+ Sử dụng đạo hàm
+ Biến đổi về dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
+ Phương pháp khác
Lý do:………
3.1.3. Phân tích các câu trả lời của giáo viên
Chúng tôi thu được 19 phiếu thăm dò ý kiến từ các giáo viên của hai trường THPT Phú Quốc và THPT Dương Đông.
Bảng 3.1. Thống kê câu trả lời đối với câu hỏi 1 của giáo viên
Câu hỏi 1.Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Quý thầy (cô) mong đợi học sinh sử dụng kĩ thuật nào ? Tại sao ?
Trả lời Số lượng Phần trăm (%)
62
b. Quy tắc 18 94.7%
c. Đồ thị
d. Kĩ thuật khác
Tổng 19 100%
Có đến 94.7% giáo viên mong đợi học sinh sử dụng kỹ thuật “quy tắc” để giải kiểu nhiệm vụ Tđ. Lý do các giáo viên đưa ra hầu như giống nhau. Chẳng hạn:
GV1:
Lý do: Kỹ thuật giải rõ ràng. GV2:
Lý do: Học sinh ít bị sai khi thực hành các bài tập loại này. GV5:
Lý do: Ít sai sót. GV6:
Lý do: Học sinh dễ thực hiện. GV7:
Lý do: Học sinh dễ làm bài hơn bằng cách thay số vào công thức.
Bảng 3.2. Thống kê câu trả lời đối với câu hỏi 2 của giáo viên
Câu hỏi 2. Trong quá trình giảng dạy, quý thầy (cô) có giúp cho học sinh phân biệt giữa các khái niệm: giá trị cực tiểu và giá trị nhỏ nhất; giá trị cực đại và giá trị lớn nhất ?
Trả lời Số lượng Phần trăm (%)
a. Chưa bao giờ
b. Thỉnh thoảng 14 73.7%
c. Thường xuyên 5 26.3%
Tổng 19 100%
“Cực trị hàm số” và “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” là hai bài học được trình bày riêng lẽ trong sách giáo khoa giải tích 12. Qua xem xét sách giáo khoa chúng tôi nhận thấy không có sự so sánh cũng như phân biệt giữa các khái niệm: giá trị cực tiểu và
63
giá trị nhỏ nhất; giá trị cực đại và giá trị lớn nhất. Tuy nhiên, thông qua phiếu trả lời câu hỏi 2 cho thấy thực tế dạy học hầu hết giáo viên đều trú trọng và giúp học sinh phân biệt các khái niệm. Còn việc phân biệt giữa các khái niệm này như thế nào thì chúng tôi tiến hành phỏng vấn một số giáo viên. Chẳng hạn:
GV17: Sử dụng đồ thị để giúp học sinh phân biệt các khái niệm này.
Bảng 3.3. Thống kê câu trả lời đối với câu hỏi 3 của giáo viên
Câu hỏi 3. Quý thầy (cô) có thường cho học sinh các bài toán thực tế liên quan tới việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay không?
Trả lời Số lượng Phần trăm (%)
a. Chưa bao giờ 6 31.6%
b. Thỉnh thoảng 13 68.4%
c. Thường xuyên
Tổng 19 100%
68.4% minh chứng cho việc giáo viên có quan tâm đến các bài toán thực tế liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, điều đó cho thấy vẫn có giáo viên quan tâm đến việc dạy học mô hình hóa.
Bảng 3.4. Thống kê câu trả lời đối với câu hỏi 4 của giáo viên
Câu hỏi 4. Cho bài toán:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 5𝑥2𝑥−3𝑥−22+1 .
Theo ý kiến của quý thầy (cô), nếu đưa bài toán này cho học sinh thì học sinh có thể đưa ra những lời giải nào ? Quý thầy (cô) mong đợi lời giải nào nhất ? Xin quý thầy cô ghi rõ lời giải mong đợi đó.
Đối với câu hỏi 4, hầu hết giáo viên (100%) đều mong đợi học sinh sử dụng kỹ thuật đạo hàm để giải bài toán này. Sự mong đợi đó có lẽ là do những gì giáo viên đã giảng dạy trên lớp. Tuy nhiên, đối với bài toán này, việc sử dụng kỹ thuật đạo hàm có thể gây khó cho học sinh trong việc tìm đáp án và điều này sẽ được chúng tôi phân tích chi tiết hơn khi thực nghiệm trên đối tượng học sinh. Sau đây chúng tôi sẽ trích dẫn một số ý kiến của giáo viên.
