M ục đích nghiên cứu, đố it ượ ng, phạm vi nghiên cứ u 12
1.4.1Bài toán tối ưu (Optimization Problem) 24
Bài toán tối ưu yêu cầu xác định lời giải sao cho hàm mục tiêu đạt giá trị cực đại (cực tiểu). Mô hình toán học của bài toán tối ưu tổ hợp tổng quát được phát biểu như
sau:
Tìm min / max{ f ( x), x D}, trong đó D ={x= ( x1, x2, ..., xn) A1 ×A2 × ... ×
Anvà A1, …, An là các tập hữu hạn .
Hàm f(x) được gọi là hàmmục tiêu (objective function). Mỗi phần tửx Dđược gọi là một phương án hay lời giải chấp nhận được (feasible solution). Tập hữu hạn phương án D còn được gọi là tập ràng buộc. Một phương án x* D làm hàm mục tiêu đạt cực tiểu (hay cực đại), cụ thể là:
f(x*) f(x), ∀x∈ D,đối với bài toán min,
25
được gọi là một phương án tối ưu hay lời giải tối ưu (optimal solution) của bài toán. Khi đó, f*= f(x*) được gọi là giá trị tối ưu (optimal value) của bài toán.
Đối với mỗi bài toán tối ưu có thể xảy ra một trong ba khả năng loại trừ lẫn nhau sau đây:
a) miền ràng buộc (tập phương án) của bài toán là rỗng: D = ;
b) cực tiểu (cực đại) của f trên D bằng - (+ ), không bị chặn dưới (trên); c) f đạt cực tiểu (cực đại) hữu hạn trên D, nghĩa là tồn tại phương án tối ưu, giá trị
tối ưu.
Sau đây là một số bài toán tối ưu tổ hợp điển hình.
+ Bài toán cái túi (Knapsack Problem). Giả sử một cái túi có trọng lượng b (là số nguyên dương) và n loại đồ vật, các đồ vật lần lượt có trọng lượng là a1, a2,…,
anvà giá trị sử dụng là c1, c2,…cn. Cần xếp các đồ vật nào, với số lượng bao nhiêu vào túi sao cho giá trị sử dụng các đồ vật là lớn nhất.
Gọi x = ( x1, x2,..., xn ) là phương án mang đồ vật trong đó xi số lượng đồ vật loại i cần mang theo. Chúng ta có mô hình toán học của bài toán cái túi:
+ Bài toán đóng thùng (Bin Packing). Giả sử có một số lượng các thùng có kích thước 1, và n vật có kích thước tương ứng s1, s2,.., sn, 0 <si 1. Xác định số
thùng tối thiểu để có thể chứa hết các vật.
26
ánh xạ C : , trong đó S là một tập hợp hữu hạn (tập các màu cần sử dụng), sao cho nếu uv E thì C (u) C (v) ; nói một cách khác các đỉnh kề nhau được gán các màu khác nhau. Sắc số của G, ký hiệu bởi χ(G), là số màu tối thiểu cần thiết để
tô màu cho G. Bài toán đặt ra là: Cho trước đồ thị G, cần xác định χ(G).