Như đã nhận xét trong 1.1.1. X∗ là một không gian vectơ con của không gian X#. Sau đây chúng ta sẽ tìm cách xây dựng một tôpô lồi địa phương trên X∗.
Tương ứng với mỗi x ∈ X, ta thiết lập một phiếm hàm φx trên X∗ được xác định bởi
φx(f) :=f(x); ∀f ∈X∗.
Dễ kiểm chứng được rằng đây là một phiếm hàm tuyến tính trênX∗, và do đó, nếu đồng nhất mỗi x ∈ X với φx ta có thể xem X như một họ các phiếm hàm tuyến tính trên X∗. Tôpô tuyến tính yếu nhất τw∗ trên X∗ bảo đảm sự liên tục của mọi x∈X được gọi là tôpô yếu*trên X∗. Tương tự tôpô yếu, ta có thể thấyτw∗ là tôpô lồi địa phương, có cơ sở lân cận gốc gồm các tập có dạng
B∗ =n m \ i=1 V∗(xi;)|m∈N; >0; xi ∈X, 1≤i≤mo, trong đó, V∗(x;) := {f ∈X∗ | |f(x)|< }.
Một điều đáng chú ý là bất luận tôpô trênX như thế nào, tôpô yếu* trên X∗ luôn luôn là Hausdorff. Tương tự sự hội tụ trong tôpô yếu, ta ký hiệufλ w
∗
→f để chỉ rằng dãy suy rộng (fλ) hội tụ theo tôpô yếu* về phiếm hàm f trong X∗.
Mệnh đề 2.9. Cho dãy suy rộng (fλ) trong X∗. Lúc đó,
fλ w
∗
→f ⇐⇒ ∀x∈X, fλ(x)→f(x).
Cho V là một tập con khác rỗng của X, ta gọi đối cực của V là tập hợp sau V0 :={f ∈X∗ |f(x)≤1}.
Bổ đề 2.1.
a) V0 là tập lồi, đóng yếu* trong X∗, b) Nếu V cân đối thì V0 cũng vậy, c) Nếu V ⊃U 6=∅ thì V0 ⊂U0.
Định lý 2.10(Alaoglu). NếuV là một lân cận gốc trongX thìV0 là compact yếu*.
Hệ quả 2.6. Cho V là một lân cận gốc trong X và ϕ :V →R là một phiếm hàm liên tục trên V. Lúc đó, tập hợp
K ={f ∈X∗ |f(v)≤ϕ(v), ∀v ∈V}
là compact yếu*.
Hệ quả 2.7. Hình cầu đơn vị đóngB∗0(0; 1) trong không gian liên hợpX∗ của không gian định chuẩn X là compact yếu*.