64 + Tìm TXĐ
+Tìm y’, nghiệm y’ + Lập BBT
+ Dựa vào BBT kết luận GTLN, GTNN.
Lời giải mong đợi: Theo kỹ thuật trên – dùng đạo hàm, lập BBT. GV9:
+ Tìm TXĐ + Tính y’ + Lập BBT + KL
Bảng 3.5. Thống kê câu trả lời đối với câu hỏi 5 của giáo viên
Câu hỏi 5. Cho bài toán:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥−2𝑠𝑖𝑛𝑥−1𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥+2
a. Giả sử cần hướng dẫn cho học sinh giải bài toán trên, quý thầy (cô) sẽ ưu tiên chọn phương pháp nào trong các phương pháp sau:
Trả lời Số
lượng
Phần trăm (%)
+ Sử dụng đạo hàm 3 15.8%
+ Biến đổi về dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 15 78.9%
+ Phương pháp khác 1 5.3%
Tổng 19 100%
b. Khi yêu cầu học sinh giải bài toán này, quý thầy (cô) dự đoán học sinh sẽ ưu tiên sử dụng phương pháp nào ? Tại sao quý thầy cô lại dự đoán như vậy ?
Trả lời Số
lượng
Phần trăm
(%)
+ Sử dụng đạo hàm 19 100%
+ Biến đổi về dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx + Phương pháp khác
65
Khi yêu cầu giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán trên thì có đến 78.9% giáo
viên sử dụng phương pháp biến đổi hàm số về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (chúng tôi gọi là kỹ thuật “tập giá trị”), vẫn có giáo viên sử dụng kỹ thuật “đạo hàm” và các kỹ thuật khác. Tuy nhiên, khi yêu cầu dự đoán cách làm của học sinh thì 100% giáo viên cho rằng học sinh sẽ sử dụng kỹ thuật “đạo hàm”. Điều đó chứng tỏ, hầu hết giáo viên đều biết đến những kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ này và chọn kỹ thuật “tập giá trị” minh chứng cho tính ưu việt của nó đối với dạng bài toán này. Lý do một số giáo viên cho rằng học sinh sử dụng kỹ thuật “đạo hàm” giải kiểu nhiệm vụ này thông qua một số nhận xét sau:
GV4:
Lý do:
1) Kỹ thuật giải rõ ràng.
2) Kiểu nhiệm vụ được nêu ra tường minh, phần lớn (>90%) bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này đều sử dụng được kỹ thuật đạo hàm.
3) Các kỹ thuật khác không được ưu tiên (không có bài tập nào sử dụng kỹ thuật khác).
GV5:
Lý do: Học sinh đã quên lượng giác. GV8:
Lý do: Mới học. GV19:
Lý do: Học sinh ít sử dụng phương pháp biến đổi về dạng bậc nhất đối với sinx và cosx.
3.2. Thực nghiệm đối với học sinh
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên đối tượng học sinh lớp 12 của 2 trường THPT Phú Quốc và THPT Dương Đông (thuộc Huyện Phú Quốc, tỉnh Kiên Giang) sau khi học sinh học xong bài giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Thực nghiệm được tổ chức dưới hình thức kiểm tra viết nhằm mục đích kiểm chứng các giả thuyết mà chúng tôi đã đặt ra:
Giả thuyết H1: Kỹ thuật đạo hàm luôn được học sinh ưu tiên khi tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
66
R: Nếu một hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) nhưng tồn tại giá trị cực đại (hoặc giá trị cực tiểu) thì học sinh cho rằng giá trị cực đại là giá trị lớn nhất (giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất).
3.2.1. Các bài toán thực nghiệm
Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
𝑦 =𝑥3−3𝑥+ 1 trên khoảng (-3 ; 3).
