Môđun con của môđun biểu diễn được

L ỜI NÓI ĐẦU

2.4. Môđun con của môđun biểu diễn được

Định nghĩa 2.4.1. Cho R là vành giao hoán. Một phần tử a của R được gọi là chính quy nếu có phần tử b thuộc R sao cho a = a2b . Vành R được gọi là chính quy nếu mọi phần tử của nó đều chính quy. Một mô đun con N của M được gọi là chia được, kí hiệu RD-môđun con, nếu rN = N ∩ rM với mọi r thuộc R.

Mệnh đề 2.4.2. Cho R là vành chính quy và M là R-môđun. Khi đó, ta có:

1)Nếu M là ρ-thứ cấp thì Ann(M) = ρ.

2) Mọi iđêan nguyên tố của R đều là iđêan tối đại.

Chứng minh. 1) Hiển nhiên Ann(M) ⊂ρ. Giả sử có a ∈ ρ và a ∉ Ann(M), ta có số n > 1 để an

.M = 0 và a.M ≠ 0. Do tính chính quy của R, tồn tại b ∈ R để a = a2

b. Khi đó, 0 = anM ⊃ an−2a2b.M ⊃ an−1.M ⊃ ... ⊃a.M ≠ 0. Vậy, không thể có a ∈ρ mà a ∉ Ann(M), tức là ρ ⊂ Ann(M).

2) Giả sử P là iđêan nguyên tố của R nhưng không phải là iđêan tối đại. Khi đó, tồn tại iđêan tối đại Q của R để PQ. Lấy x ∈ Q\P và xét đồng cấu

:R R P P ϕ → biến mỗi r P R P + ∈ thành x r( P) xr P R P + = + ∈ . Nếu x(r + P) = xr + P = 0 thì x.r ∈ P. Nhưng vì x ∉ P và P là iđêan nguyên tố nên r ∈ P. Do đó, ϕ là đơn cấu. Mặt khác, vì R chính quy nên tồn tại y ∈ R để x = x2y. Khi đó, ta có

(1 P) x P

ϕ + = + , ( ) 2

xy P x y P x P

ϕ + = + = + .

Do tính đơn cấu của ϕ nên 1 + P = xy + P. Do đó, tồn tại p ∈ P để 1 = p + xy ∈ Q. Vậy, Q = R, trái giả thiết Q là iđêan tối đại của R. Do đó, P là iđêan tối đại của R.

Mệnh đề 2.4.3. Cho R là vành chính quy và M là R-môđun. Khi đó, mọi R- môđun con của M đều là RD-môđun con.

Chứng minh. Lấy r bất kì thuộc R. Hiển nhiên rN ⊂N ∩ rM. Lấy phần tử x thuộc N ∩ rM. Vì x thuộc rM nên có phần tử m thuộc M để x = rm. Vì R chính quy nên có

phần tử s thuộc R để r = r2s. Khi đó, x = rm = r (rsm). Vì x = rm ∈ N nên rsm ∈ N. Vì thế, x = r (rsm) ∈ rN. Vậy, rN = N ∩rM nên N là RD-mô đun con.

Bổ đề 2.4.4. Mọi RD-môđun con của một môđun ρ-thứ cấp trên vành giao hoán là ρ- thứ cấp.

Chứng minh. Giả sử M là R-môđun ρ-thứ cấp. Lấy r ∈ R .

Nếu r ∈ρ thì tồn tại số nguyên m để rmM = 0. Do N là RD-mô đun con nên rmN = N ∩ rmM = 0.

Nếu r ∉ ρ thì rM = M. Vì thế nên rN = N ∩ rM = N ∩ M = N. Vậy, N là ρ-thứ cấp.

Mệnh đề 2.4.5. Cho R là vành giao hoán và N khác 0 là RD-môđun con của R-môđun M . Khi đó, M là ρ-thứ cấp khi và chỉ khi N và M

Nlà ρ-thứ cấp.

Chứng minh. Giả sử M là ρ-thứ cấp thì theo mệnh đề 2.1.3, ta có M

N là ρ-thứ cấp. Do N là RD-mô đun con nên theo bổ đề 2.2.3, N là ρ-thứ cấp. Ngược lại, lấy r ∈ R . Nếu r ∈ ρ thì tồn tại số n sao cho rn( )M 0

N = và r Nn =0. Do đó, rn

M ⊆ N. Vì N là chia được nên 0 = rn

N = rnM ∩ N = rn

M. Nếu r∉ρ thì r( )M M

N = N và rN=N. Vì r( )M M

N = N nên

M = rM+N. Vì N = rN = rM∩N nên N ⊂ rM. Do đó, M = rM+N = rM. Vậy, với mọi r

∈ R thì đồng cấu ϕr M, :M →M là toàn cấu hoặc lũy linh. Do đó, M là ρ-thứ cấp.

