II. Các loại bài:
A B Trong sơ đồ trên thời điểm phải tìm xe đạp đi đến điểm C, xe
CÁCH GIẢI CÁC DẠNG BÀI VỀ TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CỦA KIM ĐỒNG HỒ.
KIM ĐỒNG HỒ.
Toán về chuyển động của kim đồng hồ là một dạng toán khá khó và trừu tượng đối với học sinh. Để giúp học sinh phân biệt rạch ròi, nắm vững công thức và phương pháp giải một cách chính xác, nhanh nhạy tôi đã chia các bài toán
“Chuyển động của hai kim đồng hồ” thành các dạng và cách giải cụ thể cho mỗi dạng như sau:
* Trường hợp 1: Khoảng cách giữa 2 kim lớn hơn 0.
Bài toán: Bây giờ là 7 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu kim phút lại trùng lên kim giờ ?
Phân tích: Kim phút và kim giờ chuyển động vòng tròn nên đây là dạng toán
chuyển động cùng chiều đuổi nhau. Muốn biết được sau ít nhất bao lâu kim phút lại trùng lên kim giờ ? Ta hướng dẫn học sinh theo các bước cụ thể sau:
- Giáo viên cho học sinh quan sát vị trí của kim phút và kim giờ trên đồng hồ thật để trả lời câu hỏi:
(?) Vào lúc 7 giờ, kim phút và kim giờ nằm ở vị trí nào ?
(Kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 7)
(?)Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ lúc đó là bao nhiêu ?
(7/12 vòng đồng hồ)
(?) Đến khi kim phút và kim giờ trùng khít lên nhau thì khoảng cách giữa hai kim là bao nhiêu ?
(Bằng 0)
(?) Lúc đó kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao nhiêu ?
(Lúc đó kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ một đoạn đường đúng bằng khoảng cách giữa hai kim đồng hồ lúc 7 giờ đúng, nghĩa là bằng 7/12 vòng đồng hồ).
(?) Mỗi giờ kim phút và kim giờ đi được bao nhiêu ?
(Cứ mỗi giờ kim phút đi được 1 vòng đồng hồ còn kim giờ chỉ đi được 1/12 vòng đồng hồ nên trong một giờ kim phút đi nhanh hơn kim giờ là: 1 – 1/12 = 11/12 vòng đồng hồ.
Như vậy đây là chính là dạng toán “Hai động tử chuyển động cùng chiều đuổi nhau” có khoảng cách ban đầu là 7/12 vòng đồng hồ và hiệu hai vận tốc là 11/12 vòng đồng hồ. Từ sự hướng dẫn, phân tích đó học sinh sẽ vận dụng và giải bài toán như sau:
Bài giải:
Trong một giờ kim phút đi được 1 vòng đồng hồ thì kim giờ sẽ đi được 1/12 vòng đồng hồ. Vậy hiệu vân tốc giữa kim phút và kim giờ là:
1 - 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ)
Lúc 7 giờ kim giờ cách kim phút 7/12 vòng đồng hồ.
Khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút lại trùng với kim giờ là: 7/12 : 11/12 = 7/11 (giờ)
Đáp số: 7/11 giờ
Cách tính: Lấy khoảng cách giữa 2 kim chia cho hiệu vận tốc của chúng. * Trường hợp 2: Khoảng cách giữa 2 kim bằng 0.
Bài toán: Bây giờ là 12 giờ, ít nhất sau bao lâu hai kim đồng hồ sẽ chập nhau ?
Phân tích: Ta nhận thấy lúc 12 giờ khoảng cách giữa hai kim là bằng 0 nên ta
hướng dẫn học sinh giải theo các bước sau:
Lúc 12 giờ, hai kim đồng hồ cùng chỉ vào số 12. Vì kim phút đi nhanh hơn kim giờ nên kim phút đi hết một vòng đồng hồ tức là 1 giờ mà hai kim vẫn chưa gặp nhau, lúc này là 1 giờ đúng.
