xem nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn. Ở đây x = 120 > 0 (thỏa mãn) và y = 360 >120 (cũng thỏa mãn)
Giai đoạn 6: Trả lời bài toán
Vậy số lượng khoai đã thu là 360 kg. Số lượng cà chua đã thu là 120 kg.
Giai đoạn 7: Nên cho HS nhiều cách giải khác nhau do việc chọn ẩn số khác nhau dẫn đến xây dựng phương trình khác nhau, từ đó tìm cách giải nhắn gọn, hay nhất. Có thể từ bài toán này xây dựng thành một bài toán tương tự như sau:
Thay lời văn và tình tiết bài toán giữ nguyên số liệu ta được bài toán “Một phân số có tổng tử và mẫu là 480. Biết rằng mẫu số gấp ba lần tử số. Tìm phân số đó.”
2.3.3.3. Dạng 1: Loại toán chuyển động Ví dụ 1: 9
Một xe máy đi từ Đông Hà đến Đồng Hới, sau đó 15 phút một ô tô đi từ Đồng Hới đến Đông Hà theo chiều ngược lại với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h
và 2 xe gặp nhau ở chính giữa quảng đường. Tính vận tốc mỗi xe, biết rằng quảng đường Đông Hà - Đồng Hới là 100km.
Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Phân tích:
Vẽ sơ đồ chuyển động.
Chuyển động của xe máy và ô tô : vô tô > vxe máy (10km/h) tức là : vô tô – vxe máy = 10
Thời gian của xe máy và ô tô: txe máy > tô tô (15 phút = 1
4 giờ) tức là: txe máy – tô tô =
1 4
+ Gặp nhau ở chính giữa quãng đường tức là sxe máy = sô tô = 50 km
- Định hướng đường lối giải:
+ Các đại lượng tham gia bài toán : vận tốc(v), quãng đường(s), thời gian(t). + Công thức: s s v t t v + Lập bảng Các đại lượng Đối tượng s (km) v (km/h) t (h) Xe máy 50 x (x > 0) 50 x Ô tô 50 x + 10 50 10 x
+ Lập phương trình: Dựa vào cơ sở là txe máy – tô tô = 1 4 tức là ta có phương trình 50 x – 50 10 x = 1 4
+ Giải phương trình này đưa về dạng x2 + 10x – 2000 = 0 ta được x1 = 40 (thỏa mãn), x2 = –50 (không thỏa mãn)
Ví dụ 2: 2
Đông Hà Đồng Hới
100 km
Xe máy Ô tô (Sau 15 phút)
Chỗ gặp nhau
Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia là 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải:
- Phân tích:
+ Vẽ sơ đồ chuyển động: Cùng khởi hành:
Người đi chậm (B) khởi hành trước 6 phút = 1 10 giờ
+ Quá trình 1: Khởi hành cùng một lúc nên t1 = t2
+ Quá trình 2: Một người khởi hành chậm 6 phút nên t1 + 1 10 = t2
- Định hướng đường lối giải:
+ Các đại lượng tham gia bài toán : vận tốc(v), quãng đường(s), thời gian(t). + Công thức:
s s
v t
t v
+ Giả sử vận tốc của người đi nhanh là x (km/h) và vận tốc của người đi chậm là y (km/h). Điều kiện: x > y > 0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Theo quá trình 1 ta được phương trình :
2 1,6
x y
+ Theo quá trình 2 ta lại được phương trình:
1,8 1 1,8 10
x y
+ Giải hệ hai phương trình này ta được x = 4,5 và y = 3,6 (x, y đều thỏa mãn điều kiện)
A 2 km M 1,6 km B
3,6 km
A 1,8 km M 1,8 km B
Ví dụ 3: 12
Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau 48 km và ngược dòng hết cả 5 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h.
Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải:
- Phân tích
+ Tóm tắt và vẽ hình
Tính vca nô biết vdòng nước = 4 km/h
+ Vận tốc canô khi đi xuôi dòng = vận tốc của canô + vận tốc dòng nước. + Vận tốc canô khi đi ngược dòng = vận tốc của canô – vận tốc dòng nước.
- Định hướng đường lối giải
+ Công thức t = s v + Lập bảng Các đại lượng Quá trình Vận tốc riêng (km/h) Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km) Khi xuôi dòng x(x > 0) x + 4 48 4 x 48 Khi ngược dòng x(x > 0) x – 4 48 4 x 48
+ Cơ sở lập phương trình tđi + tvề = 5 giờ tức là ta có phương trình
48 x+4 48 4 x = 5
+ Giải phương trình này ta được x1 = 20 (thỏa mãn), x2 = –4 (không thỏa mãn)
2.3.3.4. Dạng 2: Loại toán liên quan đến số học Ví dụ 1: 10
Tìm hai số tự nhiên biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157. Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải:
48km
- Phân tích
+ Tóm tắt : Số thứ nhất + số thứ hai = 17, số thứ nhất2 + số thứ hai2 = 157. Tìm hai số đó.
+ Nếu biết số thứ nhất thì số thứ hai sẽ là 17 – số thứ nhất. + Phương trình cần tìm sẽ dựa vào dữ kiện thứ hai.
- Định hướng đường lối giải
+ Giả sử gọi x là số thứ nhất (x < 17, x N) + Lập bảng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Số thứ nhất Số thứ hai Tổng các bình phương số x 17 – x x2 + (17 – x)2 = 157 (1) + Giải phương trình (1) ta được x1 = 11, x2 = 6.
Ví dụ 2: 9
Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, tổng hai chữ số bằng 8. Nếu đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó giảm đi 36 đơn vị.
Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải:
- Phân tích
+ Số tự nhiên có hai chữ số dạng ab10a b
+ Tổng hai chữ số bằng 8 tức a + b = 8
+ Khi đổi vị trí cho nhau tức là ba10b a và số đó giảm đi 16 đơn vị tức là 36
ab ba .
- Định hướng đường lối giải
+ Giả sử gọi x là chữ số hàng chục và y là chữ số hàng đơn vị (0 < x, y < 0 và x,y N)
+ Dựa vào quan hệ giữa hai chữ số ban đầu ta có phương trình x + y = 8 + Dựa vào quan hệ giữa hai số khi thay đổi vị trí ta lại có phương trình: (10x + y) – (10y – x) = 36 => x – y = 4.
+ Ta giải hệ hai phương trình
8 4 x y x y ta được 6 2 x y (thỏa mãn)
2.3.3.5. Dạng 3: Loại toán về năng suất lao động Ví dụ 1: 2
Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn 6 áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 5 ngày trước khi hết thời hạn, xưởng may đã may được 2650 áo. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu áo?
Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải:
- Phân tích
+ Phân tích các đại lượng: số áo may trong một ngày (theo kế hoạch và theo thực tế), thời gian may, số áo hoàn thành.
+ Theo kế hoạch: may 3000 áo, số áo may trong một ngày là x (x > 0,x N),
thời gian may xong ( 3000
x ngày)
+ Theo thực tế: số áo may 1 ngày = x + 6 , thời gian may 2650 áo (
2650 6
x ngày) và sớm hơn so với kế hoạch là 5 ngày.
- Định hướng đường lối giải
+ Lập bảng
Số áo may trong
một ngày Số ngày Số áo may
Kế hoạch x (áo) 3000x (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(ngày) 3000 (áo)
Thực tế x + 6 (áo) 2650x 6
(ngày) 2650 (áo)
+ Cơ sở lập phương trình là số ngày làm thực tế sớm hơn so kế hoạch là 5 ngày tức là ta có phương trình:
3000 2650
5
6
x x
+ Giải phương trình này ta được x1 = 100 (thỏa mãn), x2 = –36 (không thỏa mãn)
Ví dụ 2: 2
Năm ngoái hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm
ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm mỗi đơn vị thu hoạch bao nhiêu tấn thóc?
Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải:
- Phân tích
+ Năm ngoái: Đơn vị 1 thu hoạch + Đơn vị 2 thu hoạch = 720 tấn.
+ Năm nay: Đơn vị 1 thu hoạch115% + Đơn vị 2 thu hoạch112% = 819 tấn.
- Định hướng đường lối giải
+ Lập bảng
Năm ngoái Năm nay
Đơn vị 1 x (tấn, x > 0) 115%.x (tấn) Đơn vị 2 y (tấn, y > 0) 112%.y (tấn) Hai đơn vị 720 (tấn) 819 (tấn) + Hệ phương trình cần lập: 720 115 112 819 100 100 x y x y
+ Giải hệ phương trình này ta được
420 300 x y (thỏa mãn)
2.3.3.6. Dạng 4: Loại toán về công việc làm chung, làm riêng Ví dụ 1: 2
Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc?
Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải:
- Phân tích
+ Cần phân tích các đại lượng: thời gian hoàn thành công việc, năng suất làm một ngày.
+ Làm chung: thời gian làm 4 ngày => năng suất làm một ngày ( 1 4CV)
+ Làm riêng: Đội I (x ngày), năng suất trong một ngày ( 1
x CV), đội II nhiều (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
hơn 6 ngày (x + 6), năng suất trong một ngày ( 1
6
x CV)
- Định hướng đường lối giải
+ Lập bảng
Thời gian hoàn thành Năng suất một ngày
Đội I x (ngày, x > 4) 1x
(CV)
Đội II x + 6 (ngày) x16
(CV)
Hai đội 4 (ngày) 14
(CV) + Phương trình cần lập
1 1 1
6 4
xx
+ Giải phương trình này ta được x1 = 6 (thỏa mãn), x2 = –4(không thỏa mãn)
Ví dụ 2: 2
Nếu hai vòi cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ
được 2
15 bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?
Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải:
- Phân tích + Tóm tắt: Hai vòi ( 4 3h) => đầy bể Vòi I ( 1 6h) + vòi II ( 1 5h) => 2 15 bể Hỏi mở riêng mỗi vòi bao lâu đầy bể?
+ 1 giờ vòi I chảy được là bao nhiêu? 1 giờ vòi II chảy được là bao nhiêu? 1 giờ hai vòi chảy được là bao nhiêu?
+ Khi đó: 1 giờ vòi I chảy được + 1 giờ vòi II chảy được = 1 giờ hai vòi chảy được
+ 1
6h vòi I chảy được là bao nhiêu? 1
5h vòi II chảy được là bao nhiêu? Khi
đó cả hai vòi chảy được là 2 15 bể.
- Định hướng đường lối giải
+ Lập bảng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Thời gian chảy đầy bể Năng suất chảy 1 giờ
Hai vòi 43 (h) 3 4 (bể) Vòi I x (h) (x > 4 3) 1 x (bể) Vòi II y (h) (y > 4 3) 1 y (bể) + Hệ phương trình cần lập 1 1 3 4 1 1 2 6 5 15 x y x y
+ Giải hệ phương trình này ta được 2 4 x y (thỏa mãn)
2.3.3.7. Dạng 5: Loại toán liên quan hình học Ví dụ 1: 1
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất của vườn) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m2. Tính kích thước của khu vườn.
Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải:
- Phân tích
+ Tóm tắt: Chu vi = (chiều dài + chiều rộng).2, diện tích còn lại bằng chiều dài lúc sauchiều rộng lúc sau. Tìm chiều dài, chiều rộng ban đầu.
4256m2 2m 2m
- Định hướng đường lối giải
+ Giả sử gọi x (m) là chiều dài của mảnh đất (x > 70)
+ Tìm biểu thức chiều rộng của mảnh đất dựa trên cơ sở chu vi. Tức là chiều rộng của mảnh đất là 140 – x
+ Tìm biểu thức của chiều dài lúc sau: x – 4 , chiều rộng lúc sau: 140 – x – 4 = 136 – x.
+ Lập phương trình dựa trên cơ sở diện tích của mảnh đất còn lại. Tức là ta có phương trình: (x – 4)(136 – x) = 4256.
+ Giải phương trình này ta được x1 = 80 (thỏa mãn), x2 = 60 (không thỏa mãn)
Ví dụ 2: 2
Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2 và nếu một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2.
Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải:
- Phân tích
+ Tóm tắt:
Trường hợp 1 : Nếu cạnh góc vuông1 + 3, cạnh góc vuông2 + 3 thì Ssau – Sđầu = 36 cm2.
Trường hợp 2 : Nếu cạnh góc vuông1 – 2, cạnh góc vuông2 – 4 thì Sđầu – Ssau = 26 cm2.
Tính cạnh góc vuông 1, cạnh góc vuông 2.
- Định hướng đường lối giải
+ Giả sử gọi hai cạnh góc vuông là x (x > 0), y (y > 0) + Lập bảng
Cạnh 1 (cm) Cạnh 2 (cm) S (cm2) Ban đầu x (x > 0) y (y > 0)
2
Tăng x + 3 y + 3 ( 3)( 3) 2 x y