3. PHƢƠNG PHÁP VÀ DỮ LIỆU
3.1.3. Phương pháp hồi quy GMM
Tại sao không OLS mà dùng GMM ?
Phương pháp ước lượng bình phương bé nhất (OLS) là phương pháp được dùng rất phổ biến trong lĩnh vực kinh tế lượng. Ưu điểm của phương pháp này không quá phức tạp nhưng lại rất hiệu quả. Với một số giả thiết ban đầu, phương pháp này sẽ dễ dàng xác định các giá trị ước lượng hiệu quả, không chệch và vững. Chúng ta thu được các ước lượng với những đặc điểm trên khi:
Ước lượng OLS là vững khi các biến là nội sinh và không có đa cộng tuyến.
Ước lượng OLS là không chệch khi phần dư có phương sai không đổi (homoscedastic) và không tự tương quan (no autocorrelation)
Tuy nhiên, khi nghiên cứu về chuỗi dữ liệu thời gian, có nhiều chuỗi vi phạm một hoặc một số giả định của OLS. Khi đó, các ước lượng thu được sẽ bị bóp méo và sẽ là sai lầm nếu sử dụng chúng để phân tích. Một trong những dạng vi phạm giả định phổ biến nhất là hiện tượng ngoại sinh tức là hệ số ước lượng (hoặc biến) tương quan với phần dư.
Phương pháp cơ bản trong trường hợp các biến ở vế phải phương trình tương quan với phần dư là ước lượng một phương trình có dùng các biến công cụ (Instrumental Variables – hồi quy IV). Ý tưởng của phương pháp hồi quy này là tìm một bộ biến, được gọi là biến công cụ, thõa mãn cả hai điều kiện: (1) tương quan với các biến giải thích trong phương trình và (2) không tương quan với phần dư. Những biến công cụ như vậy được dùng để loại vỏ sự tương quan giữa các biến giải thích và phần dư.
Có nhiều phương pháp hồi quy dựa trên nền tảng của hồi quy IV như phương pháp Bình phương bé nhất hai giai đoạn (TSLS), phương pháp Maximum Likelihood trong điều kiện giới hạn thông tin (LIML), phương pháp ước lượng Moment tổng quát (GMM).
Làm thế nào để một hồi quy IV ước lượng ra hệ số với sự tham gia của biến công cụ?
Xem xét mô hình đơn giản sau:
𝑦𝑖 = 𝛽𝑥𝑖 + 𝜖𝑖
Trong đó: i là quan sát thứ i, yi là biến phụ thuộc, xi là biến độc lập, 𝜖𝑖 là phần dư của mô hình. Khi đó hệ số ước lượng 𝛽 sẽ được xác định như sau:
𝛽 𝑂𝐿𝑆 =𝑥′𝑦 𝑥′𝑥 =
𝑥′(𝑥𝛽 + 𝜖) 𝑥′𝑥
Trong đó x, y, 𝜖 là các ma trận cột 𝑛 × 1. Nếu x và 𝜖 không tương quan với nhau thì 𝛽 ước lượng được là vững và không chệch. Tuy nhiên nếu điều ngược lại xảy ra, hệ số ước lượng sẽ bị chệch và không vững, mô hình không còn hiệu quả, tác động của biến x lên biến y bị bóp méo.
Một biến công cụ z, tương quan với biến giải thích x nhưng không tương quan với phần dư 𝜖 sẽ được đưa vào mô hình, phương pháp hồi quy IV sử dụng biến giả đó để xác định hệ số ước lượng như sau:
𝛽 𝐼𝑉 =𝑧′𝑦 𝑧′𝑥 =
𝑧′(𝑥𝛽 + 𝜖) 𝑧′𝑥
Vì biến z không tương quan với 𝜖 nên hệ số ước lượng là vững và không chệch. Phương pháp này có thể tổng quát lên với một mô hình nhiều biến. Ta gọi X là ma trận
𝑛 × 𝐾 các biến giải thích, Z là ma trận 𝑛 × 𝐿 các biến công cụ với K là số lượng biến giải thích, L là số lượng biến công cụ và n là số quan sát của mỗi biến. Khi đó phương
pháp IV có thể được dùng để ước lượng mô hình và hệ số ước lượng sẽ được xác định như sau:
𝛽 𝐼𝑉 = (𝑍′𝑋)−1𝑍′𝑌
Điều kiện để xác định được giá trị ước lượng là 𝐿 ≥ 𝐾
Thủ tục ước lượng GMM và kiểm định cơ bản.
Phần trên đã cố gắng trình bày một cách đơn giản nhất để người đọc có thể hiểu được vai trò của biến công cụ trong hồi quy IV. Tuy nhiên, cách thực hiện tính toán của các phương pháp hồi quy IV là rất phức tạp, GMM là phương pháp hiệu quả, ưu việt hơn cả nên cũng khá phức tạp. GMM được Lars Peter Hansen trình bày lần đầu tiên vào năm 1982 trong bài viết “Large Sample Properties of Generalized Methods of
Moments Estimators” được đăng trong Econometrica, Vol. 50, page 1029-1054.
