Bước cuối cùng là khử điều kiện . Như trước ta muốn bậc là hằng số trong mỗi hình cầu chứa trong . Ví dụ : cố định
và đặt . Chọn sao cho
thỏa mãn . Khi đó
và .
Nếu ta có thể chỉ ra rằng là hằng số địa phương đối với thì nó liên tục đối với và do đó không đổi (vì là liên thông). Do đó ta có thể định nghĩa:
, (3.27)
Còn phải chỉ ra rằng là hằng số địa phương.
Bổ đề 3.10. Giả sử , khi đó với mỗi có
sao cho với mọi .
Chứng minh:
Nếu cũng đúng với nếu . Do đó ta có thể loại trừ trường hợp này.Với trường hợp còn lại ta sử dụng cách thông thường là xét trước và sau đó lấy xấp xỉ bởi một điểm chính quy.
Giả sử và cho . Theo định lí hàm ẩn ta có thể tìm được các lân cận rời nhau sao cho tồn tại nghiệm duy nhất của với . Rút gọn nếu cần thiết, ta có thể giả thiết dấu của không đổi trên . Cuối cùng, cho . Khi đó với và là đại lượng ta đang tìm.
Ta còn phải xét trường hợp . Chọn một giá trị chính quy
trong đó thỏa mãn
. Khi đó ta có thể tìm được sao cho với . Đặt ta
suy ra với , nghĩa là
và do đó
. Tất cả cùng thỏa mãn với như yêu cầu. □ Bây giờ ta có thể kết thúc chứng minh định lí chính của ta:
Định lí 3.11. Có một bậc duy nhất deg thỏa mãn (D1)-(D4). Hơn nữa, là hằng số trên mỗi bộ phận và cho ta có :
(3.28)
trong đó là trong cùng một bộ phận của , nói
sao cho .
Chứng minh:
Phần xét đến ở trước của ta cho thấy deg là định nghĩa tốt và là hằng số địa phương đối với chứng minh đầu tiên bởi cách xây dựng. Khi đó là liên tục và do đó tất yếu không đổi trên các bộ phận vì là rời rạc.
(D2) là rõ ràng và (D1) là thỏa mãn vì nó cố định với theo xây dụng.
Tương tự lấy như trong (D3) ta có thể yêu cầu . Khi đó (D3) là thỏa mãn vì nó cũng cố định với theo xây dung.
Cuối cùng, (D4) là kết quả của tính liên tục tuyệt đối.
Để kết thúc mục này ta đưa ra ví dụ minh họa đơn giản sử dụng bậc Brouwer.
Ví dụ: Tìm các không điểm của
(3.29)
Biểu diễn phần tuyến tính bởi
. (3.30) Khi đó ta có và Do đó thỏa mãn với . Suy ra (3.31)
Hơn nữa vì ta thấy có nghiệm duy nhất trong . Nghiệm này nằm trên đường tròn
vì suy ra .
Tiếp đến ta chứng minh kết quả sau đây bao hàm định lí quả cầu lông (con nhím).
Định lí 3.12. Giả sử chứa gốc tọa độ và liên tục. Nếu lẻ
thì tồn tại và sao cho .
Chứng minh:
Theo định lí 3.15 ở dưới ta có thể giả thiết và vì lẻ nên
ta có . Nếu thì
phải có một không điểm và do đó .
Mặt khác, nếu ta có thể áp dụng chứng minh tương tự với . □ Đặc biệt kết quả này có nghĩa là một trường vectơ tiếp xúc liên tục trên mặt cầu (với với ) phải triệt tiêu đâu đó nếu lẻ. Hay với bạn không thể chải một cách trơn tru một con nhím mà không để lại một chỗ hói hoặc làm nên một đường ngôi. Tuy nhiên ta có thể chải tóc trơn tru trên một hình xuyến và đó là tại sao từ trong phản ứng hạt nhân có hình xuyến.
Hệ quả đơn giản khác là một trường vector trên mà những điểm hướng ra ngoài (hoặc vào trong) trên một mặt cầu phải triệt tiêu đâu đó trong mặt cầu.
Định lí 3.13. Giả sử liên tục và thỏa mãn
. (3.32)
Chứng minh:
Nếu không triệt tiêu thì phải triệt tiêu tại
điểm do đó
. (3.33) Mà dương theo giả thiết suy ra (3.33) mâu thuẫn. □