2 Các dạng toán về số chính phương
3.4.2 Tìm dấu hiệu chia hết
a) Nguyên tắc chung. Muốn tìm dấu hiệu chi hết cho một số m, người ta chuyển về việc tìm dấu hiệu chia hết cho m của những số mỗi lúc một nhỏ để cuối cùng có thể kiểm tra bằng một phép chia đơn giản nhất. Nói chung, người ta chuyển về các trường hợp sau:
- Xét một số tạo thành bởi một nhóm chữ số cuối cùng. - Xét một số tạo thành bởi phép cộng các chữ số của số đó.
- Xét một số tạo thành bởi phép cộng trừ của một nhóm chữ số này với một nhóm chữ số khác.
Những điều đó được chứng minh qua cách tìm tổng quát và những ví dụ cụ thể sau đây:
Tính chất các số đồng dư cho ta một phương pháp tốt để tìm dấu hiệu chia hết và để tìm số dư của phép chia một số tự nhiên A cho một số tự nhiên m. Giả sử xét tiêu chuẩn chia hết của số A cho số m.
Trong hệ thập phân A có dạng: A= an.10n+an−1.10n−1+· · ·+a1.101+
a0.100.
Rõ ràng 100(= 1) chia cho m còn dư 1, còn lại giả sử:
10 chia cho m còn dư r1.
102 chia cho m còn dư r2.
. . . ...
10n chia cho m còn dư rn.
tức là 10k ≡ rk (mod m). Do đó a0 ≡a0 (mod m). a110 ≡ a1r1 (mod m). a2102 ≡ a2r2 (mod m). . . . .. an10n ≡ anrn (mod m). Theo tính chất 2: A ≡(anrn+an−1rn−1 + · · ·+ a1r1 + a0) (mod m). Gọi anrn+ an−1rn−1 + · · ·+a1r1 + a0 = R thì A ≡ R (mod m).
Ta rút ra kết luận sau: Số dư của A chia cho m cũng là số dư của R chia cho m. Do đó A chia hết cho m khi và chỉ khi R ≡ 0 (mod m).
Tìm dấu hiệu chia hết của A cho m chính là tìm điều kiện cho đồng dư thức R ≡ 0 (mod m). Đồng thời A ≡ R (mod m) cũng cho ta phương pháp tìm số dư của A chia cho m.
b) Một số ví dụ.
Loại 1: Chuyển về xét nhóm chữ số cuối cùng:
trường hợp này ta tách số đã cho thành tổng gồm 2 số, một số là bội của 10, của 102, của 103, . . . còn số kia là số tạo thành bởi một nhóm chữ số cuối cùng.
Ví dụ 3.12. Tìm dấu hiệu chia hết cho 2 và 5.
Lời giải. Ta biết 10 ≡ 0 (mod 2) và 10 ≡ 0 (mod 5).
Ta biểu diễn A như sau: A = 10a+ b. Ta có A ≡ b (mod 2) và A ≡ b
(mod 5).
A sẽ chia hết cho 2 hoặc 5 khi và chỉ khi b (tức là số biểu diễn chữ số cuối cùng của A) chia hết cho 2 hoặc 5.
Ví dụ 3.13. Tìm dấu hiệu chia hết cho 8 và 125
Lời giải. ta biết 103 ≡ 0 (mod 8) và 103 ≡ 0 (mod 125)
Ta biểu diễn A= 103.a+b(0 ≤b < 1000)
Ta có A ≡ b (mod 8) và A ≡ b (mod 125).
A sẽ chia hết cho 8 hoặc 125 khi và chỉ khi b (tức là số biểu diễn bởi 3 chữ số cuối cùng của A) chia hết cho 8 hoặc 125.
Chẳng hạn 178632...8 vì 632...8
178632 không chia hết cho 125 vì 632 không chia hết cho 125 Ví dụ 3.14. Tìm dấu hiệu chia hết cho 4; 25
Lời giải.
+ Ta có 102 = 100 ≡ 0 (mod 4) suy ra ai10i ≡ 0 (mod 4) với mọi
i = 2,3, . . . Cho nên: a = an10n+an−110n−1+· · ·+a2102 +a110 +a0 ≡
a110 +a0 (mod 4).
Từ đó ta được: a ≡ 0 (mod 4) ⇔ a110 +a0 ≡ 0 (mod 4) ⇔ a1a0 ≡ 0 (mod 4).
Vậy điều kiện cần và đủ để một số tự nhiên chia hết cho 4 là số gồm hai chữ số tận cùng bên phải của nó chia hết cho 4.
+ Hoàn toàn tương tự, do 102 = 100 ≡ 0 (mod 25) ta được a ≡ 0 (mod 25) ⇔a110 +a0 ≡ 0 (mod 25) ⇔a1a0 ≡0 (mod 25).
Vậy điều kiện cần và đủ để một số tự nhiên chia hết cho 25 là số gồm hai chữ số tận cùng bên phải của nó chia hết cho 25.
Chẳng hạn 1998172 chia hết cho 4 vì 72 chia hết cho 4, nhưng 1998172 không chia hết cho 25 vì 72 không chia hết cho 25.
19511950 chia hết cho 25 vì 50 chia hết cho 25, nhưng 19511950 không chia hết cho 4 vì 50 không chia hết cho 4.
