Ngữ nghĩa của logic mô tả (D) được định nghĩa thông qua khái niệm thể hiện.
Định nghĩa 2.12 (Thể hiện) Một thể hiện đối với miền cụ thể D, ký hiệu là , là một cặp (, ), trong đó một tập khác rỗng, gọi là miền của , với D=
và là một ánh xạ, gọi là hàm thể hiện của , cho phép ánh xạ mỗi khái niệm
CC thành một tập con của , mỗi vai trò trừu tượng R Ra thành một tập con của x , mỗi cá thể trừu tượng a Ia thành một phần tử thuộc và mỗi cá thể cụ thể c Ic thành một phần tử thuộc D, mỗi vai trò cụ thể T Rcthành một tập con của xD và mỗi vị từ cụ thể n ngôi d thể hiện dDnD.
Ánh xạ được mở rộng với các khái niệm và vai trò theo cách thông thường như sau: ⊤ = ⊥ = (C1⊓ C2) = C1 C2 (C1⊔ C2) = C1 C2 (C) = \ C (S) = {y, x : x, yS} (R.C) = {x : R(x) C} (R.C) = {x : R(x) C} (n S) = {x : |S(x)| n} (n S) = {x : |S(x)| n} {a1, a2, …, an} = {a1, a2, …, an}
trong đó R(x)= {y: x, yRvà |X| là số lượng của tập X.
Ví dụ 2.8 Một cơ sở tri thức về xe hơi = , , với :
= .
TBox như sau:
Xehoi⊑ (= 1 NhaSX) ⊓ (= 1 Hanhkhach) ⊓ (= 1 Tocdo); (= 1 NhaSX) ⊑ Xehoi;
(= 1 Hanhkhach) ⊑Xehoi; ⊤⊑Hanhkhach.ℕ; (= 1 Tocdo) ⊑Xehoi; ⊤⊑Tocdo.Km/h;
Xemuitran⊑Xemuixep ⊓ Hanhkhach.{2};
Xemuixep⊑Xehoi ⊓Loaimui.Mem;
Trong , giá trị Tocdo có phạm vi trên miền cụ thể là Km/h, giá trị
Hanhkhach cóphạm vi trên miền cụ thể là số tự nhiên ℕ. Vị từ cụ thể ≥245km/h có giá trị đúng nếu Tocdo lớn hơn hoặc bằng 245 km/h.
ABox chứa các khẳng định sau đây:
SmartRoadster: Xemuitran⊓ (NhaSX.{Mercedes}) ⊓ (Tocdo.≤200km/h)
Sergio: Xehoi ⊓ (NhaSX.{Ferrari}) ⊓ (Tocdo.>350km/h)
TT: Xehoi⊓ (NhaSX.{Audi}) ⊓ (Tocdo.=244km/h)
Cho tập cá thể I = {SmartRoadster, Sergio, TT, Audi, Mercedes, Ferrari} Tập khái niệm C = {Xehoi, Xemuitran, Xemuixep, Xethethao}
Tập vai trò cụ thể Rc = {NhaSX, Hanhkhach, Tocdo} Xét thể hiện = (, ), trong đó:
= {SmartRoadster, Sergio, TT, Audi, Mercedes, Ferrari}
D = {Audi, Mercedes, Ferrari, ℕ, ≤200km/h, >350km/h, =244km/h}
Xehoi = {SmartRoadster, Sergio, TT}
Xemuitran = {SmartRoadster}
Xemuixep = {TT}
Xethethao = { Sergio}
NhaSX = {(SmartRoadster, Mercedes), (Sergio, Ferrari), (TT, Audi)}
Hanhkhach = {(SmartRoadster, ℕ), (Sergio, ℕ), (TT,ℕ)}
Tocdo = {(SmartRoadster,≤200km/h), (Sergio, >350km/h), (TT, =244km/h)}. Lúc đó ta có:
(Xehoi ⊓Tocdo.≥245km/h) = {Sergio} (Xemuitran ⊓Tocdo.≥250km/h) = .
Định nghĩa 2.13 (Tính thỏa mãn) Tính thỏa mãn của tiên đề E trong thể hiện = (, ), ký hiệu E, được định nghĩa như sau:
(2) R⊑S nếu và chỉ nếu RS
(3) T⊑U nếu và chỉ nếu TU
(4) Trans(R) nếu và chỉ nếu Rlà bắc cầu
(5) a:C nếu và chỉ nếu aC
(6) (a, b):R nếu và chỉ nếu (a, b) R
(7) (a, c):T nếu và chỉ nếu a, c T
(8) a b nếu và chỉ nếu a= b
(9) a ≉ b nếu và chỉ nếu a b.
Cho tập tiên đề ℇ, ta nóithỏa mãn ℇ nếu và chỉ nếu thỏa mãn mọi tiên đề trong ℇ. Nếu E (hay ℇ) thì ta nói rằng là mô hình của E (hay là mô hình của ℇ). thỏa mãn (hay là mô hình của) cơ sở tri thức = , , , ký hiệu , nếu và chỉ nếu là mô hình của cả , và .
Định nghĩa 2.14 (Hệ quả logic) Một tiên đề E là hệ quả logic của cơ sở tri thức
, ký hiệu E, nếu và chỉ nếu mọi mô hình của đều thỏa mãn E. Tính kế thừa và bao hàm có thể được đưa về tính thỏa mãn của cơ cở tri thức, chẳng hạn
, , a:C nếu và chỉ nếu , , {a: C} là không thỏa mãn.
Ví dụ 2.9 Xét cơ sở tri thức = , , ở Ví dụ 2.8, thể hiện là mô hình của
và ta có các hệ quả logic sau:
Xemuitran ⊑Xehoi; (SmartRoadster, Mercedes): NhaSX;
Sergio: Xethethao; TT: Xethethao.
Với Ví dụ 2.8 khó để xác định loại xe nào là xe thể thao. Vì sao một chiếc
xe có tốc độ 244 km/h không phải là xe thể thao? Nó có khả năng là xe thể thao bao nhiêu phần trăm? Ở đây một chiếc xe hơi tốc độ cao thì có khả năng là xe thể thao, làm cho khái niệm xe thể thao trở nên mơ hồ, không rõ ràng. Để giải quyết vấn đề này, trong phần tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu làm thế nào để thể hiện phù hợp hơn các khái niệm mơ hồ, không rõ ràng như vậy.