2 Các dạng toán về số chính phương
2.4.1 Tổng của ba bình phương có hai bình phương bằng
thành tổng của ba bình phương các số nguyên trong đó có hai số hạng bằng nhau.
Bổ đề 2.7. Nếu p là ước nguyên tố dạng 8k+ 5 hoặc 8k+ 7 và p\x2+ 2y2
thì p là ước của x và y.
lại (x, p) = (y, p) = 1 suy ra x2 ≡ −2y2 (mod p) suy ra
xp−1 ≡ (−2)p−12 yp−1 ⇒2p−12 (−1)p−12 ≡ 1 (mod p).
Nếup = 8k+5thì 2 là số không chính phương theo mod p và p−1
2 = 4k+2
chẵn. Do đó 2p−12 (−1)p−12 ≡ −1 (mod p).
Điều này là không thể.
Nếup = 8k+7thì 2 là số không chính phương theo mod p và p−1
2 = 4k+3
lẻ. Do đó: (−1)p−12 .2p−12 ≡ −1 (mod p). Vô lý.
Ký hiệu A= {n∈ Z+|x2 +y2 = ncó nghiệm nguyên}.
Bổ đề 2.8. Nếu n ∈ A, m ∈ A thì nm ∈ A.
Chứng minh. Giả sử n = a2 + 2b2, m = c2 + 2d2 .
Ta có n.m = (a2 + 2b2)(c2 + 2d2) = (ac−2bd)2 + 2(bc+ad)2.
Vậy nm ∈ A.
Bổ đề 2.9. Giả sử n = p là số nguyên tố. Khi đó p ∈ A khi và chỉ khi
p= 2 hoặc p= 8k + 1 hoặc p = 8k+ 3.
Chứng minh. Giả sử phương trình x2 + 2y2 = p có nghiệm nguyên và
p= 8k+ 5 hoặc p = 8k+ 7. Theo bổ đề 2.7 thì x, y đều chia hết cho p và do đó x2 + 2y2 chia hết cho p2. Vô lý Ngược lại, p = 2 thì 2 = 02 + 2.12. Xét p = 8k+ 1 hoặc p= 8k+ 3. Suy ra -2 là số chính phương theo mod p (suy ra từ 2 là số chính phương theo mod p khi và chỉ khi p = 8k±1 và
(−2)p−12 = (−1)p−12 .2p−12 ).
Do đó tồn tại a ∈ N sao cho a2 ≡ −2 (mod p).
Xét tập {x + ay}, x, y = 0,1,2, . . . , q; q = [√
p]. Tập này có (q + 1)2
phân tử và do p < (q + 1)2 nên có hai cặp (x1, y1) 6= (x2, y2) thỏa mãn
x1 +ay1 ≡ x2 +ay2 (mod p) suy ra
x1 −x2 ≡ a(y2 −y1) (mod p) ⇒(x1 −x2)2 ≡a2(y1 −y2)2 (mod p).
Đặt |x1 −x2| = x,|y1 −y2| = y. Khi đó x2 ≤ q2 < p, y2 ≤ q2 < p.
và ta có x2 ≡ a2y (mod p) suy ra x2 = −2y2 (mod p) hay x2 + 2y2 chia hết cho p. Mà 0 < x2 + 2y2 < p + 2p = 3p nên x2 + 2y2 = p hoặc
x2 + 2y2 = 2p.
Nếu x2 + 2y2 = p thì ta có điều phải chứng minh.
Nếu x2 + 2y2 = 2p thì 4z2 + 2y2 = 2p với x = 2z suy ra y2 + 2z2 = p. Vậy bổ đề 2.9 được chứng minh.
Định lý 2.10. Giả sử n có phân tích tiêu chuẩn n = 2rΠpsi i Πqtj
j . trong đó pi = 8k + 1 hoặc 8k+ 3,qj = 8k + 5 hoặc 8k + 7. Ta có n ∈ A khi và chỉ khi tj là số chẵn với mọi j.
