Trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết ăn khớp phẳng và ăn khớp không gian bằng phương pháp giải tích, Litvin chỉ ra rằng bề mặt hông răng trong không gian được viết dưới dạng phương trình thông số véctơ biểu diễn một điểm đang xét của bề mặt xác định trong hệ toạđộ Đề-Các:
r
r
= x(u,v) i + y(u,v) j + z(u,v) k
Ởđây u và v là hai thông số của bề mặt răng.
Hai thông số u và v là độc lập khi thoả mãn điều kiện: u r ∂ ∂ x v r ∂ ∂ ≠ 0
Để tạo bề mặt răng bằng phương pháp bao hình, người ta sử dụng bề mặt sinh, bề mặt côn sinh được tạo ra trong quá trình quay của lưỡi cắt xung quanh trục đầu dao (là bề mặt hai thông số u, v).
Xét các hệ trục toạ độ Ss và Sugắn với bánh dẹt sinh, hệ cố định S trong đó có chuyển động quay của bánh dẹt sinh khi đầu dao quay trong hệ S tạo ra bề mặt côn ta có phương trình:
d
s
r = rs u(ctgα-ucosα)is +usinα(sin v) js +(cos v)ks
trong đó: r : bán kính tính toán cu ủa đầu dao (hình 2-4).
u,v: các thông số xác định điểm thực N trên mặt sinh côn.
Vị trí của đầu dao với trục O cu ủa bánh dẹt sinh được xác định bằng các toạ độ q,bu (O S =b ). u u u
Trong hệ thống S bu ề mặt sinh được xác định bằng các phương trình: x =r ctgu u α-ucosα.
y =usinu αsin(v-q) - b sinq. u zu=usinαcos(v-q) +b cosq. u
Trong hệ cốđịnh S các phd ương trình bề mặt sinh được viết như sau: x = r ctgd u α-ucosα.
y = usind αsin(v-q+ψ ) - busin(q-ψ ). z = usind αcos(v-q+ψ ) +b cos(q-u ψ ).
Ở đây: ψ -góc quay của bánh dẹt sinh. Véctơ pháp tuyến đơn vị mặt côn sinh trong hệ toạđộ S d được xác định bằng phương trình:
e = sind αid + cos[sin(v-q-ψ ) jd +cos(v-q+ψ ) kd ]
Cắt bánh răng nhỏ 1 và bánh răng lớn 2 được thực hiện bằng hai bề mặt sinh khác nhau đó là F và P. Sau khi xác định phương trình ăn khớp khi cắt bánh 1 và bánh 2 ta tìm điều kiện để tiếp xúc của các bề mặt của bánh răng 1 và 2 ở vị trí cho trước. việc nghiên cứu ăn khớp theo phương pháp này dựa trên các điểm ăn khớp đặc biệt, nó nằm trên đường côn chia, còn các điểm khác thì rất khó xác định. Bản thân giáo sư Litvin cũng đã từng cố gắng kiểm soát đường cong của các điểm tiếp xúc ở các điểm chân răng nhưng ông đã không thành công. Với công trình nghiên cứu của mình, ông giả thiết rằng tất cả các đạo hàm bậc 3 của bề mặt mặt răng đều bằng không, làm cho phương pháp của ông kém tin cậy. Tuy nhiên, phương pháp của ông đã là một cơ sở lý thuyết hết sức quan trọng trong gia công bánh răng nói chung và bánh răng côn cong nói riêng.