Bài toán 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥 −2𝑠𝑖𝑛𝑥 −1
𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥+ 2
Bài toán 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
𝑦 =5𝑥2𝑥−2+ 13𝑥 −2
3.2.2. Phân tích tiên nghiệm + Biến didactic + Biến didactic
Chúng tôi chọn các bài toán thực nghiệm trên cơ sở lựa chọn giá trị của các biến didactic sau đây:
V1: Hàm số có tồn tại giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) hay không? Hai giá trị của biến:
GT1: Có GT2: Không
V2: Hàm số có tồn tại cực trị hay không? Hai giá trị của biến:
GT3: Có GT4: Không V3: Xét dấu đạo hàm
Hai giá trị của biến: GT5: Dễ xét dấu GT6: Khó xét dấu
67
Bảng 3.6. Bảng tóm tắt sự lựa chọn giá trị của các biến didactic
Biến Bài toán 1 Bài toán 2 Bài toán 3
V1 GT2 GT1 GT1 V2 GT3 GT3 GT3 V3 GT5 GT6 GT6 + Biến tình huống V4: Cách thức làm việc GT7: Làm việc cá nhân GT8: Làm việc theo nhóm V5: Thời gian làm bài
GT9: Thời gian làm bài ngắn GT10:Thời gian làm bài dài
Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
𝑦 =𝑥3−3𝑥+ 1 trên khoảng (-3 ; 3).
+ Mục đích: Đây là một bài toán không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nhưng lại có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trên khoảng đã cho. Chính vì vậy chúng tôi đưa ra bài toán này để tìm hiểu cách ứng xử của học sinh trong việc vận dụng tính đơn điệu, cực trị, bảng biến thiên của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, đồng thời chúng tôi đưa ra bài toán này để kiểm chứng quy tắc hợp đồng R.
+ Các chiến lược và những cái có thể quan sát được Chiến lược S1bbt: “Bảng biến thiên”
Trong chiến lược này học sinh tiến hành lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (- 3 ; 3), sau đó dựa vào bảng biến thiên để tìm đáp án.
Những cái có thể quan sát được
S1bbt(1): Học sinh lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (-3 ; 3), sau đó dựa vào bảng biến thiên để suy ra hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Ta có:
𝑦′ = 3(𝑥2−1);
𝑦′ = 0⇔ 𝑥 = ±1.
lim𝑥→−3+𝑓(𝑥) = −17 và lim𝑥→3−𝑓(𝑥) = 19
68 x -3 -1 1 3 y’ + 0 - 0 + y 3 19 -17 -1
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
S1bbt(2): Học sinh lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (-3 ; 3) và kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Ta có:
𝑦′ = 3(𝑥2−1);
𝑦′ = 0⇔ 𝑥 = ±1.
lim𝑥→−3+𝑓(𝑥) = −17 và lim𝑥→3−𝑓(𝑥) = 19
Sau đây là bảng biến thiên của y trên khoảng (-3 ; 3):
X -3 -1 1 3 y’ + 0 - 0 +
Y
3 19 -17 -1
Từ bảng biến thiên, ta được
𝑚𝑎𝑥
𝑥∈(−3;3)𝑓(𝑥) =𝑓(−1) = 3; 𝑚𝑖𝑛
𝑥∈(−3;3)𝑓(𝑥) =𝑓(1) =−1
S1bbt(3): Học sinh lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (-3 ; 3) nhưng không thể hiện giới hạn tại hai đầu mút, từ đó kết luận tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Ta có:
𝑦′ = 3(𝑥2−1);
𝑦′ = 0⇔ 𝑥 = ±1.
Sau đây là bảng biến thiên của y trên khoảng (-3 ; 3):
X -3 -1 1 3 y’ + 0 - 0 +
Y
3
69 Từ bảng biến thiên, ta được
𝑚𝑎𝑥
𝑥∈(−3;3)𝑓(𝑥) =𝑓(−1) = 3; 𝑚𝑖𝑛
𝑥∈(−3;3)𝑓(𝑥) =𝑓(1) =−1
Chiến lược S1đt: “Đồ thị”
Những cái có thể quan sát được
Từ đồ thị hàm số 𝑦 =𝑥3−3𝑥+ 1
Ta thấy ngay trên khoảng (-3 ; 3) không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Chiến lược S1khác: Chúng tôi xếp các chiến lược không giống với các chiến lược trên vào chiến lược S1khác.
Bài toán 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝑠𝑖𝑛𝑥 −𝑠𝑖𝑛𝑥+ 21
+ Mục đích:Đây là kiểu nhiệm vụ Tlg2đã xuất hiện ở khối lớp 11, tuy nhiên chúng tôi sử dụng kiểu nhiệm vụ này để thực nghiệm ở khối lớp 12 nhằm tìm hiểu xem học sinh sẽ ứng xử như thế nào ? Học sinh sẽ sử dụng kĩ thuật “tập giá trị” hay sử dụng đạo hàm để giải quyết kiểu nhiệm vụ này.