Như đã đề cập ở phần trên, để ước lượng được hệ số β, chúng ta cần một bộ L vector các biến công cụ (trong ước lượng GMM còn được gọi là các điều kiện moment) và số lượng biến công cụ phải không ít hơn số biến trong mô hình (𝐿 ≥ 𝐾). Điều kiện để một biến được chọn là biến công cụ là nó không được tương quan với phần dư, điều này có nghĩa là:
𝐸 𝑍𝑡𝑢𝑡 𝛽 = 0
Ý tưởng chủ đạo của phương pháp GMM là thay thế giá trị các biến công cụ bằng giá trị trung bình của mẫu
𝐸 𝑍𝑡𝑢𝑡 𝛽 = 1
𝑇 𝑍𝑡𝑢𝑡 𝛽
𝑡
=1
𝑇𝑍′𝑢 𝛽 = 0
và đi tìm Vector β thõa mãn phương trình trên.
Khi số lượng điều kiện moment lớn hơn số biến trong mô hình (𝐿 > 𝐾) thì phương trình không thể xác định một nghiệm chính xác duy nhất (có nhiều nghiệm có thể thõa mãn phương trình). Khi đó mô hình được gọi là overidentified. Trong trường
hợp đó, chúng ta phải thực hiện tính toán lại nhằm xác định giá trị β làm cho điều kiện moment 𝐸 𝑍𝑡𝑢𝑡 𝛽 “gần” bằng 0 nhất có thể, khái niệm “gần” được hiểu là khoảng cách với giá trị 0 là nhỏ nhất, khoảng cách đó được xác định như sau:
𝐽 𝛽, 𝑊𝑇 = 1
𝑇. 𝑢 𝛽 ′𝑍. 𝑊𝑇−1𝑍′𝑢 𝛽
Ma trận ngẫu nhiên, cân xứng và không âm 𝑊𝑇 (kích thước L x L) được gọi là ma trận trọng số vì nó thể hiện mức đóng góp của các điều kiện moment khác nhau vào khoảng cách J. Phương pháp ước lượng GMM sẽ xác định giá trị ước lượng β để khoản cách là J là nhỏ nhất.
Kiểm định quan trọng nhất của phương pháp ước lượng GMM là kiểm định
Overidentifying Restrictions (Overidentifying Restrictions Test) hay còn gọi là kiểm định Sargent (Sargent Test) hoặc kiểm định J (J – Test). Đây là kiểm định cần thiết trong trường hợp số biến công cụ nhiều hơn số biến trong mô hình. Ý tưởng của kiểm định là xem xét biến công cụ có tương quan với phần dư của mô hình không. Nếu câu trả lời là không, khi đó biến công cụ là nội sinh, thì biến công cụ được chọn là phù hợp và mô hình sử dụng biến đó để ước lượng cũng phù hợp. Kiểm định Sargent sử dụng thống kê J (J – statistic) nhằm kiểm định giả thiết H0 - biến công cụ là nội sinh, mô hình phù hợp. Thống kê J tuân theo phân phối Chi Bình phương và được trình bày trên bảng kết quả ước lượng của phần mềm Eviews 7 cùng với giá trị P – Value tương ứng của nó.
Tính chất của phương pháp ước lượng GMM.
Khi số lượng mẫu phù hợp giá trị β ước lượng được sẽ vững, khi đó giá trị ước lượng được sẽ càng gần với giá trị thực của nó. Ước lượng GMM sẽ cho ra các giá trị ước lượng tuân theo phân phối chuẩn, đây là thuộc tính rất quan trọng vì đó là cơ sở để chúng ta xây dựng giá trị dự đoán ở các độ tin cậy (confidence bands) và thực hiện các kiểm định khác. Phương pháp GMM cũng cho ra kết quả là các giá trị ước lượng hiệu
quả, nghĩa là giá trị phương sai trong mô hình ước lượng là nhỏ nhất. Tóm lại, phương pháp GMM cho ra các hệ số ước lượng vững, phân phối chuẩn và hiệu quả.
Một cách tổng quan, GMM là phương pháp tổng quát của rất nhiều phương pháp ước lượng phổ biến.
OLS là trường hợp đặc biệt của GMM khi mà các biến công cụ cũng chính là các biến ước lượng (các biến là nội sinh):
𝐸 𝑥𝑡 𝑦𝑡 − 𝑥𝑡′𝛽 = 0
GLS (Generalized Least Squares) là trường hợp đặc biệt của GMM khi:
𝐸 𝑥𝑡 𝑦𝑡− 𝑥𝑡′𝛽 /𝛿2(𝑥𝑡) = 0
MLE (Maximum Likelihood Estimation) là trường hợp đặc biệt của GMM khi:
𝐸 ∇𝜃𝑙𝑛𝑓(𝑥𝑡, 𝜃 = 0