D B C E C E A F A FB
1) AB.CI = AC.BI 2) QD vuông góc với Q
2) QD vuông góc với QI 3) DM song song với OC.
Câu 5: (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng cho 7 điểm (không có 3 điểm nào thẳng hàng). Gọi h là độ dài lớn nhất tròn các đoạn thẳng nối 2 trong 7 điểm đã cho. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 tam giác có các đỉnh là 3
trong số 7 điểm đã cho thỏa mãn diện tích nhỏ hơn 2
h 4 3 3 24
.
--- Hết ---
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI VINH NĂM HỌC: 2014 - 2015
MÔN: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1: Giải các phương trình sau:
1) 2 2 3 4 5 x 2x x 1 2) x 2x 1 4x 1
Câu 2: Tìm các số nguyên tố p, q thỏa mãn: p2 = 8q + 9.
Câu 3: Giả sử n là một số nguyên dương và a1, a2, ..., an là các số nguyên lẻ.
Đặt 4 4 4
n 1 2 n
A a a ... a . Chứng minh rằng An chia hết cho 16 khi và chỉ khi n chia hết cho 16.
Câu 4: Giả sử x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z + xyz = 4. Tìm giá trị lớn nhất của
P = xy + yz + zx.
Câu 5: Cho đường tròn (O; R) và AB là một dây cung của đường tròn đó (AB < 2R). M là điểm
thuộc cung lớn AB (M khác A và B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB. 1) Chứng minh rằng AMH BMO.
2) Gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ AB, J là giao điểm của MI và AB. Chứng minh rằng: MA.MB = MI.MJ
3) Gọi K là điểm đối xứng với I qua O. Chứng minh rằng đường thẳng BK đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MJB.
--- Hết ---
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: ... VIETMATHS.NET
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
HÀ TĨNH NĂM HỌC: 2014 - 2015
MÔN: TOÁN (VÒNG I)
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1: Cho biểu thức:
x 2 1 x P : x 3 , x 0, x 9. x x 9 x 3 x 3 x 3 a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị của x sao cho P 1 4
.
Câu 2: Cho phương trình: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 2m + 2 = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = - 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: 1 2 1 2 2 x x x x 3 Câu 3: a) Giải phương trình: 2x 3 2 x 1 1 b) Giải hệ phương trình: 2 2 2 xy 2y 2 x 3x x y 3 y 1
Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O, có 0
BAC45 , BC = a. Gọi E, F tương ứng là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AC, từ C xuống AB. Gọi I là điểm đối xứng của O qua EF.
a) Chứng minh BFOC, AEIF là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Tính EF theo a.
Câu 5: Biết phương trình: x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 có nghiệm. Chứng minh: a2 b2 4 5
.
--- Hết ---
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
HÀ TĨNH NĂM HỌC: 2014 - 2015
MÔN: TOÁN (VÒNG II)
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1:
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - x - 1 = 0. Không giải phương trình, chứng minh rằng: P(x1) = P(x2) với P(x) = 3x 33x25 Câu 2: a) Giải phương trình: 3 3 x x b) Giải hệ phương trình: 2 2 x y xy 3 x 7 y 7 8 Câu 3: a) Tìm các số nguyên x, y, z khác 0 thỏa mãn: 2 2 2 x y xy z x y z
b) Cho a, b, c không âm và a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a b b c c a
Câu 4:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Trên cạnh AH, trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho CE = CA, BF = BA. Gọi I, I1, I2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các ABC,
ABH, ACH và M là giao điểm của BI và AC. Chứng minh rằng: a) Ba điểm A, I1, E thẳng hàng và IE = IF.
b) Đường thẳng FM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp II1I2.
Câu 5:
Trên bảng có ghi hai số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo bằng quy tắc sau. Nếu có hai số x, y phân biệt
thì ghi thêm số z = x + y + xy. Hỏi bằng quy tắc đo có thể ghi được các số 2015 và 20152014 hay không?
--- Hết ---
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: ... VIETMATHS.NET
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC: 2014 - 2015
Khóa ngày: 26/06/2014 MÔN: TOÁN (CHUYÊN)
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2,0 điểm)
a) Chứng minh: A 3 5 2 3 3 5 2 3 3 là số nguyên. b) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn:
ab + bc + ca = 25 và a2 + b2 + c2 = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 Tính: a + b + c. Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x27x 10 60423 x 2 2014 x 5 b) Giải hệ phương trình: 3 3 x y 7 xy x y 2
Câu 3: Cho x, y > 0 thỏa mãn: x3 + y3 = x - y. Chứng minh rằng: x2 + y2 < 1
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) cố định, đường thẳng d cố định không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E. Trên tia đối của tia DE lấy điểm A. Các tiếp tuyến kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) tại B và C. Đường thẳng qua E, song song với BC, cắt đường tròn (O) tại N (N ≠ E). ND cắt BC tại I. a) Chứng minh: BI EC
ID CD.
b) Chứng minh rằng điểm I là trung điểm BC.
c) Chứng minh đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định khi điểm A di động trên tia đối của tia DE.
Câu 5: (1,5 điểm)
Tìm tất cả các chữ số x, y sao cho số A chia hết 37 với A100000...0100000...0 xy