+ Các chiến lược và những cái có thể quan sát được Chiến lược S2đh: “Đạo hàm”
Những cái có thể quan sát được
S2đh(1): Học sinh tính đạo hàm, lập bảng biến thiên sau đó dựa vào bảng biến thiên để tìm đáp án.
Ta có: 𝑦′ = −3(𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥+2(𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥+1)2)
Do hàm số y là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π nên ta chỉ cần xét hàm số y trên đoạn [-π ; π].
𝑦′ = 0⟺ 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥+ 1 = 0⟺ 𝑥 =−𝜋2 ;𝑥 =𝜋
70 x -π −𝜋2 π y’ + 0 - y 1 -2 -2
Từ bảng biến thiên, ta được:
max
𝑥∈𝑅 𝑦 = 1 ⟺ 𝑥 =−𝜋2+𝑘2𝜋 ,𝑘 ∈ ℤ
min
𝑥∈𝑅 𝑦 =−2 ⟺ 𝑥 =𝜋+𝑘2𝜋 ,𝑘 ∈ ℤ
S2đh(2): Học sinh tính đạo hàm rồi sử dụng “quy tắc” để tìm đáp án. Ta có: 𝑦′ = −3(𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥+2(𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥+1)2)
Nhận xét: Do hàm số y là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π nên ta chỉ cần xét hàm số y trên đoạn [-π ; π]. � 𝑦 ′ = 0 −𝜋 <𝑥 <𝜋⟺ � 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥+ 1 = 0 −𝜋 <𝑥 < 𝜋 ⟺ 𝑥 =− 𝜋 2 ;𝑥 =𝜋 𝑦 �−𝜋2�= 1;𝑦(−𝜋) = −2; 𝑦(𝜋) = −2 Vậy: max𝑥∈𝑅 𝑦 = 1 ⟺ 𝑥 =−𝜋2+𝑘2𝜋 ,𝑘 ∈ ℤ min 𝑥∈𝑅 𝑦 =−2 ⟺ 𝑥 =𝜋+𝑘2𝜋 ,𝑘 ∈ ℤ
S2đh(3): Học sinh chỉ tính được đạo hàm Ta có: 𝑦′ = −3(𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥+2(𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥+1)2)
Chiến lược S2tgt: “Tập giá trị”
Những cái có thể quan sát được
S2tgt(1): Biến đổi hàm số đã cho về dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, từ đó sử dụng các phép biến đổi đại số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
71
Ta có: |𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥| ≤ √2 nên 𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥+ 2≠ 0 với mọi x. Vậy cặp số (x, y) thỏa mãn y = 𝑐𝑜𝑠𝑥−2𝑠𝑖𝑛𝑥−1𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥+2 khi và chỉ khi
(y + 2)sinx + (y - 1)cosx = -1- 2y (*) Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi:
(−1−2y)2 ≤(y + 2)2+ (y−1)2 ⟺2y2−2y−4 ≤0 ⟺ −2≤ 𝑦 ≤ 1 + Xét phương trình: −2𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥+3𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝑠𝑖𝑛𝑥+1 =−2 (1) Ta có: (1)⟺ 𝑐𝑜𝑠𝑥 =−1⟺ 𝑥 =𝜋+𝑘2𝜋,𝑘 ∈ ℤ + Xét phương trình: −2𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥+3𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝑠𝑖𝑛𝑥+1 = 1 (2) Ta có: (2)⟺ 𝑠𝑖𝑛𝑥 =−1⟺ 𝑥 =−𝜋2+𝑘2𝜋,𝑘 ∈ ℤ Vậy: 𝑚𝑎𝑥𝑥∈ℝ𝑦 = 1; 𝑚𝑖𝑛𝑥∈ℝ𝑦 =−2
S2tgt(2): Tương tự như chiến lược S2tgt(1) nhưng không chỉ ra được các giá trị của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất).
