L ỜI NÓI ĐẦU
2.8. Đối giá của một môđun
Liên quan tới chứng minh một môđun được coi là địa phương hóa ta có thể định nghĩa đối giá của một môđun theo khái niệm đối địa phương hóa.
Định nghĩa 2.8.1. Cho R môđun X, đặt Cos XR ={P∈SpecR Hom: R(R XP, )≠0}được gọi là đối giá của X.Điều này dễ thấy rằng Cos XR ⊂SpecR. Để có được điều này cho
P⊂Q là hai iđêan nguyên tố của R. khi đó, ( , ) ( , ( , ))
Q
R P R P R Q
Hom R X Hom R Hom R X .
Ta chứng minh điều này.
Bổ đề 2.8.2.
(1) Cho A là một R môđun Artin. Khi đó, bất kỳ iđêan nguyên tố nào chứa một phần tử của Att AR đều thuộc Cos AR .
(2) Bất kỳ iđêan nguyên tố nào của Cos AR sẽ chứa một phần tử của Att AR .
Chứng minh. Cho A=A1+A2+ +... An là phép biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A, trong đó Aicác là các Pi-thứ cấp, i = 1,2,…,n. Cho P là iđêan nguyên tố và Pi ⊂P khi và chỉ khi 1≤ ≤i m với một số nguyên m nhất định. Khi đó ( ) ( )
1 , A , A m R P R P i i Hom R Hom R = =∑
.HomR(RP, Ai)≠ ⇔ ⊂0 Pi P. Theo đó ta có kết luận sau: Đối với một R môđun X tùy ý, biết rằng X ≠ ⇔0 Supp XR ≠0
Đối với một R môđun Artin A, A≠ ⇔0 Cos AR ≠0nhưng điều này không đúng cho mọi trường hợp. Để chứng minh, cho p biểu thị một số nguyên tố của , các số nguyên hoặc 0. Suy ra Hom(( )P ,)= ∀0, p trong khi ≠0. Đây là lý do để hạn chế khái niệm đối giá của R môđun Artin. Ở đây chưa có sự rõ ràng khái niệm đối giá trùng với
R
Bổ đề 2.8.3.
(1) Một R môđun Artin A có một dãy: 0= Ar ⊂Ar−1⊂ ⊂... A1⊂A0 =A trong đó mỗi thương Ai−1/Ai là thứ cấp.
(2) Mỗi một dãy, nếu Pi =RadAnn AR i−1/ Ai, 1∀ ≤ ≤i r thì { 1, 2,..., }
R r R
Att A⊂ P P P ⊂Cos A
(3) Trong (2) cả 3 tập có cùng phần tử nhỏ nhất trùng với tập các iđêan nguyên tố tối tiểu chứa Ann AR .
Chứng minh. (1) và một phần của (2) được chứng minh ở [5, (4.5)], không làm mất tính tổng quát của R môđun với phép biểu diễn thứ cấp. Phần còn lại của (2) được chứng minh bởi Cos AR =Cos AR '∪Cos AR '' cho R môđun Artin trong dãy khớp ngắn
0→A'→ →A A''→0
Cuối cùng (3) đúng bởi tính chất của [5, (2.7)] và bổ đề 2.8.2.
Đặc biệt với R môđun Artin A, bổ đề 2.8.3 chỉ ra rằng Cos A V Ann AR = ( R ) tương đương với nó là một tập con đóng của SpecR. Chúng ta đưa ra kết luận với một R môđun Artin có chiều dài hữu hạn.
Mệnh đề 2.8.4.Cho (R,M) là một vành nửa địa phương. Đối với một R môđun Artin
0
A≠ , các điều kiện sau tương đương: (i) Cos AR ={ }M .
(ii) Att AR ={ }M .
(iii) A là một R môđun có chiều dài hữu hạn.
Chứng minh. Theo các kết quả trước đó, bổ đề 2.8.2 và định lý 2.4.12 đủ để chứng minh rằng (ii) thể hiện điều kiện (iii). Có được điều này là đủ chứng minh rằng
0
k
M A= với một số nguyên k nhất định. Vì A là một R môđun Artin nên tồn tại iđêan hữu hạn sinh I ⊂M sao cho 0 :A In =0 :A Mn,∀ ≥n 1. Vì A là M-thứ cấp nên
0,
k
KẾT LUẬN
Luận văn đạt được một số kết quả như sau:
1. Trình bày được khái niệm và chứng minh một số tính chất cơ bản của đối địa phương hóa.
2. Trình bày một cách hệ thống các khái niệm và chứng minh một số tính chất cơ bản của phép biểu diễn thứ cấp, môđun con của môđun biểu diễn được.
3. Trình bày được tính không Artin của đối địa phương hóa.
4. Trình bày hai ứng dụng: Định lý kép của Bourbaki và Chứng minh kết quả của Taherizadeh.
5. Trình bày được khái niệm và chứng minh một số tính chất về đối giá của một môđun.
Vì thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót và còn một số vấn đề chưa được làm sáng tỏ, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, phê bình và bổ sung của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. N. Bourbaki, (Hermann, Paris, 1963). Theorie des ensembles. Chap 3. sec. ed.
2. N. Bourbaki, (Hermann, Paris, 1967). Algebre commutative. Chap 3. et 4.
3. D. kirbv, (2) 6 (1973),571-576. Coprimary decomposition of Artinian modules, J. London Math. Soc.
4. J.P.Lafon, (Hermann, Paris,1977). Algebre commutative: Langages geometrique et algebrique
5. I. G. Macdonald, 11 (1973), 23-43. Secondary representation of modules over a commutative ring, Sympos.Math.
6. H. Matsumura, (Cambridge University Press, Cambridge, 1986). Commutative ring theory
7. L. Melkersson, 107 (1990), 267-271. asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math. Cambridge Philos. Soc.
8. D.G. Northcott, Quart. J. Math.Oxford (2) 23 (1972), 289-297. Generalized Koszul complexes and Artinian modules, 9. J. ROTMAN, (Academic Press, New York, SanFrancisco, London, 1979). An introduction to homological algebra.
9. R.Y.Sharp, (2)34(1986), 212-218. Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals, J. London Math.Soc.
10. R.Y. Sharp, A method for the study of Artinian modules, with an application to asymptotic behavior, in: Commutative Algebra .
11. A.J.Taherizadeh, J. 30 (1988), 293-300. On asymptotic values of certain sets of attached prime ideals, Glasgow Math.
12. H.Zoschinger, 63 (1988),196-211. Uber koassoziierte Primideale, Math. Scand.