M ục đích nghiên cứu, đố it ượ ng, phạm vi nghiên cứ u 12
1.4.5 Bài toán NP khó 36
Nhận xét rằng, giả sử hai bài toán Π1 và Π2 là NP-đầy đủ. Theo định nghĩa Π1 qui dẫn đa thức về Π2 và Π2 qui dẫn đa thức về Π1 . Điều này cho thấy mỗi bài toán
NP-đầy đủ qui dẫn đa thức về mọi bài toán NP-đầy đủ khác (tính đối xứng và bắc cầu của phép qui dẫn đa thức). Vì thế mọi bài toán NP-đầy đủ có cùng độ phức tạp tính toán.
Bài toán tối ưu của bài toán quyết định tương ứng thuộc lớp NP-đầy đủ được gọi là một bài toán NP-khó (NP-hard). Bài toán NP-khó (mà không thuộc NP)
được qui dẫn đa thức từ một bài toán trong lớp NP, vì thế mọi bài toán NP-đầy đủ
đều là NP-khó. Các bài toán NP-khó là khó không kém những bài toán “khó nhất” trong lớp NP. Các bài toán sau đây là NP-khó, nhưng không biết có thuộc NP hay không: Bài toán k tập con nặng nhất, Bài toán cái túi, Bài toán đóng thùng, ...
Lớp bài toán NP-khó rộng hơn lớp bài toán NP-đầy đủ, vì nó bao gồm các bài toán thuộc lớp NP, cũng như các bài toán không thuộc lớp NP. Bài toán cái túi được xem là “dễ nhất” trong các bài toán NP-khó. Cùng với khái niệm NP-khó, người ta còn nêu ra khái niệm strongly NP-hard (NP-cực khó) nếu mọi dữ liệu của bài toán Π là nguyên và bài toán thu hẹp của Π trên các bộ dữ liệu bị chặn bởi một đa thức là NP-
khó. Người ta chứng minh được rằng không có thuật toán giải thời gian đa thức cho các bài toán NP-cực khó, trừ khi N= NP. Bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính được
37 biết là NP-cực khó.
Khi nghiên cứu giải quyết các bài toán thực tế, việc xác định nó thuộc lớp nào trong số các lớp bài toán kể trên không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa
ứng dụng quan trọng. Nếu bài toán đang xét được xác nhận là thuộc một trong các lớp NP, NP-đầy đủ, NP-khó thì ít có hy vọng tìm được thuật toán hiệu quả để giải nó. Vì vậy, tốt hơn hết là hãy hướng tới việc xây dựng những thuật toán xấp xỉ cho các bài toán như thế.
Hình 1.11 - Giả thuyết về quan hệ giữa các lớp NP, NP-đầy đủ và NP-khó