(Rothlauf 2009)
Trong bài báo của Rothlauf [39] thực hiện cài giải thuật di truyền (GA-ESH), giải thuật mô phỏng tôi luyện (Simulated Annealing - SA) và giải thuật tìm kiếm cục bộ (Local Search - LS) sử dụng ba phương pháp khởi tạo khác nhau. Các phương pháp này gồm có khởi tạo ngẫu nhiên (Rnd), khởi tạo dựa trên cây khung nhỏ nhất (MST) và khởi tạo sử dụng giải thuật xấp xỉ của Peleg và Reshef (PeRe). Mục đích của việc so sánh dựa trên thực nghiệm này nhằm chứng minh sự tương đồng giữa cây khung tối ưu trong bài toán
~ 112 ~
OCST và cây khung nhỏ nhất. Kết quả cho thấy việc khởi tạo sử dụng cây khung nhỏ nhất cho chất lượng lời giải tốt hơn giải thuật xấp xỉ PeRe, được coi là giải thuật xấp xỉ tốt nhất hiện tại cho các bộ dữ liệu Euclidean.
Dưới đây là bảng so sánh kết quả của giải thuật HGA (sử dụng hai mã hóa là CB-TCR và
NB) với các giải thuật SA, LS, GA-ESH khi test trên các bộ dữ liệu chuẩn (bộ test Berry35u không được Rothlauf sử dụng). Riêng hai giải thuật SA và LS, các lời giải ban đầu được khởi tạo theo hai phương pháp đã nhắc đến là MST và PeRe
Bảng 5-8 So sánh với một số giải thuật meta-heuristic
Bộ test Khởi tạo SA LS GA-ESH HGA
(NB) HGA (CB-TCR) Palmer6 MST 698644 699740 693180 693180 693180 PeRe 700927 697951 Palmer12 MST 3579384 3498458 3623253 3429509 3429509 PeRe 3580330 3502914 Palmer24 MST 1098379 1092353 1250073 1086656 1086656 PeRe 1103834 1086615 Raidl10 MST 54762 53699 55761 53674 53674 PeRe 54796 53674 Raidl20 MST 158983 157570 158974 157570 157570 PeRe 160943 160578 Raidl50 MST 828780 811098 880927 807272 806864 PeRe 890082 883483 Raidl75 MST 2042603 1852905 2003433 171491 1719849 PeRe 2370276 2303405 Raidl100 MST 2713040 2619256 2935381 2561543 2580665
~ 113 ~ PeRe 2941064 2959953 Berry6 MST 534 534 534 534 534 PeRe 534 534 Berry35 MST 21818 16915 16195 16195 16195 PeRe 21563 20777
Bảng so sánh trên cho thấy trên hầu hết các bộ dữ liệu chuẩn giải thuật HGA sử dụng cả hai loại mã hóa CB-TCR và NB đều cho kết quả tốt hơn các giải thuật SA, LS và GA- ESH. Có thể thấy rằng mặc dù sử dụng các phương pháp xấp xỉ để tạo ra lời giải ban đầu nhưng chất lượng lời giải vẫn còn rất hạn chế. Do vậy cần có nhưng phương thức cải tiến trên các giải thuật truyền thống mới có thể đạt kết quả tốt.
5.3.3. So sánh với giải thuật tối ƣu hóa bầy đàn (2010)
Giải thuật tối ưu hóa bầy đàn (PSO) giải bài toán OCST do ba tác giả Anh Tuan Hoang, Vinh Trong Le, Nhu Gia Nguyen [2] đề xuất gần đây cho kết quả khả quan khi so sánh với giải thuật di truyền chuẩn. Tuy nhiên thông kê về thời gian và chất lượng lời giải cho thấy HGA cho kết quả vượt trội. Giống như Sang-moon giải thuật PSO này chỉ được chạy với các bộ test chuẩn có kích thước nhỏ hơn 50.
Dưới đây là bảng so sánh giữa kết quả của giải thuật HGA và giải thuật PSO khi giải bài toán OCST.