Lúc 1 giờ kim phút chỉ vào số 12, kim giờ chỉ vào số 1. Khoảng cách lúc này giữa hai kim là 1/12 vòng đồng hồ.
Hiệu vận tốc của hai kim là: 1 – 1/12 =11/12 (vòng đồng hồ/giờ).
Kể từ lúc 1 giờ, thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là: 1/12 : 11/12 = 1/11 (giờ)
Kể từ lúc 12 giờ, thời gian để hai kim chập nhau là: 1 + 1/11 = 12/11 (giờ)
Đáp số : 12/11 giờ
Cách tính: Lấy 1 cộng với số thời gian ít nhất để hai kim trùng khít lên
nhau biết hiện tại lúc đó là 1 giờ đúng.
Dạng 2: Hai kim vuông góc với nhau.
* Trường hợp 1: Khoảng cách giữa 2 kim nhỏ hơn hoặc bằng 1/4 vòng đồng hồ.
Bài toán: Hiện nay là 3 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu nữa thì kim phút và kim giờ vuông góc với nhau ?
Phân tích:Lúc 3 giờ kim phút vuông góc với kim giờ nên khoảng cách giữa hai
kim là 1/4 vòng đồng hồ. Để kim phút vuông góc với kim giờ một lần nữa thì kim phút phải đuổi kịp kim giờ và đi tiếp đến khi khoảng cách giữa hai kim là 1/4 vòng đồng hồ. Từ cách phân tích này ta có bài giải sau:
Bài giải:
Hiệu vân tốc giữa kim phút và kim giờ là: 1 - 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ)
Lúc 3 giờ khoảng cách giữa hai kim là 1/4 vòng đồng hồ. Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút lại vuông góc với kim giờ là:
( 1/4+ 1/4) : 11/12 = 6/11 (giờ)
Đáp số: 6/11 giờ
Cách tính: Lấy khoảng cách giữa 2 kim cộng 1/4 rồi chia cho hiệu vận tốc
của chúng.
* Lưu ý: Khi hướng dẫn học sinh trả lời câu hỏi: “Lúc đó kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao nhiêu ?” chúng ta cần lưu ý:
Đây là câu hỏi tương đối trừu tượng. Để học sinh dễ hình dung giáo viên nên cho học sinh quan sát hình vẽ để nhận thấy: Khi kim phút và kim giờ tiếp tục tạo với nhau một góc vuông thì kim phút đã chạy vượt lên gặp kim giờ. Tại thời điểm đó, kim phút đã đi hơn kim giờ một đoạn đường bằng KCBĐ (1/4 vòng đồng hồ) và 1/4 vòng đồng hồ nữa. Như vậy từ lúc 3 giờ đến khi kim phút và kim giờ vuông góc với nhau một lần nữa thì kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường là: 1/4+ 1/4 = 1/2(vòng đồng hồ).
* Trường hợp 2: Khoảng cách giữa 2 kim lớn hơn 1/4 vòng đồng hồ và nhỏ hơn hoặc bằng 3/4 vòng đồng hồ.
Bài toán : Hiện nay là 5 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu nữa thì kim phút và kim
giờ vuông góc với nhau?
Phân tích: Lúc 5 giờ thì khoảng cách giữa hai kim là 5/12 vòng đồng hồ. Khi hai
kim vuông góc với nhau thì khoảng cách giữa hai kim lúc này là 1/4 vòng đồng hồ. Do đó kim phút phải đi nhanh hơn kim giờ một đoạn đường đúng bằng 5/12 – 1/4= 1/6 vòng đồng hồ và lúc này hai kim sẽ vuông góc với nhau.
Bài giải:
Hiệu vân tốc giữa kim phút và kim giờ là: 1 - 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ)
Lúc 5 giờ kim giờ cách kim phút 5/12 vòng đồng hồ.
Khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút vuông góc với kim giờ là: (5/12 – 1/4) : 11/12 = 2/11 (giờ)
Đáp số: 2/11 giờ
Cách tính: Lấy khoảng cách giữa 2 kim trừ 1/4 rồi chia cho hiệu vận tốc của
chúng.
