Ta chứng minh vài tính chất phụ của ánh xạ bậc. Trước tiên liên quan đến bậc trong với bậc trong . Theo phép nhúng chính tắc
ta có thể xét như một không gian con của .
Định lí 3.18. ( Tính chất rút gọn)
Cho và thì:
, (3.50)
trong đó là hình chiếu của trên .
Chứng minh:
Chọn đủ gần sao cho . Cho
thì . Suy ra . Hơn nữa (3.51) cho thấy . □
Cho và . Theo định lí 3.2, là như nhau với mỗi trong một thành phần liên thông của . Ta kí hiệu các thành phần là và viết nếu .
Cho là tập mở và bị chặn, là các thành phần liên thông của
. Nếu thì
, (3.52)
trong đó các số hạng khác rỗng trong tổng là hữu hạn.
Chứng minh:
Vì compact, ta có thể tìm được sao cho . Hơn nữa, vì đóng, compact và do đó có thể được phủ bởi hữu hạn các thành phần . Đặc biệt, các trường hợp khác sẽ có :
. Do đó chỉ hữu hạn các số hạng trong tổng là khác rỗng. Ta bắt đầu tính trong trường hợp và
. Vì đòi hỏi một phép tính trực tiếp
và sử dụng phủ :
(3.53) . (3.54) Hơn nữa, công thức này vẫn giữ với và với theo cách xây dựng bậc Brouwer. Hơn nữa, trường hợp cần phải nghiên cứu cẩn
thận vì các tập phụ thuộc vào . Để khắc phục vấn đề này ta sẽ đưa vào các tập
. (3.55) Nhận xét rằng phải là hợp của một số tập của .
Chọn sao cho với
và định nghĩa cho phù hợp. Khi đó ta có theo định lí 3.1(iii). Hơn nữa
(3.56)
□
Kết luận
Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận “ánh xạ bậc Brouwer trong không gian Banach” mà em đã trình bày.
Khóa luận đã đạt được mục đích nghiên cứu là nghiên cứu về khái niệm ánh xạ bậc, xây dựng và mở rộng công thức định thức, định lí điểm bất động Brouwer, định lí điểm bất động Kakutani.
Quá trình hoàn thành khóa luận đã giúp em có thêm kiến thức, kinh nghiệm. Do lần đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, thời gian và khả năng của bản thân còn hạn chế nên khóa luận tốt nghiệp của em không tránh khỏi những thiếu sót.
Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô. Em xin chân thành cảm ơn!
Tài liệu tham khảo
1)Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB khoa học và kĩ thuật Hà Nội. 2)Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (1997), Hàm biến phức, NXB đại học quốc gia.
3)Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2001), Giáo trình giải tích- tập 1- Phép tính vi phân của hàm một biến và nhiều biến, NXB
đại học quốc gia Hà Nội.
4)Đỗ Hồng Tân (2001), Các định lí về điểm bất động, NXB đại học quốc gia. 5)Gerald Teschl (2010), Nonlinear Functional Analysis,