Hệ quả 2.4.6. Cho R là vành giao hoán chính quy, N khác 0 là môđun con của R- môđun M. Khi đó, M là ρ-thứ cấp khi và chỉ khi N và M

Nlà ρ-thứ cấp.

Chứng minh. Theo mệnh đề 2.4.3, ta có N là RD-môđun con của M. Áp dụng mệnh đề 2.4.5, ta có điều cần chứng minh.

Mệnh đề 2.4.7. Cho R là vành chính quy và M là R-môđun ρ-thứ cấp. Khi đó, mọi R- môđun con của M đều là ρ-thứ cấp.

Chứng minh. Giả sử N là môđun con của M. Nếu x ∈ρ thì tồn tại số n để xn

M = 0. Do đó, ta có xn

N ⊂ xnM = 0 và đồng cấu φx,N : N → N lũy linh.

Nếu x ∉ ρ thì xM = M và xN ⊂ N. Do R chính quy nên tồn tại y ∈ R để x = x2y. Với mọi n ∈ N, tồn tại m ∈ M để xm = n ∈ N. Do đó, xyxm = xyn ∈ N và n = xm = x2ym = xxym = xyxm ∈ xN. Vậy xN = N và đồng cấu ϕr,N: N→N là toàn cấu.

Định lý 2.4.8. Cho R là vành chính quy. Khi đó, mọi môđun con khác 0 của một R- môđun biểu diễn được là biểu diễn được.

Chứng minh. Giả sử M là R-môđun biểu diễn được. Đặt n1 i i

M =∑= M là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với ℜ( )Mi =ρi. Ta tìm được một phần tử r1∪ρ1 mà 1

2

n i i

r ∉= ρ .

Thật vậy, nếu không có phần tử r1 như thế thì 1 2

n i i

ρ ⊂= ρ . Do các ρi là iđêan nguyên tố nên ρ1 ⊂ρivới một i nào đó. Vì mọi iđêan nguyên tố trong vành giao hoán chính quy đều là iđêan tối đại nên ρ1 = ρi. Điều này không thể xảy ra.

Với phần tử r1 đó, tồn tại số nguyên m1 để 1

1m ( 1)

r ∈Ann M và môđun con

1 1

1 2 1

n

m m

i

r M =∑= r M là biểu diễn được.

Tiếp tục quá trình này cho các iđêan ρ2,...,ρn−1, ta tìm được các số

2,..., mn 1 m − và các phần tử r2∈ρ2,...,rn−1∈ρn−1 để mj n1, mi j i i j j i r M =∑ = ≠ r M . Đặt 1 2 1 1 1 2 1 1 0 m. m... mn n n n i i S r r r − − ρ − = ≠ = ∈ , ta cós Mn =M sn; n∉ρn. Bằng cách tương tự, ta có các phần tử s1,..., sn−1 để s Mi =M si; i∉ρi. Khi đó, ta có n1 i i M =∑= S M và ( ) 1, n j i i j i s ∈= ≠ Ann M .

Giả sử N là môđun con khác 0 của M. Lấy a thuộc N khác 0. Khi đó, do a thuộc M nên a = s1b1 + ... + snbn với các bi thuộc M. Do R là vành chính quy nên tồn tại t1,...,tn ∈ R để si = s2i ti.

Vì a khác 0 nên phải có chỉ số i nào đó để sibi ≠ 0 và sibi = s2i tibi = sitia ≠ 0. Do đó, siN ≠ 0. Bằng cách bỏ bớt các chỉ số i mà siN = 0 và đánh chỉ số lại nếu cần, ta giả sử rằng s1N ≠ 0;...;skN ≠ 0 với k ≤ n .

Với mọi a thuộc N, ta có: 2

1 1 1 1 1

n n n k k

i i i i i i i i i i

i i i i i

a=∑= s b =∑= s t b =∑= s t a=∑= s t a∈∑= s N

Do R chính quy và Mi là ρi-thứ cấp nên theo mệnh đề 2.4.7, siN cũng là ρi -thứ cấp. Vậy, N là môđun biểu diễn được.

Định lý 2.4.9. Cho R là vành giao hoán và N là môđun con nguyên tố của R- môđun thứ cấp M. Khi đó, N là (N : M) -thứ cấp.

