Phương pháp mô hình số

a, Mô hình Visual MODFLOW

Hệ thống phần mềm mô hình Visual Modflow do công ty Waterloo Hydrogeologic Inc. (WHI) phát triển từ những năm 80 của thế kỷ trước. Cùng với sự lớn mạnh không ngừng của công nghệ máy tính và công nghệ phần mềm, hệ thống này cũng liên tục phát triển. Cho đến nay, hệ thống chương trình, mô hình mô phỏng và tính toán các quá trình nước dưới đất đã đạt đến một trình độ tương đối hoàn hảo. Các phiên bản mới nhất cho phép người sử dụng dễ dàng thiết lập được các mô hình NDĐ và quản lý chúng một cách hiệu quả. Các giao diện đầu vào, xử lý, và xuất dữ liệu của mô hình vì thế mà cũng thân thiện hơn với hầu hết các nhà nghiên cứu địa chất thủy văn.

MT3D là một modul được phát triển lần đầu do nhóm chuyên gia Chunmiao Zheng, P. Patrick Wang, nó được tạo ra gần như song song với sự ra đời của phần mềm Modflow. MT3D là một mô hình số, ba chiều dùng để mô phỏng sự lan truyền vật chất trong nước dưới đất. Nó có thể mô phỏng được các quá trình đối lưu, phân tán, và khuyếch tán.

b, Một số công thức tính toán được sử dụng trong mô hình

Toàn bộ sự biến thiên độ cao mực nước duới đất được mô tả bằng một phương trình đạo hàm riêng duy nhất sau:

43 t h Ss W z h T z y h T y x h T x xx yy zz ∂ ∂ = −       ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ (1) Trong đó:

- Txx, Tyy, Tzz là các hệ số dẫn nước theo phương x,y và z. Chiều z là chiều thẳng đứng. Ta có: T = K.m. (m: bề dày tầng chứa nước)

- h là cốt cao mực nước tại vị trí (x,y,z) ở thời điểm t.

- W là các giá trị bổ cập hay thoát của nước nước dưới đất tại vị trí (x,y,z) ở thời điểm t. W = W(x,y,z,t) là hàm số phụ thuộc thời gian t và không gian (x,y,z)

- Ss là hệ số nhả nước

- Ss = Ss(x,y,z), Kxx = Kxx(x,y,z), Kyy = Kyy(x,y,z), Kzz = Kzz(x,y,z) các hàm phụ thuộc vào vị trí không gian x,y,z (K: hệ số thấm của tầng chứa nước theo các chiều x, y , z)

Phương trình (1) mô tả động thái mực nước trong điều kiện môi trường không đồng nhất và dị hướng.

Phương trình (1) cùng với các điều kiện biên, điều kiện ban đầu của tầng chứa nước tạo thành một mô hình toán học về dòng chảy NDĐ.

* Phương pháp giải

Để giải phương trình trên, người ta phải tìm hàm số h(x,y,z,t), thoả mãn (1) và thoả mãn các điều kiện biên. Sự biến động của giá trị h theo thời gian sẽ xác định bản chất của dòng chảy, từ đó có thể tính được trữ lượng của tầng chứa nước cũng như tính toán các hướng của dòng chảy.

Việc tìm lời giải giải tích h(x,y,z,t) của phương trình (1) chỉ khi nào miền nghiên cứu đưa về được mô phỏng bằng sơ đồ toán học. Thực tế, miền thấm có điều kiện rất phức tạp do đó người ta buộc phải giải bằng phương pháp gần đúng. Một trong các phương pháp giải gần đúng được áp dụng rộng rãi là phương pháp sai phân hữu hạn.

Khi áp dụng phương pháp này không gian nghiên cứu được phân ra hay rời rạc hóa thành nhiều ô. Ở mỗi ô, các giá trị tham gia vào phương trình được coi là không đổi. Giá trị này xấp xỉ với giá trị thực tế. Kết quả h(x,y,z,t) sẽ là một lưới ô các giá trị h.

