3. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
1.3.3 Nhóm 3: Nhóm các câu hỏi biến đổi biểu thức về hàm số một biến, sau đó sử
Ví dụ: (Câu 6, khối D năm 2012)
Cho các số thực x, y thỏa mãn (𝑥 −4)2+ (𝑦 −4)2+ 2𝑥𝑦 ≤32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝐴 =𝑥3+𝑦3+ 3(𝑥𝑦 −1)(𝑥 +𝑦 −2). Giải Ta có (𝑥 −4)2+ (𝑦 −4)2+ 2𝑥𝑦 ≤32 ⟺ (𝑥+𝑦)2−8(𝑥+𝑦) ≤0 ⟺ 0≤ 𝑥+𝑦 ≤ 8 𝐴 = (𝑥 +𝑦)3−3(𝑥+𝑦)−6𝑥𝑦+ 6≥(𝑥 +𝑦)3−32(𝑥+𝑦)2−3(𝑥+𝑦) + 6 Xét hàm số 𝑓(𝑡) = 𝑡3−32𝑡2−3𝑡+ 6trên đoạn [0 ; 8]. Ta có 𝑓′(𝑡) = 3𝑡2−3𝑡 −2, 𝑓′(𝑡) = 0 ⟺ 𝑡 =1+√52 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑡 =1−√52 (𝑙𝑜ạ𝑖) Ta có 𝑓(0) = 6,𝑓 �1+√52 �=17−5√54 ,𝑓(8) = 398. Suy ra 𝐴 ≥17−5√54 . Khi 𝑥 =𝑦=1+√54 thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17−5√54
32
Ví dụ: (Câu 6, khối B năm 2013)
Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
𝑃 = 4 √𝑎2+𝑏2+𝑐2+ 4− 9 (𝑎+𝑏)�(𝑎+ 2𝑐)(𝑏 + 2𝑐) Giải Ta có: (𝑎+𝑏)�(𝑎+ 2𝑐)(𝑏+ 2𝑐) ≤(𝑎+𝑏)𝑎+𝑏 + 4𝑐 2 = 𝑎2+𝑏2+ 2𝑎𝑏+ 4𝑎𝑐+ 4𝑏𝑐 2 ≤2(𝑎2+𝑏2+𝑐2) Đặt 𝑡 =√𝑎2+𝑏2+𝑐2+ 4 , suy ra t > 2 và 𝑃 ≤4𝑡−2(𝑡29−4) Xét 𝑓(𝑡) =4 𝑡 − 9 2(𝑡2−4),với t > 2 Ta có 𝑓′(𝑡) =−𝑡42+(𝑡29𝑡−4)2 =−(𝑡 −4)(4𝑡𝑡2(𝑡3+ 7𝑡2−4)2−2 4𝑡 −16) Với t > 2 ta có 4𝑡3+ 7𝑡2−4𝑡 −16 = 4(𝑡3−4) +𝑡(7𝑡 −4) > 0 Do đó 𝑓′(𝑡) = 0 ⇔ 𝑡 = 4. Bảng biến thiên: t 2 4 +∞ f’(t) + 0 - f(t) 5 8 -∞ 0
Từ bảng biến thiên ta được 𝑃 ≤ 58
Khi a = b = c = 2 ta có 𝑃 =58 .Vậy giá trị lớn nhất của P là 58
Nhận xét
Đây là nhóm các câu hỏi thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học và cao đẳng. Tương tự như nhóm 2, các câu hỏi này yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất)
33
của một biểu thức nhiều biến số nhưng kỹ thuật giải khác so với nhóm 2. Thông qua đáp án của Bộ Giáo dục và Đào tạo, chúng tôi tóm lược các bước giải như sau:
Bước 1. Sử dụng các phép biến đổi đại số để đưa biểu thức nhiều biến số về hàm số một biến;
Bước 2. Sử dụng công cụ đạo hàm (như “quy tắc”, “bảng biến thiên”,…) để tìm đáp án.
34
Bảng 1.1. Thống kê các câu hỏi theo từng nhóm từ năm 2003 đến 2013
Năm Nhóm 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Tổng Tỉ lệ Nhóm 1 2 1 1 4 17.4% Nhóm 2 1 1 2 2 6 26.1% Nhóm 3 1 1 2 1 2 3 3 13 56.5%
Quan sát biểu đồ, chúng tôi nhận thấy các câu hỏi thuộc nhóm 3 ngày càng xuất hiện nhiều trong các năm gần đây, đặc biệt là kỳ thi tuyển sinh đại học và cao đẳng năm 2012 và 2013 vừa qua, cả ba khối A(A1), B và D đều cho ra câu hỏi thuộc dạng này, tức là các câu hỏi tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của biểu thức nhiều biến số. Xin lưu ý rằng, trong chương trình toán Trung học phổ thông khái niệm hàm nhiều biến chưa được định nghĩa cũng như chưa được đề cập, do đó để giải quyết bài toán này thì kỹ thuật chủ yếu vẫn đạo hàm của hàm số một biến, bằng cách sử dụng các phép biến đổi đại số để “khử dần” các biến rồi đưa về trường hợp một biến.
