a. Mô hình tương tự
2.2.1 Phương trình vi phân và phương pháp giả
Để giải phương trình trên, người ta phải tìm hàm số h(x,y,z,t), thoả mãn (1) và các điều kiện biên. Sự biến động của giá trị h theo thời gian sẽ xác định bản chất của dòng chảy, từ đó có thể tính được trữ lượng động của tầng chứa nước cũng như tính toán các hướng của dòng chảy.
Việc tìm ra hàm giải tích h(x,y,z,t) cho phương trình (1) thường là rất khó. Trên thực tế, ngoại trừ một số rất ít trường hợp, phương trình (1) là phương trình không thể giải được bằng phương pháp giải tích. Do đó người ta buộc phải giải bằng phương pháp gần đúng. Một trong các phương pháp giải gần đúng ở đây được áp dụng cho bài toán này là phương pháp sai phân hữu hạn.
Phương pháp này thay vì tìm lời giải cho hàm liên tục h(x,y,z,t), người ta chia nhỏ không gian, thời gian thành nhiều ô, ở mỗi ô không gian, thời gian được coi là đồng nhất, nghĩa là ở đó tất cả các giá trị tham gia vào phương trình được coi là không đổi. Giá trị này dùng để xấp xỉ các giá trị thực tế. Kết quả h(x,y,z,t) sẽ là một lưới ô các giá trị h. Quá trình phân chia không gian thành các ô này còn được gọi là quá trình rời rạc hoá.
Bằng cách này người ta đưa phương trình đạo hàm riêng (1) về một hệ phương trình tuyến tính. Số phương trình tham gia vào bằng số các ô của lưới chia x, y, z, t. Rõ ràng nếu bước lưới càng nhỏ thì kết quả thu được từ lời giải sai phân càng gần với lời giải đúng của phương trình (1). Thế nhưng khối lượng tính toán sẽ nhiều lên gấp bội, nên người ta phải tìm cách chọn ra độ lớn thích hợp cho ô. Nếu trong các ô lưới các giá trị tham gia tính toán trong phương trình không thay đổi đáng kể thì kể như phép chia ô là hợp lý.
Để hình dung được phương pháp sai phân áp dụng như thế nào, ta sẽ bắt đầu từ quá trình rời rạc hoá. Hình mô tả quá trình rời rạc hoá không gian, khu vực ĐCTV được phân chia theo chiều thẳng đứng z thành các tầng chứa nước. Mỗi tầng chứa nước lại được chia thành các ô nhỏ hơn. Để tiện cho việc tính toán, người ta lấy x,y làm chiều của lưới. Vùng hoạt động của nước ngầm trong mỗi tầng chứa nước sẽ được đánh dấu “hoạt động”, ở đó mực nước biến thiên và nó sẽ tham gia vào tính toán trong phương trình. Những ô nào thuộc vùng không có nước hoặc nước không thể thấm qua được thì được đánh dấu là “không hoạt động”.
Hình 2.1 Ô lưới và các loại ô lưới trong mô hình
a. Phương trình vi phân
Hệ phương trình sai phân nhận được từ phương trình (1) được thành lập trên cơ sở các quy tắc cân bằng: tổng tất cả dòng chảy vào và chảy ra từ một ô phải bằng sự thay đổi thể tích nước có trong ô. Giả thiết rằng mật độ nước ngầm là không đổi thì cân bằng dòng chảy cho một ô được thể hiện bằng phương trình sau:
Vt t h S Q s i i ∆ ∆ ∆ = ∑ (2) Trong đó:
- Qi là lượng nước chảy vào ô (nếu chảy ra thì Q lấy giá trị âm). - Ss là giá trị của hệ số nhả nước, nó chính là giá trị Ss(x,y,z). - ∆V là thể tích ô.
- ∆h là giá trị biến thiên của h trong thời gian ∆t tại ô lưới đang xét.
Hình dưới đây mô tả cho một ô lưới (i,j,k) và 6 ô bên cạnh nó, (i-1,j,k),