Chứng minh. Giả sử M là R-môđun ρ-thứ cấp. Lấy r ∈ R. Nếu r ∈ρ thì có số nguyên n để rnN ⊂ rnM = 0 .

Nếu r ∉ ρ thì rM = M. Khi đó, rM = M ⊊ N và r ∉ (N : M). Giả sử n ∈ N thì có phần tử m ∈ M để n=rm. Vì N là mô đun con nguyên tố và r ∉ (N : M) nên m ∈ N. Do đó, n = rm ∈ rN và rN = N. Vậy, N là ρ-thứ cấp.

Ta chứng minh ρ = (N : M)

Ta có (N : M) là iđêan nguyên tố. Thật vậy, với xy ∈ (N : M) và x ∉ (N : M) thì xyM

⊂ N và xM N. Vì xM N nên có phần tử m ∈ Mđể xm ∉ N. Do yxm = xym ∈ N nên từ tính chất nguyên tố của N, ta có yM ⊂ N. Tức là y ∈ (N : M).

Nếu x ∈ρ thì xn

M = 0 ⊂ N với một n nào đó. Do đó, xn

∈ (N : M). Vì (N : M) là iđêan nguyên tố nên x ∈ (N : M). Do đó, ρ ⊂ (N : M).

Nếu x ∉ ρ thì M = xM. Vì N là môđun con thực sự của M nên N ≠ xM. Vì thế nên xM N. Do đó, x ∉ (N : M). Suy ra, (N : M) ⊂ρ. Vậy, (N : M) = ρ.

Bổ đề 2.4.10. Cho R là vành giao hoán. Đặt K và N là các môđun con của M sao cho N nguyên tố và K là ρ-thứ cấp. Khi đó, N ∩ K là ρ- thứ cấp.

Chứng minh. Lấy r ∈ R.

Nếu r ∈ρ thì có số nguyên n sao cho rn (N ∩ K) ⊂ rnK = 0.

Nếu r ∉ ρ và lấy t ∈ N ∩ K. Vì t ∈ K và K là ρ-thứ cấp nên t = rs với s ∈ K. Vì N là nguyên tố và t ∈ N nên s ∈ N hoặc r ∈ (N : M). Nếu r ∈ (N : M) thì K = rK ⊂ rM ⊂ N và s ∈ N. Tóm lại, ta có s ∈ N và t ∈ r(N ∩ K). Do đó, N ∩ K = r(N ∩ K).

Vậy, phép nhân N ∩ K bởi r là lũy linh khi r ∈ ρ và là toàn cấu khi r ∉ ρ nên N ∩ K là ρ- thứ cấp.

Định lý 2.4.11. Cho M là môđun biểu diễn được trên vành giao hoán R và N là môđun con nguyên tố của M với (N : M) = P. Khi đó, N biểu diễn được và M

Chứng minh. Giả sử n1 i i

M =∑= M là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với (Mi) = ρi . Với mỗi i, giả sử ρi P. Khi đó, với x ∈ ρi\P, tồn tại số n để xnMi = 0 ∈ N. Do tính chất nguyên tố của N, ta có Mi ⊂ N. Ngược lại, giả sử Mi N. Khi đó, với mọi x ∈ ρi

và mi ∈ Mi\N, tồn tại số n để xnmi = 0 ∈ N. Lại do tính chất nguyên tố của N nên x ∈

P, tức là ρi ⊂ P. Vậy, với mọi i, hoặc là ρi ⊂ P, hoặc là Mi ⊂ N. Vì N là môđun con thực sự của M nên sẽ có chỉ số i nào đó để Mi N.

Định lý 2.4.12. Cho B là P-thứ cấp R môđun Artin. Cho S là một tập con nhân trong R.

(1) Nếu S∩ ≠ ∅P thì HomR(R BS, )=0

(2) Nếu S∩ = ∅P thì ánh xạ chính tắc HomR(R BS, )→B, f  f ( )1 là toàn ánh. Trong trường hợp này, HomR(R BS, )được xem như là RS môđun là PRS- thứ cấp.

Chứng minh.

(1) Cho s∈ ∩S P, vì B là P-thứ cấp, phép ánh xạ HomR(R BS, )s→HomR(R BS, ) lũy linh hoặc song ánh tức là HomR(R BS, )=0.

(2) Giả sử S∩ = ∅P , vì S⊂R P\ nghĩa là B = sB, cho tất cả s∈S, B = S(B) và vì thế IB = 0 khi 0 :R

s S

I =∈ s. Do đó B là R/I-môđun. Chúng ta có thể giả sử rằng S bao gồm các ước khác không.