Bằng cách này người ta đưa phương trình đạo hàm riêng (1) về một hệ phương trình tuyến tính. Số lượng phương trình tương đương với số các ô lưới chia.

Rõ ràng nếu bước lưới càng nhỏ thì kết quả thu được từ lời giải sai phân càng gần với lời giải đúng của phương trình (1). Thế nhưng khối lượng tính toán sẽ nhiều lên gấp bội, nên người ta phải tìm cách chọn ra bước lưới thích hợp. Nếu trong mỗi ô các giá trị tham gia tính toán trong phương trình không thay đổi đáng kể thì phép chia ô là hợp lý. Để hình dung được phương pháp sai phân áp dụng như thế nào, ta sẽ bắt đầu từ quá trình rời rạc hoá

Hình 12 mô tả quá trình rời rạc hoá không gian. Không gian nghiên cứu được phân theo chiều thẳng đứng z thành các lớp chứa nước. Mỗi lớp chứa nước lại được chia thành các ô nhỏ hơn. Vùng hoạt động của nước dưới đất trong mỗi tầng chứa nước sẽ được đánh dấu là “ô trong miền tính”. Những ô cách nước hoặc không có dòng chảy thấm qua thì được đánh dấu là “ô ngoài miền tính”.

* Phương trình vi phân

Hệ phương trình sai phân nhận được từ phương trình (1) được thành lập trên cơ sở phương trình vi phân cân bằng của Buxines: Tổng dòng chảy đến và chảy đi từ một ô phải bằng sự thay đổi thể tích nước có trong ô. Giả thiết rằng khối lượng riêng của nước dưới đất là không đổi thì qui tắc cân bằng dòng chảy cho một ô được thể hiện bằng phương trình sau: V t h Ss Q i i ∆ ∆ ∆ = ∑ (2)

- Qi là lượng nước chảy vào ô (nếu chảy ra thì Q lấy giá trị âm) - Ss là giá trị của hệ số nhả nước, nó chính là giá trị Ss(x,y,z) - ∆V là thể tích ô

Hình vẽ mô tả cho một ô lưới (i,j,k) và 6 ô bên cạnh nó, (i-1,j,k), (i+1,j,k), (i,j- 1,k), (i,j+1,k), (i,j,k-1), (i,j,k+1) dòng chảy từ ô (i,j,k) sang các ô bên cạnh (nếu chảy vào mang dấu dương, chảy ra mang dấu âm).

i,j,k i,j,k-1 i,j,k+1 i+1,j,k i,j-1,k i,j+1,k i-1,j,k

Hình 13: Ô lưới i,j,k và 5 ô bên cạnh

Nếu đặt Cri,j-1/2,k là sức cản thấm trong hàng thứ i, lớp thứ k giữa các nút lưới (i,j-1,k) và (i,j,k) được tính theo công thức:

Cri,j-1/2,k=Kri,j-1/2,k∆ci∆vk/∆rj-1/2 (3)

Trong đó:

- Kri,j-1/2,k là hệ số thấm giữa các nút lưới (i,j,k) và (i,j-1,k) - ∆ci∆vk là diện tích bề mặt vuông góc với phương dòng chảy - ∆rj-1/2 là khoảng cách giữa các nút lưới (i,j,k) và (i,j-1,k)

Và đặt lưu lượng cung cấp cho ô lưới từ biên theo phương trình tổng quát sau: ai,j,k,n = pi,j,k,n hi,j,k + qi,j,k,n (4)

Trong đó:

- ai,j,k,n biểu diễn dòng chảy từ nguồn thứ n vào trong nút lưới (i,j,k) - hi,j,k mực nước của nút (i,j,k)

- pi,j,k,n , qi,j,k,n là các hệ số có thứ nguyên (L2

t-1) và (L3t-1) tương ứng của phương trình.