~ 114 ~
Bảng 5-9 So sánh với giải thuật tối ưu hóa bầy đàn
Bộ test Best known
Chi phí Thời gian (giây) PSO HGA (CB-TCR) PSO HGA (CB-TCR) Berry6 534 534 534 4.6 0.5 Berry35 16915 - 16915 - 1052 Palmer6 693180 693180 693180 4.1 0 Palmer12 3428509 3428509 3428509 22 1.7 Palmer24 1086656 1138360 1086656 143 10 Raidl10 53674 53674 53674 14 0.2 Raidl20 157570 157570 157570 87.3 4.1 Raidl50 806864 826499 806864 1177 218
(dấu – có nghĩa là không có kết quả của bộ dữ liệu tương ứng)
Giải thuật PSO được các tác giả cài đặt bằng ngôn ngữ C++ trên máy tính có cấu hình: AMD AthonTM 64X2 Dual Core 2.3GHz, RAM 2GB. Giải thuật HGA cài đặt bằng C++ trên máy PenIV 2.4GHz, RAM 512MB. Rõ ràng mặc dù có ưu thế về cấu hình máy chạy chương trình, PSO vẫn tỏ ra kém hiệu quả hơn so với HGA cả mặt tốc độ tính toán và chất lượng lời giải.
~ 115 ~
KẾT LUẬN
Với mục đích của luận văn là tìm hiểu về các kỹ thuật trong tính toán tiến hóa, và từ đó để áp dụng giải bài toán NP-khó. Luận văn đã hoàn thành được những công việc sau:
Tìm hiểu về các kỹ thuật trong tính toán tiến hóa
Tìm hiểu về bài toán cây khung truyền thông tối ưu, và các phương pháp đã có để giải quyết bài toán
Từ đó đề xuất một thuật toán áp dụng kỹ thuật tính toán tiến hóa để giải bài toán. Luận văn đã đề xuất một giải thuật di truyền lai dựa trên mô hình giải thuật di truyền chuẩn kết hợp với ý tưởng của giải thuật tối ưu hóa bầy đàn giải bài toán cây khung truyền thông tối ưu. Ý tưởng được đề xuất là kết hợp các thông tin trong quá khứ của các cá thể để hỗ trợ trong quá trình tạo ra thế hệ mới trong thuật toán di truyền. Việc lưu trữ các thông tin trong quá khứ của cá thể chính là sự bảo toàn các gen tốt đã được tìm thấy trong những thế hệ trước đó và kết hợp sử dụng thông tin này trong việc tạo quần thể tiếp theo.
Sáu phương pháp mã hóa cây khung thông dụng, và một số phương pháp lai ghép cơ bản của thuật toán di truyền gốc đã được kiểm tra trong phần thử nhiệm thuật toán. Kết quả thực nghiệm trên 11 bộ test chuẩn được lấy từ [32] cho thấy giải thuật đề xuất tạo ra lời giải tối ưu với 10 bộ test và chỉ có một bộ có độ sai lệch của lời giải tốt nhất tìm được so với lời giải tối ưu là 1%. Chất lượng lời giải so sánh với các giải thuật xấp xỉ và meta- heuristic được đề xuất gần đây để giải bài toán là tốt hơn đáng kể. Hơn nữa, tốc độ hội tụ và thời gian tính toán của giải thuật cũng là một điểm mạnh khi so sánh với một số giải thuật đã được đề xuất. Những kết quả trên cho thấy giải thuật di truyền lai là hướng tiếp cận tốt trong việc giải các bài toán về cây khung đặc biệt với bài toán cây khung truyền thông tối ưu.
~ 116 ~
Mặc dù lượng công việc hoàn thiện được là khá nhiều tuy nhiên vẫn còn có rất nhiều hướng phát triển còn chưa được xét đến như:
Việc khởi tạo quần thể ở trong thuật toán vẫn là khởi tạo ngẫu nhiên, mặc dù ưu điểm của nó là làm cho quần thể ban đầu đa dạng nhưng đồng thời nó cũng làm tăng thời gian thực hiện của thuật toán. Vì thế có thể cải thiện hiệu quả của thuật toán bằng cách kết hợp thêm một số phương pháp khởi tạo quần thể heuristic khác như sử dụng cây MST, khởi tạo cây khung hình sao, hay sử dụng thuật toán gần đúng để khởi tạo (chẳng hạn thuật toán của R. K. Ahuja và V. V. S. Murty).
Thời gian thực hiện của thuật toán vẫn còn lớn trên các bộ dữ liệu lớn. Một hướng có thể cải thiện thời gian thực hiện là kết hợp thêm các kỹ thuật localsearch để tăng tốc độ hội tụ của thuật toán. Ví dụ có thể sử dụng ngay kỹ thuật trong phần cải thiện cây của thuật toán do R. K. Ahuja và V. V. S. Murty đề xuất để cải thiện kết quả sau mỗi thế hệ của thuật toán di truyền.
Một hướng khác để cải thiện thời gian thực hiện của thuật toán là tiến hành song song hóa thuật toán. Một ý tưởng là ta có thể chia quần thể ban đầu thành các quần thể nhỏ hơn để chạy trên từng máy riêng, sau một số lượng k thế hệ nào đó thì tiến hành trao đổi thông tin giữa các quần thể con này.
