L ỜI NÓI ĐẦU
2.5.Tính không Artin của đối địa phương hóa
Đối địa phương hóa HomR(RS, A) của R môđun Artin A là RS- môđun với phép biểu điễn thứ cấp. Tuy nhiên, nó không phải là RS- môđun Artin. Trong thực tế nếu E là bao nội xạ của trường thặng dư có vành Noether địa phương R với iđêan tối đại M. Nếu P là iđêan nguyên tố của R mà không phải là tối tiểu và ngoài ra khác biệt với M thì E là một R môđun Artin, nhưng HomR(RP, E) không phải là một RP- môđun Artin. Để chứng minh điều này ta cần xác định số iđêan nguyên tố của RP- môđun
( , E)
R P
Hom R .
Bổ đề 2.5.1. Nếu P không là iđêan nguyên tố tối đại của vành Noether địa phương (R,M) và E là bao nội xạcủa R/M thì Ass HomR R(RP, E) {= Q∈SpecR Q: ⊂P}.
Chứng minh. Cho một iđêan nguyên tố Q⊂P, có một đẳng cấu tự nhiên ( / Q , E) / ( / Q , 0 : )
R P P R Q P P E
Hom R R Hom R R Q .
Vì vậy, các môđun đều đẳng cấu với một môđun con của HomR(RP, E). Bây giờ 0 :E Q
bao nội xạ của trường thặng dư của R/Q. Do đó ta có thể kết luận rằng R là một miền nguyên, nghĩa là chúng ta phải chứng minh rằng (0) có liên quan tới HomR(RP, E). Giả sử x∈M P\ và cho Q là một iđêan nguyên tố tối tiểu trên xR, vì vậy htQ = 1 (theo định lý Krull’s principal ideal). Nếu s∈R P\ và t∈R Q\ thì ( )
( ) , , s t R P s t R Q . Vậy ( )s t R, P∪Q nghĩa là u=as bt+ ∈(R P\ ) (∩ R\ Q) với a b, ∈R. Do đó: 1 P Q u a b R R
st =stu =tu+su∈ + . Điều này chỉ ra rằng RP +RQ là vành con của K, trường các thương của R.
Nếu RP+RQ là vành con của K thì RP +RQ có một iđêan nguyên tố N khác không. Do đó, 0≠ ∩ ⊂N R Q, htQ = 1 và do N∩ ⊂R PRP∩ =R P ta sẽ có mau thuẩn x∈P. Vậy
P Q
R +R =K dẫn đến RP /RP∩RQ K R/ Q ≠0.
Nếu af =0,a≠0 trong đó f ∈HomR(K R E/ Q, )thì
0=af K R( / Q)= f(aK R/ Q)= f K R( / Q) Do đó f =0 suy ra ( )0 ∈Ass HomR R(RP /RP ∩R EQ, )⊂ Ass HomR R(R EP, ).
Bây giờ ta giả sử rằng HomR(R EP, )trong đó P≠Mlà một RP- môđun Artin. Khi đó, ( , ) { }
P
R R P P
Ass Hom R E = PR và do đó Ass HomR R(R EP, ) { }= P nên P phải là tối tiểu. Nếu
P là iđêan nguyên tố tối tiểu thì HomR(R EP, )không cần thiết là một RP- môđun Artin. Cho R là một miền Noether địa phương với trường các thương K sao cho bao đủ R có một iđêan nguyên tố Q không tối tiểu đối lập với (0) trong R. Vì Q(n) là Q-primacy,
(n) 0 : n E A = Q là một Q-thứ cấp R môđun, do đó là một (0)-thứ cấp R môđun. Vì (n) (n 1) Q ≠Q + nên ta có thể suy ra rằng (n) (n 1) A A + và (n 1) (n) / A + A là (0)-thứ cấp cho tất cả n. Giả sử HomR(K E, ) là một K môđun Artin, tức là một K không gian vectơ có số chiều hữu hạn là d.
Khi đó ta có một dãy khớp 0→HomR(K, An)→HomR(K E, )→HomR(K E, / An)→0. Do đó, dn =dimK HomR(K, An)≤d. Do (2.1.4) ta có một dãy khớp ngắn
( ) ( 1) ( 1 )
0→HomR K, An →HomR K, An+ →HomR K, An+ / An →0
suy ra dn+1−dn =dimK HomR(K, An+1/ An)>0. Qua đó ta thấy được sự mau thuẩn.