Chứng minh. Điều kiện đủ: Giả sử tj là số chẵn với mọi j. Đặt m = 2rΠpsi
i . Theo bổ đề 2.9 ta có 2 ∈ A, pi ∈ A và do đó theo bổ đề 2.8 ta có
m ∈ A. Khi đó n = m.h2 = (xh)2 + 2(yh)2, h2 = Πqtj j .
Vậy n∈ A.
Điều kiện cần. Giả sử n∈ A thì tồn tại x, y sao cho x2+ 2y2 = n. Giả sử
q là ước nguyên tố của n dạng 8k+ 5 hoặc 8k+ 7 và số mũ của q là t lẻ. Ta có x2 + 2y2 = qtb,(b, q) = 1.
Theo bổ đề 2.7 ta có x21 + 2y21 = qt−2b nếu t > 2.
Sau hữu hạn bước, ta được x2k + 2yk2 = qb.
Cũng theo bổ đề 2.7 dẫn đến điều vô lý.
Ví dụ 2.10. Phương trình x2+2y2 = 21 vô nghiệm vì 21 = 3.7,7 = 8k+7
có số mũ lẻ, nhưng 21 = 42 + 22 + 12.
Dưới đây là kết quả thu được về những giá trị của số nguyên dương n để phương trình n= x2 + 2y2 có nghiệm nguyên dương.
Định lý 2.11. Điều kiện cần và đủ để n biểu diễn được dưới dạng n =
x2 + 2y2 với x, y nguyên dương là
a) Nếu nlà số chính phương thì nphải có ước nguyên tố dạng 8k+ 1 hoặc
8k + 3.
b) Nếu n là số không chính phương thì trong phân tích tiêu chuẩn của n
các ước nguyên tố p = 2 hoặc p = 8k + 5 hoặc p = 8k + 7 phải có số mũ chẵn.
Chứng minh. Điều kiện cần. a) Giả sử n = m2 = a2+ 2b2, a, b ∈ N∗ và
n= 22rΠp2si
i với pi = 8k+ 1 hoặcpi = 8k+ 3. Theo bổ đề 2.7 sau hữu hạn bước, ta có c2+ 2d2 = 22r = 4r suy rac = 2c1, d = 2d1 và c21+ 2d21 = 4r−1. Cũng sau hữu hạn bước, ta được c2k + 2d2k = 1, với ck, dk ∈ N∗.. Vô lý. b) Theo định lý 2.10 ta có trong phân tích tiêu chuẩn củancác ước nguyên tố p= 8k+ 5 hoặc p= 8k+ 7 phải có số mũ chẵn. Giả sử số mũ của 2 là số lẻ. Tương tự như trên, sau hữu hạn bước ta có c2 + 2d2 = 22t.
Nếu t ≥ 3 thì c, d cùng chẵn. Do đó c21 + 2d12 = 2t−3, c = 2c1, d = 2d1.
Cũng sau hữu hạn bước ta dẫn đến c2k + 2d2k = 2, ck, dk ∈ N∗ . Vô lý
ra m = pk suy ra n= p2k2. Ta có p = a2 + 2b2 (theo bổ đề 2.9), suy ra
p2 = (a2 + 2b2)2 = (a2 −2b2)2 + 2(2ab)2 = u2 + 2v2, u, v ∈ N∗.
Suy ra n = (ku)2 + 2(kv)2.
b) Vì nlà số không chính phương và trong phân tích tiêu chuẩn của n các ước nguyên tố p= 8k+ 5 hoặc p = 8k+ 7, p = 2 phải có số mũ chẵn nên
n = m2.h, h= p1p1. . . pk, pi.
là các số nguyên tố phân biệt dạng 8k + 1 hoặc 8k + 3. Theo bổ đề 2.9, ta có h = (a2 + 2b2). Ta thấy rằng nếu a = 0 thì h = 2b2 chẵn, trái với h
là tích các nguyên tố lẻ. Nếu b = 0 thì h = a2 cũng trái với h là tích các nguyên tố lẻ phân biệt.
Vậy n= m2.h = (ma)2 + 2(mb)2, a, b ∈ N∗
2.4.2 Tổng của bốn bình phương có ba bình phương bằng nhauCũng tương tự như phần trên, ta xét bài toán tìm n để phương trình