Kết quả nghiên cứu trong luận văn đã được viết thành bài báo ―New Hybrid Genetic Algorithm for Solving Optimal Communication Spanning Tree Problem‖, và đã được chấp nhận đăng trong hội thảo quốc tế về tính toán ứng dụng lần thứ 26 (Symposium On Applied Computing – SAC).
Với những gì đã thực hiện trong luận văn, rất mong có thể đóng góp một phần nào đó vào hướng nghiên cứu tính toán tiến hóa cũng như là các nghiên cứu giải bài toán cây khung truyền thông tối ưu.
~ 117 ~
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Alon, N., Karp, R. M., Peleg, D., & West, D. A. (1995), graph theoretic game and its application to the k-server problem. SIAM Journal on Computing, pp.78-100.
[2] Anh Tuan Hoang, Vinh Trong Le and Nhu Gia Nguyen. (2010), ―A Novel Particle Swarm Optimization-Based Algorithm for the Optimal Communication Spanning Tree Problem‖, Second International Conference on Communication Software and Networks.
[3] R. K. Ahuja and V. V. S. Murty. (August 1987), ―Exact and Heuristic Algorithms for the Optimum Communi-cation Spanning Tree Problem‖, Transportation Science, 21(3), pp.163–170.
[4] S. Arora, C. Lund, R. Motwani, M. Sundan, and M. Szegedy. (1998), ―Proof varification and the hardness of approximation problems,‖ Colloquium on Computational Complexity Report TR98-008, Univ. of Trier.
[5] Bartal, Y. (1996), Probabilistic approximation of metric spaces and its algorithmic applications. In Proc. 37th IEEE Symp. on Foundations of Computer Science, pp. 184-193.
[6] Bartal, Y. (1998), On approximating arbitrary metrics by tree metrics. In Proc. 30th Anual ACM Symp. on Theory of Computer Science, pp. 161-168.
[7] J.C. Bean. (1994), ―Genetic algorithms and random keys for sequencing and optimization‖, ORSA J. Computing, vol.6, no.2, pp.154–160.
[8] D. E. Boyce, A. Farhi and R.Weischedel. (1973), ―Optimal Network Problem, A Branch and Bound Algorithm”, Environ. Plan. 5, pp. 519-533.
[9] Charikar, M., Chekuri, C., Goel, A., Guha, S., & Plotkin, S. (1998, November), ―Approximating a nite metric by a small number of tree metrics‖. In Proc. 39th IEEE Symp. on Foundations of Computer Science, pp. 111-125.
[10]Nguyễn Ngọc Dương. (2009), Luận văn tốt nghiệp cao học, Trường đại học Bách Khoa Hà Nội
[11]R. Dionne and M. Florian. (1979), ―Exact and Approximate Algorithms for Optimal Network Design, Networks‖, pp. 37-59
~ 118 ~
[12]T. Fischer. (2007), ―Improved Local Search for Large Optimum Communication Spanning Tree Problem”, MIC'2007-7th Metaheuristics International Conference. [13]G. Gallo. (1981), ―A new Branch and Bound Algorithm for the Network Design
Problem”, Report L 81-1, Instituto Di Elaborazione Dell Informazione, Pisa, Italy. [14]Garey,M.R., Johnson, D.S. (1979), ―Computers and Intractability: A Guide to the
Theory of NP-Completeness”, W. H. Freeman, San Francisco, CA, USA.
[15]M. Gen and R. Chen. (1997), Genetic Algorithms and Engineering Design, Wiley. [16]J. Gottlieb, B.A. Julstrom, G.R. Raidl, and F. Rothlauf. (2000), ―Prufer numbers: A
poor representation of spanning trees of evolutionary search‖, Working Papers in Information Systems, Univ. of Bayreuth.
[17]Goldberg, D. E. (1989), Genetic algorithms in search optimization and machine learning, Reading, MA: Addison-Wesley.
[18]H. H. Hoang. (1973), ―A Computational Approach to Selection of an Optimal Network‖, Mgmt. Sci. 19, pp. 488-498.
[19]Holland, J. H. (1975), Adaptation in Natural and Artificial Systems, University of MichiganPress, Ann Arbor, MI.
[20]Johnson, D. S., Lenstra, J. K., & Kan, A. H. G. R. (1978), ―The complexity of the network design problem‖. Networks, 8 , pp.279-285.
