Như vậy, n2 – n là chia hết cho 2.
Nói bằng lời, kết quả này có nghĩa là hiệu giữa bình phương của một số và chính số đó luôn luôn là một số chẵn.
Tương tự, n3 – n, n5 – n, n7 – n, n11 – n,... lần lượt chia hết cho 3, 5, 7, 11,..., nhưng những kết quả tương tự không đúng đối với n4 – n, n6 – n,... vì 4, 6 không phải là số
nguyên tố.
40. Nhưng làm thế nào n5 – n chia hết cho 3, chứ không riêng chia hết cho 5?
Vì 5 là số nguyên tố, do đó theo định lí Fermat n5 – n là chia hết cho 5. Mặt khác,
n5 – n = n (n4 – 1)
= n (n2 – 1) (n2 + 1) = n (n – 1) (n + 1) (n2 + 1) = (n – 1) n (n + 1) (n2 + 1)
(n – 1) n (n + 1) là kí hiệu cho tích của ba số tự nhiên liên tiếp, và chia hết cho 3! hoặc 6. Do đó, n5– n là chia hết cho 5 × 6, tức là 30.
Lập luận tương tự, ta có n7 – n còn chia hết cho 7 × 6, tức là 42, chứ không riêng chia hết cho 7.
41. Từ định lí Fermat còn suy ra được những kết quả gì khác?
Ta suy ra được những kết quả sau đây:
I. 1.Mỗi số chính phương là có dạng 5n hoặc 5n ± 1, trong đó n là một số nguyên dương.
II. 2.Mỗi số có căn bậc ba nguyên là có dạng 9n hoặc 9n ± 1.
III. 3.Một số vừa là chính phương vừa có căn bậc ba nguyên thì có dạng 7n hoặc 7n + 1.
42. Định lí Wilson là gì?
Định lí Wilson phát biểu rằng:
Số (n – 1)! + 1 là chia hết cho n, nếu và chỉ nếu n là số nguyên tố.
Ví dụ, với n = 5, (n – 1)! + 1 bằng 25 chia hết cho 5, vì 5 là số nguyên tố.
Nhưng nếu n = 6, thì (n – 1)! + 1 bằng 121 không chia hết cho 6, vì 6 không phải là số
nguyên tố.
43. Người ta sử dụng phép quy nạp toán học như thế nào để chứng minh tính chia hết? chia hết?
58
Phương pháp quy nạp toán học trong đó chúng ta đi từ phát biểu riêng đến phát biểu khái quát thỉnh thoảng có thểđược sử dụng để chứng minh một số kết quả về tính chia hết.
Lấy ví dụ, chúng ta chứng minh rằng 32n – 2n – 1 là chia hết cho 2, với mọi giá trị
nguyên dương của n.
Ta hãy kí hiệu biểu thức trên là f(n), khi đó f(n) = 32n – 2n – 1 (1) biến đổi n thành n + 1 ta có f(n + 1) = 32n+2 – 2(n + 2) – 1 = 9. 32n – 2n – 3 (2) Nhân (1) với 9, rồi lấy (2) trừ (1), ta được f(n + 1) – 9f(n) = – 2n – 3 – 9 (–2n – 1) = –2n – 3 + 18 n + 9 = 16n + 6 = 2 (8n + 3)
Do đó, nếu f(n) chia hết cho 2, thì f(n + 1) cũng chia hết cho 2.
Cụ thể, f(1) = 32 – 2 – 1 = 6, chia hết cho 2, nên f(2) chia hết cho 2, rồi f(3) cũng vậy, cứ thế. Như vậy, kết quả là đúng cho mọi trường hợp.
Những kết quả sau đây có thểđược chứng minh tương tự: i) 10n + 3.42+2 + 5 là chia hết cho 9
ii) 34n+2 + 52n+1 là chia hết cho 14 iii) 32n+2 – 8n – 9 là chia hết cho 64
iv) 32n+5 + 160n2 – 56n – 243 là chia hết cho 512 v) 52n+2 – 24n – 25 là chia hết cho 576.