Khi đó, HomR(R BS, ) ggglim{B gs, ts}trong đó Bs =B với mỗi s∈Svà gst:Bt →Bs là phép nhân bởi a nếu t = as. Chúng ta có một dãy khớp chẻ của hệ ngược

{ } { } { }

0→ 0 :B s g, st → B gs, st → B/ 0 :B s g, st →0 trong đó Bs =B cho tất cả s∈Svà ánh xạ tương ứng trên 0 :B s, Bs tương ứng B/ 0 :B slà phép nhân bởi a nếu t = as.

Theo bổ đề 2.1.3, đồng cấu lim{ , t} lim{ / 0 : , t}

s s B s

B g → B s g

ggg ggg là toàn cấu.

Dễ thấy rằng gts:B/ 0 :B t→B/ 0 :B slà đẳng cấu tất cả s t, ∈Svới t = as. Lưu ý rằng phép nhân bởi a trên B là toàn ánh bởi B là P-thứ cấp và a∈R a, ∉P. Do đó,

{ }

limggg B/ 0 :B s g, st →B là một đẳng cấu suy ra HomR(R BS, )→B là toàn ánh. Cụ thể, HomR(R BS, )≠0.

Hơn nữa, phép nhân bởi S

r R

s∈ trên HomR(R BS, ) vừa toàn ánh vùa lũy linh. Bởi vì ( , )

S

R R S S

RadAnn Hom R B =PR là PRSmôđun thứ cấp.

Bây giờ ta chứng minh công cụ kỹ thuật chính cho phép biểu diễn thứ cấp của A liên quan đến đối địa phương hóa HomR(RS, A).

Định lý 2.4.13. Cho A là một R môđun Artin và một phép biểu diễn thứ cấp tối tiểu

1 2 ... n

A= A +A + +A . Cho Pi =RadAnn A iR i, =1, 2,...,n và S∩ = ∅ =Pi ,i 1, 2,...,m.

Điều này tương đương với S∩ ≠ ∅ = +Pi ,i m 1,...,n thì ( , ) ( , 1) ( , 2) ... ( , )

R S R S R S R S m

Hom R A =Hom R A +Hom R A + +Hom R A là một phép biểu diễn thứ cấp tối tiểu của HomR(RS, A).

Đặc biệt chúng ta có ( , A) { : , }

S

R R S S R

Att Hom R = PR P∈Att A P∩ = ∅S .

Chứng minh. Đầu tiên chú ý rằng: HomR(RS, A1∩A2)=HomR(RS, A1)∩HomR(R AS, 2) với A ,1 A2là các môđun con của A.

Tiếp theo áp dụng tính khớp của HomR(RS,*)của R môđun Artin để chỉ ra rằng ( , A / A1 2) ( , A /) ( , A1) ( , 2), 1, 2

R S i R S i R S R S

Hom R ∩A Hom R Hom R ∩Hom R A i=

Tiếp theo lấy dãy khớp thu gọn: 0→A1∩A2 →A1+A2 →A / A1 1∩A2⊕A / A2 1∩A2 →0 để chứng minh HomR(RS, A1+A2)=HomR(RS, A1)+HomR(R AS, 2).

Để kết thúc chứng minh, ta lưu ý rằng HomR(RS,*)là khớp trên R môđun Artin và hoán đổi với các tổng trực tiếp. Do đó, nếu A= A1+A2+ +... An là một phép biểu diễn thứ cấp tối tiểu thì HomR(R AS, )=HomR(R AS, 1)+HomR(R AS, 2)+ +... HomR(R AS, m)là một phép biểu diễn thứ cấp tối tiểu của HomR(RS, A) (theo định lý 2.4.12).

Giả sử R( S, Ai) R( S, Aj), 1

j i

Hom R ⊂Hom R ∑ ≠ ≤ ≤i m.

Lấy a∈Ai tùy ý, vì Ai là Pi thứ cấp nên tồn tại fa∈HomR(RS, Ai) sao cho

(1) a a f = (theo định lý 2.4.12). nhưng a R( S, Aj) j i f ⊂Hom R ∑ ≠ và i Aj j i A ⊂∑ ≠ .

Cụ thể, đối với một R môđun Artin A, theo định lý 2.4.13 ta thấy P∈Att AR khi và chỉ

khi ( , )

P

P R R P

PR ∈Att Hom R A .

Hệ quả 2.4.14. Ảnh của ánh xạ tự nhiên HomR(RS, A)→A là S(A), S thành phần của A.

Chứng minh.Điều này rút ra từ (2.4.12), (2.4.13).