Mỗi cây khung có thể được ánh xạ từ một chuỗi số duy nhất có độ dài , với là số đỉnh của cây khung. Chuỗi số này được gọi là chuỗi Prufer [15], trong đó mỗi vị trí trong chuỗi là một nhãn của đỉnh. Số lượng của các chuỗi số Prufer có thể cũng chính là số lượng các cây khung có thể trên một đồ thị đầy đủ.
Nhằm thực hiện mã hóa và giải mã chuỗi Prufer ta gán nhãn các đỉnh trên cây khung từ 1 tới .
Sau đây là giải thuật mã hóa một cây khung thành một chuỗi Prufer:
Hình 4-2 Giải thuật mã hóa cây khung thành chuỗi Prufer
Bƣớc 1.Gọi 𝑖 là nút có nhãn nhỏ nhất trong số các nút có bậc là 1 (𝑑𝑒𝑔 𝑖 ) (chắc chắn tồn tại 𝑖 trên đồ thị).
Bƣớc 2.𝑗 là nút kề với 𝑖 (có chính xác một nút như vậy), nhãn của nút 𝑗 sẽ là chữ số đầu tiên trong số Prufer.
Bƣớc 3.Loại bỏ nút 𝑖 và cạnh 𝑖 𝑗 ra khỏi cây.
~ 84 ~ Ví dụ: 1 2 4 5 3 6 1 2 4 5 3 6 1 2 4 5 3 6 1 2 4 5 3 6 1 2 4 5 3 6
Hình 4-3 Cây khung được mã hóa bởi chuỗi Prufer 2565
Với cây khung trong hình 4.3, các nút có bậc là 1 bao gồm: 1,3,4. Trong đó 1 là nhãn nút nhỏ nhất, kề với nút 1 là nút 2. Theo thuật toán ta có số Prufer bắt đầu bằng 2. Sau đó, loại bỏ nút 1 và cạnh (1,2) ra khỏi cây, tiếp tục quá trình. Các nút bậc 1 bây giờ là 2,3,4. Trong đó 2 là nhãn nút nhỏ nhất, liên kết với 2 là nút 5. Ta thêm 5 vào số Prufer. Cứ tiếp tục như vậy, ta có kết quả chuỗi Prufer là 2565. Để giải mã một cây khung từ một chuỗi Prufer ta thực hiện các bước trong giải thuật sau:
~ 85 ~
Hình 4-4 Giải thuật giải mã cây khung từ một chuỗi Prufer
Ban đầu ta có chuỗi Prufer 2565. Vòng lặp đầu tiên, => thêm cạnh
vào cây, đánh dấu 1 không còn là "nhãn thích hợp", xoá 2 khỏi . Vì 2 không xuất hiện trong lần nào nữa nên đánh dấu 2 là "nhãn thích hợp". Vòng lặp thứ 2,
=> thêm cạnh , xoá 5 ra khỏi . Tiếp tục ta thủ được kết quả là cây như Hình 4-3.
Mã hóa Prufer có thể mã hóa cho toàn bộ các cây khung có thể trên đồ thị. Tuy nhiên nhược điểm lớn nhất của mã hoá Prufer là tính cục bộ thấp. Tức là một thay đổi nhỏ trong số Prufer cũng có thể gây ra nhưng biến đổi lớn trong cây được biểu diễn. Điều này có nghĩa ánh xạ kiểu gen- kiểu hình là bất định. Do đó mà thao tác đột biến không làm việc trên một khu vực láng giềng cục bộ xung quanh một cá thể và con cháu thì không thể kế thừa những đặc tính của cha mẹ chúng. Tính chất này ảnh hưởng xấu tới chất lượng lời giải của giải thuật khi sử dụng chuỗi Prufer [16].