Mệnh đề 3.27. Cho f là hàm lồi chính thường trên X và λ >0. Lúc đó
∂(λf)(x) = λ ∂f(x); ∀x∈domf.
Định lý 3.28(Moreau-Rockafellar). Nếuf1, f2,· · · , fm là các hàm lồi chính thường trên X thì
∂(f1+f2+· · ·+fm)(x)⊃∂f1(x) +∂f2(x) +· · ·+∂fm(x); ∀x∈ ∩domfi.
Nếu tồn tại một điểm x1 ∈ ∩domfi tại đó có đến m−1 hàm fi liên tục, thì
∂(f1+f2+· · ·+fm)(x) = ∂f1(x) +∂f2(x) +· · ·+∂fm(x); ∀x∈ ∩domfi. Cho f1, f2,· · · , fm là các hàm lồi trên X và f = ∨fi. Với mỗi x0 ∈ X ta ký hiệu I(x0) = {i ∈ {1,2,· · · , m} | fi(x0) = f(x0)}. Mệnh đề sau cho ta công thức tính dưới vi phân của hàm f tại x0.
Định lý 3.29. Với mọi x0 ∈X ta có
∂f(x0)⊃co [
i∈I(x0)
∂fi(x0).
Nếu các hàm f1, f2,· · · , fm đều liên tục tạix0 thì
∂f(x0) = co [
i∈I(x0)
∂fi(x0).
Bây giờ cho {fi |i∈I}, với I là tập tuỳ ý, là một họ các hàm lồi trên X. Đặt f =_ i∈I fi và với mỗi x0 ∈X : I(x0) = {i∈I |fi(x0) = f(x0)}. Định lý 3.30. Với mọi x0 ∈X ta có ∂f(x0)⊃co [ i∈I(x0) ∂fi(x0).
Nếu I là không gian tôpô compact, hàm f(i, x) =fi(x) nửa liên tục trên, theo biến
i, trên I và các hàm fi, i∈I, đều liên tục tại x0, thì
∂f(x0) = co [
i∈I(x0)
∂fi(x0).
Hệ quả 3.12. Cho I là không gian tôpô compact và f(i, x) : I ×Rn → R là hàm nửa liên tục trên theo biếni, lồi và liên tục theo biếnx. Ký hiệu fi(x), f(x)và I(x0)
tương tự như định lý trên. Lúc đó, với mọi y∗ ∈∂f(x0) tồn tại i1, i2,· · · , ik ∈I(x0)
với k ≤n+ 1 sao cho
y∗ = k X j=1 αjyj∗, với αj ≥0, yj∗ ∈∂fij(x0); 1 ≤j ≤k : k X j=1 αj = 1.