Một cách tổng quát, nếu có N nguồn cấp vào trong ô lưới, lưu lượng tổng hợp Qsi,j,k có thể được viết như sau:

Qsi,j,k = Pi,j,k hi,j,k + Qi,j,k (5)

Trong đó:

- Pi,j,k =Σ pi,j,k,n - Qi,j,k =Σ qi,j,k,n

Viết cân bằng cho ô lưới (i,j,k) từ bước thời gian tm-1 đến tm ta có: Cri,j-1/2,k(hmi,j-1,k-hmi,j,k)+Cri,j+1/2,k(hmi,j+1,k-hmi,j,k)+

+Cci-1/2,j,k(hmi-1,j,k-hmi,j,k)+Cci+1/2,j,k(hmi+1,j,k-hmi,j,k)+ +Cvi,j,k-1/2(hmi,j,k-1-hmi,j,k)+Cvi,j,k+1/2(hmi,j,k+1-hmi,j,k)+

+ Pi,j,khmi,j,k-1+Qi,j,k=Ssi,j,k(∆rj∆cj∆vk)( hmi,j,k-hm-1i,j,k)/(tm -tm-1) (6)

Trong đó:

- hmi,j,k là cốt cao mực nước tại bước thời gian m của ô (i,j,k)

- Cri,j-1/2,k: là sức cản thấm trong hàng thứ i, lớp thứ k giữa các nút lưới (i,j-1,k) và (i,j,k).

Phương trình trên sẽ được viết cho các ô mà mực nước thay đổi theo thời gian. Như vậy, ta sẽ lập được một hệ phương trình có số phương trình tương ứng với số ô lưới. Giải hệ phương trình này với điều kiện biết được mực nước hm-1

i,j,k (điều kiện ban đầu) ta sẽ xác định được mực nước hm

i,j,k. Cứ lần lượt như vậy, ta có thể xác định được mực nước cho bất kỳ thời điểm nào

Hệ phương trình trên được giải bằng phương pháp lặp, người ta tiến hành chia nhỏ khoảng thời gian (tm-1,tm) kết quả nhận được là lời giải gần đúng của hệ phương trình.

Khi thời gian tăng lên thì h sẽ thay đổi. Khi h đạt được sự ổn định (chênh lệch h tính được giữa 2 bước thời gian kế cận nhau là nhỏ hơn một giá trị cho phép) thì mực nước đạt được sự cân bằng động và tại đây kết thúc quá trình tính toán.

Để phương pháp lặp hội tụ, người ta chọn bước thời gian tăng theo cấp số nhân, khi đó thừa số 1/(tm-1 - tm) sẽ tiến nhanh tới 0 do đó các tổng có liên quan đến thừa số này hội tụ.

* Điều kiện biên trong mô hình

Có 3 loại điều kiện biên chính như sau:

- Điều kiện biên loại I: là điều kiện biên áp lực trên đó được xác định trước (còn gọi là điều kiện biên Dirichlet).

-Điều kiện biên loại II: là điều kiện biên lưu lượng được xác định trước (còn gọi là điều kiện biên Neumann). Trường hợp không có dòng chảy thì lưu lượng được xác định bằng không.

- Điều kiện biên loại III: là điều kiện lưu lượng trên biên phụ thuộc vào sự thay đổi của áp lực (còn gọi là điều kiện biên Cauchy hoặc biên hỗn hợp).

* Biên sông (River)

Biên loại này được mô phỏng cho dòng chảy giữa tầng chứa nước và nguồn chứa nước thường là sông hay hồ... Nó cho phép dòng chảy từ tầng chứa vào trong nguồn chứa. Nước cũng có thể chảy từ nguồn chứa vào trong tầng chứa nước nhưng nguồn thấm này không phụ thuộc vào lưu lượng của sông.