Một cách tổng quát, để tìm dấu hiệu chia hết của A cho m, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định số k nhỏ nhất sao cho 10k...m.
Bước 2: Biểu diễn A qua A = 10ka+ b = mq+b.
Bước 3: Xét mối liên hệ giữa b và A trong phép chia cho m.
Loại 2: Chuyển về xét tổng các chữ số của một số. Đó là trường hợp xét tiêu chuẩn chia hết cho m mà 10k ≡ 1 (mod m).
Ví dụ 3.15. Tìm tiêu chuẩn chia hết cho 3 hoặc 9.
Lời giải. ta thấy 10 ≡ 1 (mod 3) và 10 ≡ 1 (mod 9) và 10k ≡ 1 (mod 3) và 10k ≡ 1 (mod 9) với mọi k.
Theo công thức tính số dư của phép chia A cho m ở trên ta có:
A ≡(a0 +a1 +a2 +· · ·+an) (mod 3) (hoặc mod 9).
a0 +a1 +a2 +· · ·+ an là các chữ số của A .
Kết luận: A sẽ chia hết và chỉ chia hết cho 3 hoặc 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 hoặc 9.
Loại 3: Chuyển về xét một nhóm chữ số này với một nhóm chữ số khác. Đó là trường hợp xét tiêu chuẩn chia hết cho m, mà 10βk = ±1 (mod m)
tùy theo β chẵn hay lẻ.
Trong trường hợp này ta sẽ tách từng nhóm k chữ số một, kể cả từ phải sang trái, rồi tìm mối quan hệ giữa chúng với nhau
Ví dụ 3.16. Tìm tiêu chuẩn chia hết cho 11. Lời giải. Ta thấy 10 ≡ −1 (mod 11).
102 ≡ 1 (mod 11).
do đó 102n ≡ 1 (mod 11).
102n−1 ≡ −1 (mod 11).
Ta biểu diễn: A = a0 +a1.10 +a2.102 +· · ·+a2n−1.102n−1 +a2n.102n.
Theo công thức tính số dư của phép chiaA chom ở trên ta đi tới kết luận: A sẽ chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn (tính từ 0) với tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11.
Chẳng hạn: 74151 có:
[(7 + 1 + 1)−(4 + 5)]...11. Vậy 74151...11
Lời giải. Ta thấy 103 ≡ −1 (mod 7).
103.2 ≡1 (mod 7).
do đó 103.(2n−1) ≡ −1 (mod 7).
103.2n ≡1 (mod 7).
Ta biểu diễn: A = a2a1a0 +a5a4a3.103 +. . . .
Ta đi tới: A ≡ a5a4a3 −a2a1a0. . . (mod 7)
A ≡R (mod 7).
Trong đó R ≡ (a5a4a3 +a11a10a9 + . . .)−(a2a1a0 +a8a7a6 +. . .).
Tức là R là hiệu giữa tổng các số hợp bởi từng lớp 3 số một liên tiếp của A tính từ phải sang trái (lớp chẵn đi với nhau, lớp lẻ đi với nhau).
Lập luận tương tự như các trường hợp trên ta đi tới kết luận sau: A chia hết cho 7 khi và chỉ khi R chia hết cho 7.
Loại 4: Các trường hợp khác: Tìm tiêu chuẩn chia hết cho m. Bước 1: Tách A như sau: A= 10a+b.
Bước 2: Tìm số tự nhiên (s 6= 0) càng nhỏ càng hay sao cho (s, m) = 1,(10s+ 1)...m (hoặc (10s−1)...m)
Bước 3: Khi đó, ta có:
s.A = 10as + bs = (10s + 1)a − (a − bs) hoặc sA = 10as + bs = (10s−1)a+ (a+bs).
A = (a−bs) (mod m) hoặc A = (a+bs) (mod m).
Bước 4: Vì rằng (s, m) = 1 nên A...m khi và chỉ khi sA...m. Do đó:
Kết luận: A chia hết và chỉ chia hết cho m khi a−bs (hoặc a+ bs) chia hết cho m. Trong trường hợp a−bs (hoặc a+ bs) là những số lớn, ta lại có thể biểu diễn nó dưới dạng 10a0 + b0 và áp dụng một lần nữa phương pháp trên vào số này.
Ví dụ 3.18. Tìm dấu hiệu chia hết cho 17. Bước 1: Tách A: A = 10a+ b.
Bước 2: Tìm s. Ở đây ta thấy s = 5 thỏa mãn điều kiện trên.
(s, m) = (5,17) = 1 mà (10.5 + 1) = 51 = 17.3.
Bước 3: 5A= 50a+ 5b = 50a+a−a+ 5b = 51a−(a−5b). Bước 4: Dấu hiệu chia hết cho 17 là:
a−5b ≡0 (mod 17).
Áp dụng: A = 37423. a = 3742.
b = 3.
a−5b = 3742−15 = 3727.
Áp dụng lần nữa vào 3742 ta được:
a0 = 372. b0 = 7. a0−5b0 = 372−35 = 337. Áp dụng lần thứ ba vào 337 ta được: a” = 33. b” = 7. a”−5b” = 33−35 = −2.
Vậy A không chia hết cho 17.
Chú ý rằng thực ra ở đây -2 không phải là số dư của phép chia A cho 17, mà là số dư của phép chia 53.A cho 17 (vì ta áp dụng ba lần cách biến đổi đối với A, với s = 5).