* Trường hợp 3: Khoảng cách giữa 2 kim lớn hơn 3/4 vòng đồng hồ.
Bài toán :Hiện nay là 10 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu nữa thì kim phút và kim giờ vuông góc với nhau ?
Phân tích: Với bài toán này ta hướng dẫn cụ thể như sau:
Học sinh quan sát hình vẽ mặt đồng hồ lúc 10 giờ và nhận xét:
Vào lúc 10 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 10. Lúc này khoảng cách giữa kim phút và kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) lúc đó là 5/6 vòng đồng hồ. Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau một góc vuông thì khoảng cách giữa
kim giờ và kim phút (tính theo chiều kim đồng hồ) là 1/4 vòng đồng hồ. Khi kim
phút và kim giờ tạo với nhau một góc vuông thì khoảng cách từ kim phút đến kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là 3/4 vòng đồng hồ ( 1 – 1/4). Như vậy, khi kim phút và kim giờ tạo với nhau một góc vuông thì kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ một đoạn đường bằng khoảng cách ban đầu trừ đi 3/4 vòng đồng hồ. Từ sự hướng dẫn phân tích đó học sinh sẽ dễ dàng giải được bài toán như sau:
Bài giải:
Lúc 10 giờ khoảng cách giữa hai kim (tính theo chiều kim đồng hồ) là 5/6 vòng đồng hồ.
Khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông thì khoảng cách từ kim giờ đến kim phút (tính theo chiều kim đồng hồ) là 1/4 vòng đồng hồ. Vậy khoảng cách từ kim phút đến kim giờ lúc này (tính theo chiều kim đồng hồ) là:
1 – 1/4 = 3/4 (vòng đồng hồ)
Trong khoảng thời gian đó thì kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ là : 5/6 - 3/4 = 1/12 (vòng đồng hồ)
Hiệu vận tốc của hai kim là: 1 – 1/12 =11/12 (vòng đồng hồ/giờ).
Kể từ lúc 10 giờ, khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút và kim giờ vuông góc với nhau là:
1/12 : 11/12 = 1/12 (giờ)
Đáp số : 1/12 giờ
Cách tính: Lấy khoảng cách giữa hai kim trừ 3/4 rồi chia cho hiệu vận tốc của
chúng.
Dạng 3: Hai kim thẳng hàng với nhau.
* Trường hợp 1: Khoảng cách giữa 2 kim nhỏ hơn hoặc bằng 1/2 vòng đồng hồ.
Bài toán: Bây giờ là 4 giờ. Hỏi thời gian ngắn nhất để hai kim đồng hồ thẳng hàng với nhau là bao nhiêu ?
Phân tích: Để hai kim đồng hồ thẳng hàng nhau thì kim phút và kim giờ phải cách
nhau một khoảng là 6/12 vòng đồng hồ (hay 1/2 vòng đồng hồ).
Lúc 4 giờ khoảng cách ban đầu giữa kim phút và kim giờ là 1/3 vòng đồng hồ. Sau đó kim phút đuổi kịp kim giờ (trùng với kim giờ ), để hai kim thẳng hàng với nhau thì kim phút phải đi vượt kim giờ 1/2 vòng đồng hồ nữa .
Như vậy để hai kim thẳng hàng nhau thì kim phút phải đi nhiều hơn kim giờ một quãng đường bằng tổng khoảng cách ban đầu của hai kim và 1/2 vòng đồng hồ nữa.
Bài giải:
Hiệu vân tốc giữa kim phút và kim giờ là: 1 - 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ)
Lúc 4 giờ kim giờ cách kim phút 1/3 vòng đồng hồ. Từ lúc đuổi kịp kim giờ, muốn hai kim thẳng hàng với nhau thì kim phút phải đi vượt kim giờ 1/2 vòng đồng hồ nữa. Như vậy, kể từ lúc 4 giờ tới lúc hai kim thẳng hàng với nhau thì kim phút phải đi nhiều hơn kim giờ là:
1/3+ 1/2 = 5/6 (vòng đồng hồ) Sau ít nhất bao lâu hai kim thẳng hàng với nhau là: 5/6 : 11/12 = 10/11 (giờ)
Đáp số: 10/11 giờ
Cách tính: Lấy khoảng cách giữa 2 kim cộng 1/2 rồi chia cho hiệu vận tốc giữa
chúng.
* Trường hợp 2: Khoảng cách giữa 2 kim lớn hơn 1/2 vòng đồng hồ.
Bài toán : Bây giờ là 10 giờ. Hỏi khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì lúc đó là mấy giờ ?
Phân tích: Lúc 10 giờ khoảng cách ban đầu tính từ kim phút đến kim giờ 5/6 vòng
đồng hồ. Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng khoảng cách giữa kim phút và kim giờ là 1/2 vòng đồng hồ. Khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng 5/6 – 1/2 = 1/3 vòng đồng hồ. Ta có bài giải sau:
Bài giải:
Hiệu vân tốc giữa kim phút và kim giờ là: 1 - 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ)
Lúc 10 giờ kim giờ cách kim phút 5/6 vòng đồng hồ. Để hai kim đồng hồ thẳng hàng nhau thì kim phút và kim giờ phải cách nhau một khoảng là 1/2 vòng đồng hồ. Như vậy, từ lúc 10 giờ đến khi hai kim thẳng hàng với nhau thì kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ là :
5/6 – 1/2 = 1/3 (vòng đồng hồ)
Kể từ lúc 10 giờ, thời gian để kim phút và kim giờ thẳng hàng nhau là: 1/3 : 11/12 = 4/11 (giờ)
Lúc đó là: 10 + 4/11 = 114/11 (giờ)
Đáp số: 114/11 giờ
Cách tính: Lấy khoảng cách giữa 2 kim trừ 1/2 rồi chia cho hiệu vận tốc giữa
chúng.
Dạng 4: Hai kim chuyển động đổi chỗ cho nhau.
Bài toán : Lan ngồi làm bài văn cô giáo cho về nhà. Khi Lan làm xong bài thì thấy vừa lúc hai kim đồng hồ đã đổi chỗ cho nhau. Hỏi Lan làm bài văn hết bao nhiêu phút ?
Phân tích: Khi hai kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau thì kim phút đã đi được một
quãng đường từ vị trí của kim phút đến vị trí của kim giờ, còn kim giờ thì đi được một quãng đường từ vị trí của kim giờ đến vị trí của kim phút. Như vậy tổng quãng đường hai kim đã đi đúng bằng một vòng đồng hồ. Như vây muốn tính được thời gian hai kim đổi chỗ cho nhau ta lấy tổng quãng đường hai kim đã đi chia cho tổng vận tốc của hai kim.
Bài giải:
Từ khi Lan bắt đầu làm bài cho đến khi hai kim đổi chỗ cho nhau thì kim phút đã đi được một quãng đường từ vị trí của kim phút đến vị trí của kim giờ còn kim giờ thì đi được một quãng đường từ vị trí của kim giờ đến vị trí của kim phút. Như vậy tổng quãng đường hai kim đã đi đúng bằng một vòng đồng hồ.
Mỗi giờ kim phút đi được 1 vòng đồng hồ còn kim giờ chỉ đi được 1/12 vòng đồng hồ nên tổng vận tốc của hai kim là:
1 + 1/12 =13/12 (vòng đồng hồ/giờ). Thời gian Lan làm xong bài văn là:
1 : 13/12 = 12/13 (giờ)
Đáp số: 12/13 giờ
Cách tính: Ta lấy 1 chia cho tổng vận tốc của hai kim.
HÌNH HỌC
Bài 1:
đoạn AI lấy điểm M để có MI=1/2AM. Nối và kéo dài đoạn CM cắt cạnh AB tại N. So sánh diện tích 2 hình tam giác AMN và BMN.
