L ỜI NÓI ĐẦU
2.7. Ứng dụng II: Chứng minh kết quả của Taherizadeh
Một ứng dụng khác của đối địa phương hóa là chúng ta chứng minh kết quả sau đây của Taherizadeh. Để có được điều này, cho A là một R môđun Artin, P là một iđêan nguyên tố của R, cho SP( )A được ký hiệu là SP thành phần của A trong đó SP =R P\ .
Mệnh đề 2.7.1. Cho I là một iđêan của vành giao hoán có đơn vị R,
( , ) \ B ( , )
P∈At I A t I A thì có một số nguyên k và một B môđun con P-thứ cấp của R môđun Artin A, trong thực tế B=SP(0 :A Pk) sao cho P là một phần của phép biểu diễn thứ cấp tối tiểu của 0 :A In,∀ ≥n k.
Chứng minh. Cho S biểu thị tập con nhân \ t 1 i
i
R = P trong đó {P1,...,Pt} {= Q∈At(I, A) : QP}
Lấy s∈ ∩P S, vì s không là phần tử của bất kỳ iđêan nguyên tố Q được chứa trong P
với ( 1 )
0 :A n / 0 :A n
Q∈Att I + I với n đủ lớn, suy ra
( 1 )
, 0 : n / 0 : n / 0
R P A A R
Hom R I + I ⊗ R sR= theo tính chất của phép biểu diễn thứ cấp. Áp
dụng hàm tử HomR(RP,*) cho dãy khớp
1 1
(0 :A In)⊗R R sR/ →(0 :A In+ )⊗R R sR/ →(0 :A In+ / 0 :A I Rn )⊗R R sR/ →0 và thực hiện phép toàn ánh ta suy ra rằng có một số nguyên l sao cho đồng cấu
( , 0 : l) / ( , 0 : n) /
R P A R R P A R
Hom R I ⊗ R sR→Hom R I ⊗ R sR là toàn ánh với tất cả ∀ ≥n l
và {Q∈Att(I, A ) : Qn ⊂P}={P P, ,...,1 Pt},∀ ≥n l.
Điều này chỉ ra rằng HomR(RP, 0 :AIl)=HomR(RP, 0 :( AIl+s(0 :AIn))),∀ ≥n l. Điều này tương đương với (0 : n) (0 : l) r (0 : n), , 1
P A P A P A
S I =S I +s S I ∀ ≥n l r≥ . Với mọi n≥l
tổn tại một số r sao cho s Sr P(0 :AIn) (=S 0 :AIn). Do đó,
(0 : n) (0 : l) (0 : n),
P A P A A
Bây giờ ta có (0 : l) ' (0 : n)
P A A
S I = +B S I đối với một số P-thứ cấp môđun B’. Chọn
k ≥l sao cho k ' 0
P B = thì B'⊂SP(0 :APk)⊂SP(0 :AIn),n≥k.
Đặt B=SP(0 :APk) ta có SP(0 :AIn)= +B S(0 :AIn),∀ ≥n k. Do đó, ∀ ≥n kthì P là một môđun P- thứ cấp, là một phần phép biểu diễn thứ cấp nhỏ nhất của 0 :AIn.