2 Các dạng toán về số chính phương
3.4.1 Ứng dụng vào giải bài toán về số chính phương
Định nghĩa 3.2. Số nguyên là số chính phương nếu nó là bình phương của một số nguyên, tức là a = b2, trong đó b là một số nguyên.
Có nhiều kết quả hay liên quan đến số chính phương, chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất đặc biệt của loại số này thông qua các ví dụ.
* Các ví dụ:
Ví dụ 3.8.Chứng minh rằng số N = 1234567891011121314151617181920212223 không phải là số chính phương.
Lời giải.
Ví dụ này được đưa ra để minh họa cho tính chất đặc trưng về chữ số tận cùng của một số chính phương.
Ta biết rằng nếu số A có tận cùng là a thì A2 có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của a2 (do A ≡ a (mod 10) ⇒ A2 ≡ a2 (mod 10), hơn nữa
02 = 0,12 = 1,22 = 4,32 = 9,42 = 16,52 = 25,62 = 36,72 = 49,82 = 64,92 = 81. Vậy chữ số tận cùng của số chính phương chỉ có thể là một trong các chữ số: 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Áp dụng vào bài toán, vì N có tận cùng là 3 nên rõ ràng N không thể là một số chính phương, ta có điều phải chứng minh.
Cũng chính vì lý do đó, ta có các số sau đây không phải là số chính phương.
M = 12345678910111213141516171819202122P = 123456789101112131415161718192021222324252627, . . .
Ví dụ 3.9. Chứng minh rằng, không có số chính phương A nào có một trong hai dạng sau (n ∈ Z).
a) A = 4n+ 2.
b) A = 4n+ 3.
Lời giải. Ví dụ này muốn đề cập đến số dư của một số chính phương khi chia cho 4.
Xét a là một số nguyên bất kỳ. Dễ thấy, nếu a là số chẵn: a = 2b thì
a2 = 4b2 hay a2 chia hết cho 4. Còn nếu a là số lẻ: a = 2b + 1 thì
a2 = 4b(b+ 1) + 1 ≡ (mod 4).
Từ đó ta nhận thấy rằng một số chính phương hoặc chia hết cho 4, hoặc chia 4 dư 1. Vậy hai số trong đề bài không thể là số chính phương vì không thỏa mãn nhận xét trên, ta có điều phải chứng minh.
Chú ý: Khi a là một số lẻ thì a2 = 4b(b+ 1) + 1, do b và b + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên trong hai số luôn có một số chẵn. Do đó a2 không những chia 4 dư 1 mà còn chia 8 dư 1.
Ví dụ 3.10. Chứng minh rằng, không có số chính phương nào có một trong các dạng sau:
a) A = 9n+ 2.
b) B = 9n+ 5.
c) C = 9n+ 8.
Lời giải. Trong ví dụ này ta đề cập đến số dư của một số chính phương khi chia cho 3 hoặc 9.
Xét a là số nguyên bất kỳ. Khi a chia hết cho 3: a = 3k, ta có a2 = 9k2
chia hết cho 9. Khi a không chia hết cho 3: a ≡ ±1 (mod 3) suy ra a2 ≡ 1 (mod 3).
Từ đó ta có nhận xét, một số chính phương luôn hoặc chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1. Vậy các số ra trong đề bài không thể là số chính phương, ta có điều phải chứng minh.
Chú ý:
- Nếu một số chính phương mà chia hết cho một số nguyên tố p thì nó chia hết cho p2.
- Nếu một số chính phương A = a2 chia hết cho p thì a chia hết cho p. Ví dụ 3.11. Chứng minh rằng các số có dạng n(n+ 1) và n(n+ 2) không thể là các số chính phương với mọi n nguyên dương.
Lời giải.
Ở ví dụ này, chúng ta lại tiếp tục nêu lên một tính chất đặc biệt nữa của số chính phương. Ta biết rằng, giữa hai số chính phương liên tiếp
a2,(a+ 1)2 cũng không còn số chính phương nào cả. từ đó tra nhận thấy rằng: do n(n+ 1) và n(n+ 2) là hai số nằm giữa n2,(n+ 1)2 nên rõ ràng không thể là số chính phương.