Nó thường được xem là một trong những thành tựu trí tuệ vĩ đại nhất của thế kỉ hai mươi.
Tuy nhiên, nó không nhất thiết gây ra sự chán nản hay tuyệt vọng.
Nó chỉ hàm ý rằng những phương pháp nghiên cứu sâu sắc hơn và phức tạp hơn vẫn chưa được nghĩ ra, vì luận giải sáng tạo thừa nhận không có hạn chế.
152. Vậy phương pháp tiên đề có bị từ bỏ hay không?
Không, còn lâu người ta mới bỏ. Trái lại, nó được công nhận là một kiểu mẫu biểu thị
khuôn khổ logic được chấp nhận của bất kì mô hình toán học nào.
Thật vậy, kết quả của Gödel không dính líu gì đến công việc hằng ngày của chúng ta, nó không gây đe dọa cho cả nền toán học đang được sử dụng hằng ngày và ở mọi nơi.
153. Việc chấp nhận phương pháp tiên đề có công dụng gì khi mà một hệ nhất quán thì không thể hoàn chỉnh? quán thì không thể hoàn chỉnh?
Đúng là với một số lượng đáng kể các phân ngành toán học, chúng ta không thể có những hệ hoàn chỉnh mà chỉ có những hệ không hoàn chỉnh được chúng ta khai sáng thêm. Ưu điểm là nó mang đến nhiều thành quả.
Tính không hoàn chỉnh của hệ không gây ngăn trởđối với công dụng của nó.
154. Vì sao phương pháp tiên đề được sử dụng rộng rãi như thế khi mà nó có những hạn chế cố hữu? những hạn chế cố hữu?
45
Phương pháp tiên đề và những hạn chế của nó là một bộ phận của những nền tảng toán học, còn việc nó được sử dụng rộng rãi là do sự áp dụng mang đến nhiều thành quả của nó.
Vì thế, lời khuyên là nên phân biệt giữa toán học và các ứng dụng của toán học. Ví dụ, một hệ thống toán học mà chúng ta gọi là hình học không nhất thiết là một mô tả của không gian thực tế. Việc khẳng định một loại hình học nhất định là một mô tả
của một không gian vật lí là một phát biểu vật lí, chứ không phải một phát biểu toán học.
Do đó, trong những ứng dụng rộng rãi của toán học, người ta không phải quan tâm về
sự tồn tại toán học và các khái niệm toán học, chúng thật sự thuộc về miền đất nền tảng của toán học.