Mục tiêu hiện nay của ta là chỉ ra rằng công thức đinh thức (3.10) có thể được mở rộng với tất cả . Điều này sẽ được làm trong hai bước, trong đó ta sẽ chỉ ra rằng như được định nghĩa trong (3.10) là hằng số địa phương đối với cả (bước 1) và (bước 2).
Trước khi ta thực hiện chi tiết kĩ thuật cho hai bước này, ta chứng minh rằng tập các giá trị chính quy là trù mật. Đó là kết quả của một trường hợp đặc biệt của định lí Sard, nói rằng có độ đo không.
Bổ đề 3.5. (Sard)
Giả sử khi đó độ đo Lebesgue của bằng không.
Chứng minh:
Vì bổ đề là dễ dàng kiểm tra đối với ánh xạ tuyến tính, nên ta chia thành các tập con đủ nhỏ, sau đó ta thay thế bởi phép xấp xỉ tuyến tính trên mỗi tập con và đánh giá sai số.
Cho là tập các điểm tới hạn của . Trước tiên ta vượt qua hình lập phương mà dễ dàng để chia. Cho là phủ đếm
được cho gồm các hình lập phương mở sao cho . Khi đó nó thỏa mãn để chứng minh rằng có độ đo không vì
( là một phủ).
Cho là hình lập phương bất kì và là độ dài các cạnh của nó. Cố định và chia thành hình lập phương độ dài . Vì liên tục đều trên ta có thể tìm được (độc lập với ) sao cho
(3.12) với .
Bây giờ chọn mà chứa điểm tới hạn . Không hạn chế, ta giả thiết và đặt . Do nên có một cơ sở trực chuẩn của sao cho trực giao với ảnh của . Ngoài ra, có một hằng số sao cho (ví dụ
) và do đó có một hằng số thứ hai (cũng độc lập với ) sao cho (3.13)
(ví dụ ).
Tiếp theo, do (3.12) ta còn có
(3.14) Do đó độ đo của nhỏ hơn . Vì có nhiều nhất tập ta thấy độ đo của nhỏ hơn . □
Có kết quả này ta có thể đến với bước 1 và bước 2 từ trên