Hệ số sức cản thấm của biên sông được thể hiện trong công thức:

Criv = KrLW/M (7)

Trong đó :

- Criv: giá trị sức cản thấm

- Kr: hệ số thấm theo phương thẳng đứng của lớp trầm tích đáy lòng - L: chiều dài lòng sông trong ô

- M: chiều dày của lớp trầm tích đáy lòng

Lưu lượng dòng thấm giữa sông và tầng chứa được tính theo công thức: Qriv = Criv (Hriv - h) khi h>Rbot (8)

Trong đó:

- Hriv: mực nước trong sông

- h: mực nước của tầng chứa ngay dưới đáy lòng sông - Rbot: cốt cao đáy sông

Trong trường hợp mực nước của tầng chứa nằm dưới đáy sông thì lúc đó lưu lượng dòng thấm sẽ đạt ổn định và tính theo công thức:

Qriv = Criv (Hriv - Rbot) khi h ≤ Rbot (9)

* Biên kênh thoát (Drain)

Cơ chế hoạt động của biên loại này cũng không khác mấy so với biên sông ngoại trừ không cho phép nguồn thấm từ kênh vào tầng chứa. Điều này cũng có nghĩa rằng dòng thoát ra kênh Qd sẽ bằng không khi mực nước trong ô nhỏ hơn hoặc bằng cốt cao đáy kênh:

Qd = 0 khi h ≤ d (10a)

Khi mực nước nằm cao hơn đáy kênh thì lưu lượng dòng thoát ra kênh Qd sẽ được tính theo công thức:

Qd = Cd (h-d) khi h > d (10b)

Đối với kênh thoát, giá trị sức cản thấm Cd được tính như đối với sức cản thấm của biên sông Cr.

* Biên mạch lộ (Spring)

Loại biên này có thể mô phỏng bằng biên kênh thoát và chỉ hoạt động khi mực nước trong tầng chứa nằm cao hơn mặt đất. Sức cản thấm được đánh giá qua lưu lượng và mực nước của mạch lộ, mực nước của tầng chứa.

Biên loại này đòi hỏi phải gán giá trị mô đun bốc hơi lớn nhất RETM cho các ô xảy ra quá trình bốc hơi. Giá trị này đạt được khi mực nước trong ô bằng với bề mặt địa hình (hs). Quá trình bốc hơi sẽ không xảy ra khi mực nước trong ô nằm dưới mực nước bốc hơi cho phép (d). Giữa hai giá trị này lượng bốc hơi (QET) sẽ được nội suy tuyến tính theo công thức:

QET = QETM khi h>hs (11) Trong đó:

- QETM = RETM .∆x.∆y

QET = 0 khi h < (hs-d) (12) QET = QETM {h - (hs - d)}/d khi (hs-d) ≤ h ≤ hs (13)

Hình 14: Điều kiện biên bốc hơi trong mô hình

* Điều kiện biên tổng hợp (General head boundary - GHB)

Điều kiện biên loại này cũng tương tự như điều kiện biên sông hoặc biên kênh thoát (hình 4). Lưu lượng dòng thấm qua biên được tính theo công thức:

Qb = Cb (hb - h) (14)

Sức cản thấm Cb cũng tương tự như sức cản thấm đáy lòng biểu thị sức cản dòng chảy giữa biên và tầng chứa nước.

(hs - d) d

h hs

Hình 15: Điều kiện biên tổng hợp (GHB) trong mô hình

• Lỗ khoan hút nước hoặc ép nước (Well)

Để mô phỏng các lỗ khoan hút nước trên mô hình, lưu lượng của các lỗ khoan trong ô lưới được đặt là lưu lượng tổng cộng QWT. QWT chính là bằng tổng lưu lượng của các lỗ khoan đặt trong các tầng chứa nước khác nhau (Σ Qi,j,k) (McDonald và Harbaugh,1988). Lưu lượng đơn lẻ cho các tầng chứa nước khác nhau đó được tính như sau:

