Nhắc lại rằng, một hàm affine trênX là hàm có dạng ϕ(x) = hx∗, xi+α,
với x∗ ∈X# và α∈R. Lúc đó, ϕ là liên tục khi và chỉ khix∗ ∈X∗. Ký hiệu AX là họ tất cả các hàm affine liên tục trênX.
Cho f là một hàm trên X. Ta ký hiệu
A(f) :={ϕ∈ AX |ϕ≤f}; L(f) :={x∗ ∈X∗ |x∗ ≤f}.
Định lý 3.17. Cho f là hàm chính thường. Lúc đó, f lồi đóng khi và chỉ khi
f = _
ϕ∈A(f)
ϕ.
Hệ quả 3.6. Cho f là hàm chính thường, thuần nhất dương. Lúc đó, f lồi đóng khi và chỉ khi f = _ ϕ∈L(f) ϕ. Hệ quả 3.7. Cho f :X →R. Lúc đó, cof = _ ϕ∈A(f) ϕ.
Hệ quả 3.8. Cho f là hàm lồi, đóng, chính thường trênX. Lúc đó, tồn tạix∗ ∈X∗
3.3.2. Hàm liên hợp.
Cho hàm f :X →R. Ta gọi hàmf∗ : X∗ →R được xác định như sau là hàm liên hợp (hay biến đổi Fenchel - Moreau) của f:
f∗(x∗) := sup{hx∗, xi −f(x)|x∈X}= sup{hx∗, xi −f(x)|x∈domf}. Ví dụ 3.1. Với f(x) =hx∗0, xi+α; x∈X, ta có f∗(x∗) = ( −α; x∗ =x∗0, +∞; x∗ 6=x∗0.
Với tôpôσ(X∗, X), thì đối ngẫu của X∗ chính làX. Do đó, nếug :X∗ →R là một hàm trênX∗ thì ta cũng có định nghĩa hàm liên hợp của g là hàm g∗ :X →R
xác định bởi
g∗(x) := sup{hx∗, xi −g(x∗)|x∗ ∈X∗}= sup{hx∗, xi −g(x∗)|x∗ ∈domg}. Ta ký hiệu f∗∗:= (f∗)∗ và gọi là hàm liên hợp bậc hai của f.
Ví dụ 3.2. Cho ∅ 6=C ⊂X. Lúc đó
(δC)∗(x∗) = sup
x∈C
hx∗, xi=σC(x∗).
Nói cách khác, liên hợp của hàm chỉ là hàm tựa. Ngược lại, nếu C lồi đóng thì ta cũng có
(σC)∗ =δC. Vậy, nếuC lồi đóng thì δ∗∗C =δC.
Mệnh đề 3.18.
a) f∗(x∗) +f(x)≥ hx∗, xi với mọi x∗ ∈X∗, x∈X. b) f∗∗ ≤f.
c) f∗ là hàm lồi đóng trên X∗.
Hệ quả 3.9. f∗∗ ≤cof.
Mệnh đề 3.19. Nếu f lồi, đóng, chính thường thì f∗ cũng vậy.
Định lý 3.20 (Fenchel-Moreau). Cho f :X →(−∞,+∞]. Lúc đó, f =f∗∗ khi và chỉ khi f lồi, đóng.
Hệ quả 3.10. Giả sử cof chính thường. Lúc đó,