Định lí 3.1. Giả sử deg thỏa mãn (D1)-(D4) và cho khi đó các phát biểu sau là đúng:
(i). Ta có . Hơn nữa nếu là các tập con
mở rời nhau của sao cho thì:
.
(ii). Nếu thì (nhưng chiều ngược lại không
đúng). Một cách phát biểu tương đương, nếu thì .
(iii).Nếu thì
. Ngoài ra, điều này cũng đúng nếu
với .
Chứng minh:
Với phần đầu của (i) dùng (D3) với và . Với phần thứ hai dùng trong (D3) nếu và phần còn lại thấy được từ quy nạp.
Với (ii) áp dụng và trong (ii).
Với (iii), chú ý rằng thỏa mãn với nằm trên biên. Tiếp đến ta chỉ ra rằng (D4) bao hàm một vài vấn đề mới nhìn thì trông có vẻ mạnh hơn.
Định lí 3.2. Ta có và cùng liên tục. Thực tế, ta còn có:
(i). là hằng số trên mỗi bộ phận của .
(ii). là hằng số trên mỗi bộ phận của .
Hơn nữa, nếu và cùng liên tục sao cho
Chứng minh:
Với (i) cho là một bộ phận của và . Nó đủ để chỉ ra rằng là hằng số địa phương. Nhưng nếu thì theo (D4) vì
. Chứng minh (ii) cũng tương tự.
Với phần còn lại, chú ý rằng nếu lên tục thì vì là compact. Do đó, ngoài ra nếu thì độc lập với và nếu ta có thể sử dụng
. □
Chú ý rằng kết quả này cũng chỉ ra tại sao không thể xác định ý nghĩa với . Thật vậy, lấy gần đúng từ các bộ phận khác của nói chung sẽ cho kết quả trong những giới hạn khác nhau.
Ngoài ra, chú ý rằng nếu là tập con đóng của của không gian liên thông địa phương thì các bộ phận của là mở (trong topo của ) và liên thông (tập các điểm mà một đường dẫn đến một điểm cố định tồn tại là vừa đóng vừa mở).
Bây giờ ta thử tính deg sử dụng tính chất của nó. Ta bắt đầu với một trường hợp đơn giản và giả sử và . Không hạn chế, ta xét . Ngoài ra, ta tránh trường hợp tầm thường . Vì các điểm của trong bị cô lập (sử dụng và định lí hàm ngược) chúng chỉ có thể tập hợp trên biên . Nhưng điều này cũng không thể được vì sẽ bằng tại điểm giới hạn trên biên bởi tính liên tục tuyệt đối. Do đó chọn lân cận đủ nhỏ của ta có
Nó đủ để xét một trong các không điểm gọi là . Hơn nữa, ta có thể giả thiết và . Tiếp đến ta thay thế bởi phép xấp xỉ tuyến tính quanh 0. Theo định nghĩa đạo hàm ta có
. (3.8) Bây giờ xét phép đồng luân . Để kết luận ta cần chỉ ra . Vì ta có thể tìm được hằng số sao cho và vì ta có thể giảm bớt sao cho . Nghĩa là
với như mong muốn.