Qi,j,k = Ti,j,k (QWT/ΣTi,j,k) (15) Trong đó:

- Ti,j,k là hệ số dẫn nước của tầng chứa nước

- ΣTi,j,k là hệ số dẫn nước tổng cộng cho tất cả các lớp mà lỗ khoan khoan qua Tính hoàn chỉnh hay không hoàn chỉnh của lỗ khoan được mô phỏng bằng việc xác định vị trí đoạn ống lọc nằm trong tầng chứa nước mà lỗ khoan có trong thực tế

Bán kính của lỗ khoan được mô phỏng trên mô hình lúc này sẽ là bán kính hiệu dụng re. Độ lớn của nó phụ thuộc vào kích thước của ô lưới và xác định theo công thức sau: Tầng chứa nước hi,j,k Nguồn cấp có mực nước không đổi Q hb,i,j,k

Sức cản thấm (Cb,i,j,k) giữa nguồn và ô lưới i,j,k

re = 0.208a khi bước lưới đều a = ∆x = ∆y (16)

c, Môdul vận chuyển nước dưới đất (MT3D)

Môdul MT3D có thể mô phỏng cả 3 quá trình cơ bản của dịch chuyển chất đó là quá trình đối lưu, phân tán và khuyếch tán. Do đặc thù của chất gây mặn chủ yếu là do hàm lượng Nacl trong nước cao. Mà hợp chất này lại ít chịu tác động (trơ) nên hoàn toàn có thể mô phỏng được bằng ứng dụng này. Do đặc thù của nhiễm mặn như vậy nên khi chạy mô phỏng chúng ta chỉ sử dụng modul tính toán avection (đối lưu). Nguồn nhiễm mặn được xác định theo ranh giới 1 gam /lít, điều kiện ban đầu của bài toán về dòng chảy được lấy theo mô hình dòng đã được lập cho toàn vùng, về chất thì lấy theo bản đồ phân bố vùng mặn nhạt. Thời gian chạy chỉnh lý trong 1 năm và thời gian chạy dự báo trong 20 năm tính từ năm 2010 đến năm 2030.

1- Phương trình

Phương trình vi phân mô phỏng hành vi và quá trình dịch chuyển chất gây ô nhiễm (k) trong nước dưới đất, ba chiều 3-D, được viết như sau:

(17)

Trong đó:

- θ độ lỗ hổng (không thứ nguyên) - CkNồng độ chất ô nhiễm (k) ML-3 - t = thời gian, T

- xi, j = khoảng cách, tương ứng tọa độ Descartes trục (độ dài) - Dij = hệ số phân tán thủy động lực học, L2

T-1

- vi = vận tốc thấm nước (chảy tầng), LT-1; nó có liên quan đến lưu lượng bổ cập trong định luật Darcy, vi = qi/θ

- qs Tỷ lưu lượng trên một đơn vị khối lượng tầng chứa nước (+qs) lưu lượng cấp. (-qs) lưu lượng thoát T-1

- ΣRn = Phản ứng hóa học, ML-3T-1

Vế trái của phương trình 17 có thể triển khai thành

(18) Trong đó: qs′ = ∂θ /∂t là tỷ lệ thay đổi hệ số nhả nước (đơn vị T-1)

Từ phương trình 18, khi tính toán về lượng vật chất thay đổi trong một phân tố dòng ngầm có kích thước dx.dy.dz và dựa trên định luật bảo toàn khối lượng, trong Modul MT3D nó được triển khai thành phuơng trình 19. Đây là phương trình vi phân mô tả sự dịch chuyển của chất hòa tan trong tầng chứa nước được :

( ) ( ) ( ) t C C v x C v x C v x z C D z y C D y x C D x x y z x x x ∂ ∂ =     ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −             ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ (19) Trong đó: Dx, Dy, Dz là các hệ số phân tán thủy động lực theo các phương x, y,

Phương pháp kế thừa số liệu