Ta có: |𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥| ≤ √2 nên 𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥+ 2≠ 0 với mọi x. Vậy cặp số (x, y) thỏa mãn y = 𝑐𝑜𝑠𝑥−2𝑠𝑖𝑛𝑥−1𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥+2 khi và chỉ khi
(y + 2)sinx + (y - 1)cosx = -1- 2y (*) Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi:
(−1−2y)2 ≤(y + 2)2+ (y−1)2
⟺2y2−2y−4 ≤0 ⟺ −2≤ 𝑦 ≤ 1
Vậy: 𝑚𝑎𝑥𝑥∈ℝ𝑦 = 1; 𝑚𝑖𝑛𝑥∈ℝ𝑦 =−2
Chiến lược S2ap: “Đặt ẩn phụ”
Những cái có thể quan sát được
S2ap(1): Học sinh đặt 𝑡=𝑡𝑎𝑛𝑥2, sau đó sử dụng đạo hàm để tìm đáp án. Đặt 𝑡=𝑡𝑎𝑛𝑥2
72 𝑐𝑜𝑠𝑥 −2𝑠𝑖𝑛𝑥 −1 𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥+ 2 = 1− 𝑡2 1 +𝑡2−1 +2.2𝑡𝑡2−1 1− 𝑡2 1 +𝑡2+ 21 +𝑡𝑡2+ 2= −2𝑡2−4𝑡 𝑡2+ 2𝑡+ 3 𝑔 =ℎ(𝑡) = −2𝑡2−4𝑡 𝑡2+ 2𝑡+ 3 Ta có: 𝑡2+ 2𝑡+ 3≠0 với mọi t ℎ′(𝑡) =(𝑡−12𝑡 −2+ 2𝑡+ 3)12 2 ℎ′(𝑡) = 0⟺ 𝑡 =−1 Bảng biến thiên: t -∞ -1 +∞ h’(t) + 0 - h(t) 1 -2 -2 Suy ra: 𝑚𝑎𝑥𝑡∈ℝ ℎ(𝑡) = ℎ(−1) = 1
Hàm số h(t) không tồn tại giá trị nhỏ nhất. Xét
𝑡 =−1⟺ 𝑡𝑎𝑛𝑥2 =−1⟺ 𝑥2 =−𝜋4+𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ ⟺ 𝑥 =−𝜋2+𝑘2𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ
Kết luận:
max
𝑥∈𝑅 𝑦 = 1 ⟺ 𝑥 =−𝜋2+𝑘2𝜋 ,𝑘 ∈ ℤ
Hàm số y không tồn tại giá trị nhỏ nhất.
S2ap(2): Học sinh đặt 𝑡=𝑡𝑎𝑛𝑥2, sau đó sử dụng kỹ thuật “tập giá trị” để tìm đáp án. Đặt 𝑡=𝑡𝑎𝑛𝑥2 , Ta có: 𝑐𝑜𝑠𝑥 −2𝑠𝑖𝑛𝑥 −1 𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥+ 2 = 1− 𝑡2 1 +𝑡2−1 +2.2𝑡𝑡2−1 1− 𝑡2 1 +𝑡2+ 21 +𝑡𝑡2+ 2= −2𝑡2−4𝑡 𝑡2+ 2𝑡+ 3 Khi đó:
73
𝑦 = −2𝑡2−4𝑡
𝑡2+ 2𝑡+ 3 (∗)
Do 𝑡2+ 2𝑡+ 3≠0 với mọi t nên
(∗) ⟺(𝑡2+ 2𝑡+ 3)𝑦=−2𝑡2−4𝑡
⟺ (𝑦+ 2)𝑡2+ 2(𝑦+ 2)𝑡+ 3𝑦 = 0 (**) Trường hợp 1:
Nếu 𝑦=−2 (loại, do -6≠0) Trường hợp 2:
Nếu 𝑦 ≠ −2, khi đó (**) có nghiệm khi và chỉ khi
(𝑦+ 2)2−3𝑦(𝑦+ 2)≥0
⟺ −2𝑦2−2𝑦+ 4≥0
⟺ −2≤ 𝑦 ≤ 1
Suy ra, phương trình (**) có nghiệm khi và chỉ khi −2 < 𝑦 ≤1
Khi 𝑦= 1, thay vào (**) ta được: 3𝑡2+ 6𝑡+ 3 = 0⟺ 𝑡 =−1
Với
𝑡 =−1 𝑡ℎì 𝑡𝑎𝑛𝑥2=−1⟺ 𝑥2=−𝜋4+𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ ⟺ 𝑥 =−𝜋2+𝑘2𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ
Kết luận:
max
𝑥∈𝑅 𝑦 = 1 ⟺ 𝑥 =−𝜋2+𝑘2𝜋 ,𝑘 ∈ ℤ
Hàm số y không tồn tại giá trị nhỏ nhất.
Chiến lược S2khác: Chúng tôi xếp các chiến lược không giống với các chiến lược trên vào chiến lược S2khác .
Bài toán 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số