2 Các dạng toán về số chính phương
3.4.4Chứng minh sự chia hết
Lời giải. Ta có: A = 7.52n + 12.6n Vì 25 ≡ 6 (mod 19). ⇒A ≡ 7.6n+ 12.6n (mod 19) ⇒A ≡ 19.6n (mod 19) ⇒ A...19. Ví dụ 3.21. Chứng minh A = 222n + 5...7,∀n ≥1. Lời giải.
Ta có 23 = 8 ≡1 (mod 7). Ta đi tìm số dư của 22n khi chia cho 3. Ta có: 22n = 4n. Vì 4 ≡ 1 (mod 3) nên 4n ≡ 1 (mod 3).
Vậy 22n có thể viết dưới dạng 22n = 3k + 1(k ∈ N∗).
⇒A = 23k+1+ 5 = 2.8k + 5 ≡2 + 5 ≡ 0 (mod 7) ⇒A...7. Ví dụ 3.22. Chứng minh rằng 192420032004 n + 1920124,(∀n ∈ N∗) Lời giải. Ta có 124 = 4×31. Đặt A = 192420032004 n + 1920124 .
Vì 1924 ≡ 2 (mod 31),1920 ≡ −2 (mod 31) nên A ≡ 220032004
n
− 2
(mod 31) (*)
Mặt khác 25 = 32 ≡ 1 (mod 31). Ta cần tìm số dư của 20032004n khi chia cho 5.
Ta có: 2004n...4 ⇒2004n = 4k(k ∈ N∗) ⇒ 20032004n = 20034k. Vì 2003 ≡3 (mod 5) nên 20034k ≡ 34≡k81k ≡ 1 (mod 5). Vậy 20032004n ≡1 (mod 5), vậy 20032004n = 5m+ 1(m ∈ N∗). Từ đó ta có: 220032004
n
= 25m+1 = 2(25)m ≡ 2 (mod 31). Thay vào (*) suy ra A ≡ 0 (mod 31) hay A...31. Hơn nữa, dễ thấy rằng A chia hết cho cả 4, nên ta suy ra điều phải chứng minh.
3.5 Bài tập tương tự
Bài tập 3.1. Chứng minh rằng mỗi số sau không là số chính phương : a) A = 12345678
b) B = 996699 + 20112012
c) C = 72012 + 52013
d) D = 3.512010+ 242
Bài tập 3.2. Chứng minh rằng mỗi số sau không là số chính phương với các số nguyên dương n, m bất kì :
a) E = 19n5 + 15n3 −19n−2
b) F = n6 −n4 + 2n3 + 2n2(n > 1)
c) G= 3nm−1
d) H = 3n+ 4.
Bài tập 3.3. Chứng minh rằng mỗi số sau không là số lũy thừa: a) K = 1012+ 32
b) Tổng các bình phương của năm số nguyên liên tiếp.
Bài tập 3.4. Chứng minh rằng mỗi số sau không là số chính phương : a) n3 + 1 với số tự nhiên lẻ n.
b) 2.13n + 5.7n+ 26 với số tự nhiên n.
Bài tập 3.5. Tìm mọi cặp số (m, n), mỗi số nhỏ hơn 60, mà tổng m+n
và tích mn đều là số chính phương.
Bài tập 3.6. Chứng minh rằng với x ≥ y ≥ 1 thì số x2 + y không là số chính phương
Bài tập 3.7. Chứng minh rằng với n ≥ 2 thì số 2n −1 không là số lũy thừa.
Bài tập 3.8. Chứng minh rằng với n ≥ 4 thì số 2n + 1 không là số lũy thừa. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài tập 3.9. Chứng minh rằng mỗi số sau là số chính phương với n là số tự nhiên:
a) Tích của bốn số nguyên liên tiếp cộng với 1.
b)4S + 1 với S = 1.2.3 + 2.3.4 +· · ·+n(n+ 1)(n+ 2).
Bài tập 3.10. Tìm các số nguyên n sao cho 15n+ 34 là số chính phương. Bài tập 3.11. Tìm các sốnguyên n sao cho n2 + 5n + 11 là số chính phương.
Bài tập 3.12. a) Tìm số nguyên n2 nhỏ nhất sao cho với mỗi số nguyên
m ≥ n2 thì có số lũy thừa a2 thỏa mãn m < a2 < 2m.
b) Tìm số nguyên n3 nhỏ nhất sao cho với mỗi số nguyên m ≥ n3 thì có số lũy thừa a3 thỏa mãn m < a3 < 2m.
Bài tập 3.13. Giải phương trình nghiệm nguyên dươngm2+n2 = (n+1)2.
Bài tập 3.14. Cho phương trình nghiệm nguyên dương x2 +y2 = z2.
a) Chứng minh rằng hoặc x hoặc y phải chia hết cho 3. b) Chứng minh rằng hoặc x hoặc y phải chia hết cho 4.
c) Chứng minh rằng hoặc x hoặc y hoặc z phải chia hết cho 5.
d) Giải phương trình x2 + y2 = z2 với x, y, z từng cặp nguyên tố cùng nhau.
Bài tập 3.15. a) Giải phương trình nghiệm nguyênx2+(x+1)2 = (x+2)2.
b) Chứng minh rằng phương trìnhxn+(x+1)n = (x+2)nkhông có nghiệm số tự nhiên với n > 2.
c) Giải phương trình nghiệm nguyên x3 + (x+ 1)3 + (x+ 2)3 = (x+ 2)3.
d) Chứng minh rằng phương trìnhx3+(x+1)3+(x+2)3+(x+3)3 = (x+4)3
không có nghiệm nguyên.
