Trong mục này, ta xét trường hợp X là một không gian định chuẩn và X∗ là không gian liên hợp của nó. Ta đã biếtX∗ cũng là một không gian định chuẩn, hơn nữa là không gian Banach, với chuẩn được xác định bởi
kx∗k= sup{|hx, x∗i|: kxk ≤1}; x∗ ∈X∗.
Đến lượt nó, không gian định chuẩnX∗ cũng có không gian liên hợp gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ trên nó mà ta ký hiệu là X∗∗, với chuẩn
kx∗∗k= sup{|hx∗, x∗∗i|: kx∗k ≤1}; x∗∗ ∈X∗∗.
Chú rằng trên X∗ cũng tồn tại hai tôpô, đó là tôpô sinh bởi chuẩn mà ta gọi là tôpô mạnh và tôpô yếu* τw∗ =σ(X∗, X). Vì
|hx, x∗i| ≤ kx∗k; ∀x∈X, x∗ ∈X∗,
nên sự hội tụ theo chuẩn kéo theo sự hội tụ yếu*, hay tôpô yếu* là yếu hơn tôpô mạnh.
Bây giờ với mỗi phần tử x ∈ X, phiếm hàm tuyến tính tương ứng φx đã xét trong 2.2.2. là liên tục theo tôpôσ(X∗, X)nên cũng liên tục theo tôpô chuẩn. Tức làφx ∈X∗∗. Mặt khác, chuẩn củaφx trongX∗∗ được xác định bởi
Như vậy ánh xạΦ :X →X∗∗ với Φ(x) =φx là một phép nhúng đẳng cự từ X vào X∗∗, và do đó, có thể đồng nhất X với không gian con Φ(X) của X∗∗. Với quan điểm như vậy, từ nay về sau ta luôn xem X là không gian con của không gian X∗∗. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ nếu X = X∗∗ (tức là ánh xạ nhúng Φ là một song ánh từ X lên X∗∗, điều này xảy ra khi và chỉ khi
Φ(B0) =B0∗∗). Vì không gian X∗∗ luôn luôn là không gian Banach, nên một không gian phản xạ phải là không gian Banach. Định lý dưới đây cho thấy khi nào một không gian Banach là phản xạ.
Định lý 2.12. Một không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi hình cầu đơn vị đóng B0(0; 1) là compact yếu.
Hệ quả 2.9. Trong một không gian phản xạ mọi tập lồi, đóng, bị chặn là compact yếu.
Hệ quả 2.10. Trong một không gian phản xạ mọi dãy bị chặn đều tồn tại dãy con hội tụ yếu.
Chương 3
HÀM LỒI
3.1. Cấu trúc hàm lồi.