[21]Kennedy, J., and Eberhart, R. C. (1995), ―Particle swarm optimization‖, Proc. IEEE International Conference on Neural Networks (Perth, Australia), IEEE Service Center, Piscataway, NJ, IV, pp.1942-1948.
[22]Nguyễn Đức Nghĩa. (2004), Bài giảng chuyên đề về phân tích và thiết kế thuật toán, trường đại học Bách Khoa Hà Nội.
[23]Nguyễn Đức Nghĩa. (2008), Bài giảng môn cấu trúc dữ liệu và giải thuật, trường đại học Bách Khoa Hà Nội.
[24]C.C. Palmer and A. KershenBaum. (1995), ―An approach to a problem in network design using genetic algorithms‖, Networks, vol.26, pp.151–163.
[25]C.H. Papadimitriou and M. Yannakakis. (1991), ―Optimization, approximation, and complexity classes,‖ J. Comput. Syst. Sci., vol.43, pp.425–440.
~ 119 ~
[26]C. Papadimitriou and M. Yannakakis. (1988), ―Optimization, approximation, and complexity classes”, In STOC ‘88: Proceedings of the twentieth annual ACM symposium on Theory of computing, pp. 229–234, New York, NY, USA,. ACM Press.
[27]Peleg, D. (1997), ―Approximating minimum communication spanning trees‖. Proc. 4th Colloq. on Structural Information and Communication Complexity, Ascona, Switzerland.
[28]Peleg, D., & Reshef, E. (1998), Deterministic polylog approximation for minimum communication spanning trees. Lecture Notes in Computer Science, 1443 , 670-682. [29] C. Tzoppe, F. Rothlauf, and H.J. Pesch. (Jan. 2004), ―The edge-set encoding
revisited: On the bias of a direct representation for trees‖ Working Paper in Information Systems, Univ. of Mannheim.
[30]F. Rothlauf, J. Gerstacker, and A. Heinzl. (2003), ―On the optimal communication spanning tree problem‖ Working Paper 10/2003, Univ. of Mannheim.
[31]F. Rothlauf. (2009), ―On optimal solutions for the optimal communication spanning tree problem”, Operation Research, Vol. 57, No. 2, pp. 413-425.
[32]F. Rothlauf. (2006), Representations for Genetic and Evolutionary Algorithms, 2nd edition, Springer.
[33]F. Rothlauf, D.E. Goldberg, and A. Heinzl. (2002), ―Network random keys—A tree network representation scheme for genetic and evolutionary algorithms‖, Evol. Comput., vol.10, no.1, pp.75–97.
[34]Palmer, C. C. and A. KersheNBaum. (1994), ―Representing trees in genetic algorithms‖, In Proceedings of the First IEEE Conference on Evolutionary Computation, Volume 1, Piscataway, NJ, pp. 379–384.
[35]Raidl, G. R. and B. A. Julstrom. (2000), ―A weighted coding in a genetic algorithm for the degree-constrained minimum spanning tree problem‖, In J. Carroll, E. Damiani, H. Haddad, and D. Oppenheim (Eds.), Proceedings of the 2000 ACM Symposium on Applied Computing, pp. 440–445.
[36]Reshef, E. (1999), ―Approximating minimum communication cost spanning trees and related problems‖, Master‘s thesis, Feinberg Graduate School of the Weizmann Institute of Science, Rehovot 76100, Israel.
~ 120 ~
[37]Sang-Moon SOAK (2006), ―A New Evolutionary Approach for the Optimal Communication Spanning Tree Problem‖, IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, E89-A(10),pp.2882-2893. [38]Steven S. Skiena. (2008),The Algorithm Design Manual, Second Edition, Springer-
Verlag London Limited
[39]Steitz. Wolfgang, F. Rothlauf. (2009), ―New insights into the OCST problem: Integrating node degrees and their location in the graph‖, GECCO 2009.
[40]T. C. Hu. (1974), ―Optimum Communication Spanning Tree Problem‖, SIAM J. Comput. 3, pp. 188-195.
[41]Thomas Fischer, Peter Merz. (October 2007), ―A Memetic Algorithm for the Optimum Communication Spanning Tree Problem‖. 4th International Workshop on Hybrid Metaheuristcs.
[42]Wu, B. Y., Lancia, G., Bafna, Y., Chao, K. M., Ravi, R., & Tang, C. Y. (1998, January), A polynomial time approximation schem for minimum routing cost spanning trees. In Proc. 9th ACM-SIAM Symp. on Discrete Algorithms, pp. 21-32. [43]Xiaodong et al. (2006), ―A hybrid algorithm based on Particle Swarm Optimization”,