Bài tập 3.16. Hãy tìm dấu hiệu chia hết cho m biết rằng 10k ≡ 1 (mod m).
Áp dụng: Tìm xem số 6238357 có chia hết cho 37 không?
Bài tập 3.17. Áp dụng tính chất các số đồng dư tìm lại phép thử với số 9 đối với phép nhân và phép chia hai số tự nhiên.
Bài tập 3.18. a) Bằng cách viết số nguyên theo hệ thống đếm cơ số 100 suy ra tiêu chuẩn chia hết cho 101.
b) Bằng cách viết số nguyên theo hệ thống đếm cơ số 100 suy ra tiêu chuẩn chia hết cho 37, 7, 11, 13.
Bài tập 3.19. Cho a ∈ Z. Chứng minh rằng a) Nếu a ≡ 1 (mod 2) thì a2 ≡1 (mod 8).
Bài tập 3.20. Sử dụng hằng đẳng thức và đồng dư, hãy chứng minh: a) 1110−1...100.
b) 19641962+ 19631964+ 19651966+ 2...7. c) 241917+ 141917...19.
d) 22n+2 + 24n+ 14...18,∀n∈ N.
Bài tập 3.21. Giải các phương trình vô định sau: a)31x−43y = 5.
b)50x+ 17y = 8.
c)11x+ 25y = 30.
d)79x+ 13y = 27. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài tập 3.22. Giải và biện luận theo số nguyên m các phương trình vô định sau đây:
a) 12x+ 8y = 3m+ 2.
b) 15x−20y = 2m−1.
Bài tập 3.23. Giải các phương trình vô định sau đây: a) 5x2 −7 = 11y.
b) 3x2 + 2x = 17y.
Bài tập 3.24. Giải các phương trình vô định sau đây: a) x3 + 1 = 11y.
b) x3 + 2x+ 7y + 9 = 0.
Bài tập 3.25. a) Hãy chỉ ra hai số nguyên dương x, y khác nhau sao cho
xy +x và xy +y đều là các số chính phương.
b) Có hay không các số x, y phân biệt thuộc khoảng (998, 1994) sao cho
xy +x và xy +y đều là các số chính phương.
Bài tập 3.26. Số tự nhiên A gồm 1999 chữ số 1, một chữ số 2 và một chữ số 0. Hỏi A có thể là số chính phương hay không?
Bài tập 3.27. Chứng minh rằng:n! + 2003 không thể là số chính phương, với mọi n là số tự nhiên.
Bài tập 3.28. Chứng minh rằng A = 1! + 2! +· · · +n! không thể là số chính phương với mọi n > 3.
Bài tập 3.29. Chứng minh rằng, tổng bình phương của 1984 số nguyên liên tiếp không là số chính phương.
Bài tập 3.30. Cho n lẻ. Chứng minh A = n2004 + 1 không là số chính phương.
Bài tập 3.31. Chứng minh rằng:∀n ∈ N∗, số A = 1 + 92n+ 452n+ 19452n
không phải là số chính phương.
Bài tập 3.32. Chứng minh rằng: A = 1 + 1919+ 93199 + 19931994 không phải là số chính phương.
Bài tập 3.33. Tìm n tự nhiên sao cho 3n + 4 là số chính phương.
Bài tập 3.34. Tìma nguyên sao cho A= a2+ 10a+ 1964 là một số chính phương.
Bài tập 3.35. Tìmnsao cho n+ 1945 vàn+ 2004là các số chính phương. Bài tập 3.36. Tìm số tự nhiên n sao cho 9 + 2n là số chính phương. Bài tập 3.37. Tìm số tự nhiên n sao cho 3n + 19 là số chính phương. Bài tập 3.38. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2002 là một số chính phương.
Bài tập 3.39. Tìm tất cả các số nguyên nsao cho n4+ 2n3+ 2n2+n+ 7. Bài tập 3.40. Hãy tìm số chính phương lớn nhất các chữ số cuối khác 0 sao cho sau khi xóa bỏ hai chữ số cuối thì thu được một số chính phương.
Kết luận
Luận văn “Một số dạng toán liên quan đến các số chính phương" nhằm: - Cung cấp một số phương pháp có tính hệ thống để tiếp cận các dạng toán chuyên đề số học và các vấn đề liên quan.
- Đó là các dạng toán chưa được học ở bậc đại học. Các kiến thức về chuyên đề này góp phần vào việc bồi dưỡng hiệu quả học sinh giỏi toán bậc THCS và THPT.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Văn Ngọc, Vũ Kim Thuỷ . Bài giảng số học. NXB Giáo dục Việt Nam, 2010.
[2] Hà Huy Khoái . Số học. NXB Giáo dục, 2008.
[3] Lê Hải Châu . Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam (1990-2006). NXB Giáo dục, 2008. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[4] Phan Huy Khải . Các bài toán cơ bản của số học. NXB Giáo dục, 2004.
[5] Nguyễn Văn Mậu. Bất đẳng thức, định lý và áp dụng. NXB Giáo dục, 2005.
[6] Nguyễn Văn Mậu. Các bài toán nội suy và áp dụng. NXB Giáo dục, 2006.
[7] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm thế Long, Nguyễn Minh Tuấn.
Các đề thi olympic Toán sinh viên toàn quốc. NXB Giáo dục, 2006. [8] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy