Mới đây các tác giảđã đưa ra một lý thuyết kiểm soát vết tiếp xúc qua các bước như sau:
- Kiểm soát trực tiếp các con số, càng nhiều càng tốt tương ứng với các dạng tiếp xúc đã định trước.
- Với các thông số không kiểm soát được trực tiếp thì phân tích các tham số thay thế.
- Dựa trên kết quả phân tích tổng lại, tối ưu hoá đã có thể kiểm soát được các tham số mà không thể kiểm soát được trực tiếp.
Sử dụng phương pháp này có thể dựđoán được vị trí của điểm tâm bánh răng và trạng thái tiếp xúc bậc 2, từ đó giữ cho chúng cố định trong quá trình tổng hợp tối ưu. Các tác giảđã sử dụng một số phương pháp toán học mới so với lý thuyết ăn khớp đã có từ trước đây như sử dụng khung chuyển động trong hình học vi phân – phân tích tiếp xúc dạng bậc 3, Tenxơ độ cong đưa ra không phải là Ten-xơ Rieranian mà là
Gradient của trường véctơ bề mặt đơn vị. Sau đây là một số khái niệm của phương pháp này:
- Sựăn khớp khít của 2 bề mặt răng có dạng tiếp xúc đường nếu chúng tiếp xúc dọc theo một đường trong suốt quá trình ăn khớp khi không có tải trọng. Còn ăn khớp tiếp xúc có tiếp xúc điểm nếu các bề mặt chỉ tiếp xúc nhau tại một điểm khi không có tải trọng. Dưới tác động của tải trọng vết tiếp xúc lan ra thành hình elíp, vết này di chuyển dọc theo bề mặt răng và tập trung ở một khu vực của răng gọi là vùng tiếp xúc.
- Nếu tỉ số truyền của bề mặt tiếp xúc điểm thay đổi trong quá trình ăn khớp thì ta gọi là không tương xứng, vì loại bánh răng này được sử dụng ngày càng nhiều nên càng cần hiểu rõ trạng thái tiếp xúc giữa các bề mặt và cần có phương pháp có hiệu quả để điều khiển nó. Phương pháp đó là phân tích trạng thái tiếp xúc bằng cách khảo sát trực tiếp các tham số. Dựa vào đây để xây dựng hàm đối tượng đểđánh giá chất lượng tiếp xúc.
Các tác giả đã sử dụng lý thuyết khung chuyển động trong hình học vi phân, phát triển lý thuyết này ứng dụng vào trường hợp hai bề mặt tiếp xúc với nhau và quay quanh hai trục độc lập (hình 2-5). Giả thiết rằng bề mặt Σ1và Σ đã biết, góc quay của chúng quanh các trục
2
1
ν và ν2. Các véctơ đơn vị trục được ký hiệu tương ứng là aur1và 2
a
uur
, các tham số của Σ , u1 và u , các đường cong tham số này trùng với đường độ cong của mặt Σ1. Cũng tương tự như vậy đối với mặt Σ có các tham số v1, v ký hiệu
1 2
2 2
) 1 (
r là véctơ vị trí của một điểm bất kỳ thuộc mặt Σ1 trong hệ toạ độ chuyển động nối cùng với bánh răng 1. Véctơ tiếp tuyến đơn vị của 2 ) 1 ( u r ∂ ∂ và 2 ) 2 ( u r ∂ ∂ được ký hiệu là e1 và e2 còn e3 là
{r (1) ,e1,e2 ,e3} được xây dựng cho mỗi điểm trên Σ1. Đây là khung chuyển động 2 tham số u1và u . 2
Hình 2-5: Minh họa dạng tiếp xúc của hai bề mặt không tương xứng
Tương tự như vậy xây dựng khung chuyển động {r (2) ,ε1,ε2 ,ε3} cho mặt
Σ2 nhưng lưu ý tam diện ε1,ε2 ,ε3 là tam diện nghịch và tham số của khung này là
v1và v trong h2 ệ toạđộ cốđịnh. R(1) là véc –tơ vị trí nối từ một điểm cốđịnh trên trục quay của Σ1 tới một điểm bất kỳ thuộc Σ1. Tương tự R(2)là véc –tơ vị trí nối từ một điểm cốđịnh trên trục quay của Σ2 tới một điểm bất kỳ thuộc Σ2 .
Vì : (1) 1 R u ∂ = (1) 1 r u ∂ ∂ uur ; (2) 2 R u ∂ = ∂ uur (2) 2 r u ∂ ∂ uur ∂ uur
nên ta xây dựng được một khung chuyển động 3 tham số {Rr (1 ) ,e1,e2 ,e3} cho mỗi điểm thuộc Σ1 trong hệ tọa độ tĩnh. Ba tham sốđó là u1, u2 và ν1. Tương tự với mặt ta có khung chuyển động là {urR ( 2 ),ε1,ε2 ,ε3} với 3 tham số là u1, u2 và ν2, như vậy với
mỗi bề mặt ta xây dựng được một hệ khung Frenet liên tục có 2 đến 3 tham số, các đường cong tham số này trùng với các đường cong của bề mặt. Vi phân khung chuyển động ta có được các giá trị vi phân dR(1); dR(2), de1, de2, de3, dε1, dε2, dε3. Từ quá trình xây dựng khung chuyển động trong hệ phụ thuộc 3 tham số nên mối liên hệ giữa các khụng chuyển động của các bề mặt được xác định bằng 6 tham số độc lập. Điều kiện để các bề mặt tiếp xúc nhau chỉ xảy ra khi cả hai khung chuyển động đều nằm ở điểm tiếp xúc. Từ hình vẽ ta có:
R(1) = R(2) + L
Để các bề mặt tiếp xúc nhau thì các pháp tuyến phải trùng nhau vì e3 hướng ra
và εuur3 hướng vào nên chúng ta có điều kiện:
3
e = ε3
Vì hai trục quay cốđịnh nên L
r
là véc tơ hằng số.
Vì các điều kiện luôn đúng trong toàn bộ quá trình ăn khớp khi tiếp xúc nên: dR(1)= dR(2) và dε3 = dε3
Trên đây là các điều kiện ràng buộc để đảm bảo các bề mặt luôn tiếp xúc nhau. Điều kiện đó gồm 5 phương trình nên cả hai khung chuyển động đều chỉ phụ thuộc vào một tham số còn lại. Trên cơ sở phân tích mặt tiếp xúc bậc 3, thiết lập phương pháp tính toán các thông số hình học của bề mặt răng đều bậc 3, cũng như phân tích mức độ thay đổi khung của trạng thái tiếp xúc cặp bánh răng khi sử dụng phương pháp kiểm tra V-H trên máy kiểm tra bao hình, các tác giảđã lập một chương trình tính toán phân tích kết
hợp với một sốđồ thị thông số từ thực nghiệm. Chương trình tính toán của các tác giả hiện nay được sử dụng rộng rãi ở các nước công nghiệp tiên tiến như Mỹ, Hà Lan và Cộng hòa liên bang Đức. Tuy nhiên, việc nghiên cứu áp dụng các phương pháp này phải dựa vào rất nhiều chương trình con để cung cấp thông số cho chương trình chính. Các chương trình con này được bán với giá rất cao và chỉ sử dụng cho các máy cắt răng phù hợp.