(Phỏng theo đề thi HSG Toán cấp Tỉnh An Giang khoảng năm 1983_1984)
Giải
Ta có SMIC= 1/2 SMCA (2 tam giác có IM= 1/2 AM; cùng đường cao kẻ từ C).
SMIC=SMIB (2 tam giác có IB=IC; cùng đường cao kẻ từ M).
Cho ta: SAMC=SBMC (SBMC=SMIC+SMIB).
Hai tam giác AMC và BMC có chung đáy MC. Nên 2 đường cao kẻ từ A và từ B xuống cạnh đáy MC bằng nhau.
Hai đường cào này cũng chính là 2 đường cao của 2 tam giác AMN và BMN. Hai tam giác này lại có cạnh đáy chung là MN.
Vậy: SAMN=SBMN
Bài 2:
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NA < NC. Tìm điểm M trên BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác ABC làm 2 phần có diện tích bằng nhau?
Hướng dẫn tìm cách giải
Nếu N là điểm K trung điểm của AC thì NB (KB) sẽ chia hình tam giác ABC làm 2 hình tam giác có diện tích bằng nhau. Do NA < NC nên điểm M phải nằm trên BC.
Qua hình vẽ cho ta thấy điểm M trên BC thế nào để NM và KB kết hợp với 2 cạnh của ABC để có 2 hình tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau thì M chính là điểm cần tìm.
Giải
Lấy K là trung điểm của AC. Nối BK.
Ta có SABK = SCBK (K trung điểm AC) ==> SABK = 1/2 SABC Từ K kẻ đoạn thẳng song song với NB cắt BC tại M.
Trong hình thang NBMK cặp tam giác NOK và BOM có diện tích bằng nhau.
(SNBK=SNBM ; SNOK=SNBK – SNBO ; SBOM= SNBM – SNBO==> SNOK=SBOM)
Tứ giác ABMN có: SABMN = SABK + SBOM – SNOK = SABK = SABC Vậy M chính là điểm cần tìm.
Bài 3:
chiều dài. Trong vườn người ta xẻ 2 lối đi có chiều rộng là 1m (như hình vẽ). Tính phần diện tích còn lại để trồng cây?
Cách 1:
Chiều rộng miếng vườn: 25 : 5 x 3 = 15 (m)
Chiều dài mỗi hình chữ nhật nhỏ: ( 25 - 1 ) : 2 = 12 (m) Chiêu rộng mỗi hình chữ nhật nhỏ: ( 15 - 1 ) : 2 = 7 (m)
Diện tích phần còn lại để trồng cây: 12 x 7 x 4 = 336 (mét vuông) Đáp số : 336 mét vuông
Cách 2:
Chiều rộng miếng vườn : 25 : 5 x 3 = 15 (m) Diện tích miếng vườn : 25 x 15 = 375 (mét vuông) Diện tích lối đi theo chiều dài : 25 x 1 = 25 (mét vuông) Diện tích lối đi theo chiêu rộng : 15 x 1 - 1 = 14 (mét vuông)
Diện tích phần đất còn lại để trồng cây: 375 - ( 25 + 14 ) = 336 (mét vuông) Đáp số : 336 mét vuông
Cách 3:
Giả sử ta dời 2 lối đi ra sát bìa ranh miếng
vườn, lúc này lối đi sẽ có hình chữ L (như hình vẽ) và phần đất còn lại là hình chữ nhật trọn vẹn.
Chiều rộng miếng vườn : 25 : 5 x 3 = 15 (m) Chiều rộng phần đất còn lại : 15 - 1 = 14 (m) Chiều dài phần đất còn lại : 25 - 1 = 24 (m) Diện tích phần đất còn lại để trồng cây : 24 x 14 = 336 (mét vuông)
Đáp số : 336 mét vuông
Bài 4
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = NB. P là điểm chia cạnh DC thành 2 phần bằng nhau. ND cắt MP tại O, nối PN (hình vẽ). Biết diện tích tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5