Ngoài ra chúng tôi còn nhận thấy rằng, hầu hết học sinh quen với việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng kỹ thuật đạo hàm, nhưng trong 11 năm vừa qua chỉ 4 câu hỏi mà các học sinh có thể sử dụng đạo hàm “ngay từ ban đầu” để giải (chiếm 17.4%), đa số các câu hỏi còn lại đòi hỏi học sinh phải “chuyển đổi phạm vi” mới giải được. Từ đó, chúng tôi tự đặt câu hỏi: Kỹ thuật đạo hàm có những điều kiện và ràng buộc nào ? Trong những điều kiện và ràng buộc nào thì học sinh sử dụng kỹ thuật đạo hàm để giải ?
35
Kết luận chương 1
Qua phân tích thể chế ở khối 11 và 12 chúng tôi thu được các kết quả sau
Trong chương trình và sách giáo khoa 11, chúng tôi rút ra được 2 tổ chức toán học liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với các kiểu nhiệm vụ sau:
- Kiểu nhiệm vụ Tlg1: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa sinu (hoặc cosu), với u là hàm số theo biến x”
- Kiểu nhiệm vụ Tlg2: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦= 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐
𝑎′𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑏′𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐′ có tập xác định là R”
Đối với các kiểu nhiệm vụ này, kỹ thuật giải chủ yếu là sử dụng “bất đẳng thức”. Trong đó chúng tôi quan tâm đến kiểu nhiệm vụ Tlg2 bởi vì để giải chúng, ta phải biến đối hàm số đã cho về dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, sau đó sử dụng các phép biến đổi đại số kết hợp khái niệm “tập giá trị” để tìm đáp án (chúng tôi gọi đây là kỹ thuật “tập giá trị”). Đồng thời, kiểu nhiệm vụ này xuất hiện rất ít ỏi và rời rạc nên theo chúng tôi, kiểu nhiệm vụ này rất dễ bỏ qua trong quá trình giảng dạy và hầu hết học sinh sau này sẽ ít sử dụng kỹ thuật “tập giá trị” để giải kiểu nhiệm vụ Tlg2 này.
Trong chương trình và sách giáo khoa 12, chúng tôi rút ra được các tổ chức toán học liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với các kiểu nhiệm vụ sau:
- Kiểu nhiệm vụ T:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = f(x) trên miền D”, gồm hai kiểu nhiệm vụ con:
+ Kiểu nhiệm vụ Tk:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
trên khoảng (a ; b)”.
+ Kiểu nhiệm vụ Tđ:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
trên đoạn [a ; b]”.
- Kiểu nhiệm vụ Tpatu:“Tìm phương án tối ưu cho bài toán có nội dung thực tế”. Đối với kiểu nhiệm vụ T có các kỹ thuật giải như kỹ thuật “đồ thị”, kỹ thuật “bất đẳng thức” và kỹ thuật “bảng biến thiên” nhưng sách giáo khoa quan tâm nhiều đến kỹ thuật “bảng biến thiên”, số lượng bài tập sử dụng kỹ thuật “đồ thị” và kỹ thuật “bất đẳng thức” chiếm rất ít. Điều đó, cho thấy sự ưu tiên của thể chế trong việc sử dụng đạo hàm để hình thành kỹ thuật giải các kiểu nhiệm vụ. Ngoài ra, đối với kiểu nhiệm vụ Tđ còn có thêm kỹ thuật “quy tắc” để giải chúng.
36
Đối với kiểu nhiệm vụ Tpatu cho thấy sách giáo khoa có quan tâm đến vấn đề dạy học mô hình hóa nhưng theo chúng tôi sự quan tâm này chưa thật sự đầy đủ và còn mang tính hình thức bởi vì thông qua các dạng bài toán này, chúng tôi nhận thấy hầu hết sách giáo khoa đều “cho trước” hàm số cần tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất), bước còn lại chỉ là học sinh sử dụng đạo hàm để tìm đáp án.
Ngoài ra, khi phân tích các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng từ năm 2003 đến 2013 cho thấy các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thường hạn chế học sinh sử dụng đạo hàm “ngay từ ban đầu” bằng cách yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của biểu thức nhiều biến số. Từ đó “buộc” học sinh phải biến đổi biểu thức nhiều biến số thành hàm số một biến (chuyển đổi phạm vi), sau đó sử dụng đạo hàm để tìm đáp án.
Từ sự phân tích thể chế liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chúng tôi đi đến một số giả thuyết sau:
Giả thuyết H1: Kỹ thuật đạo hàm luôn được học sinh ưu tiên khi tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Giả thuyết H2: Giả thuyết về sự tồn tại quy tắc hợp đồng sau:
R: Nếu một hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) nhưng tồn tại giá trị cực đại (hoặc giá trị cực tiểu) thì học sinh cho rằng giá trị cực đại là giá trị lớn nhất (giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất).
Như vậy, việc hoàn thành nghiên cứu chương 1 đã giúp chúng tôi trả lời được các câu hỏi CH1 mà chúng tôi đã đặt ra ngay từ ban đầu và đưa ra một số giả thuyết nghiên cứu. Từ đó thúc đẩy chúng tôi tiếp tục nghiên cứu thực hành giảng dạy của giáo viên để trả lời các câu hỏi trong CH2.
37
CHƯƠNG 2. NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
Trong chương 1, chúng tôi đã phân tích các tổ chức toán học cần dạy, tiếp theo, chúng tôi muốn nghiên cứu xem, trong thực tế dạy học, giáo viên giảng dạy các tổ chức toán học này như thế nào? Giáo viên có quan tâm đến việc đa dạng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay không? Kỹ thuật nào được giáo viên ưu tiên? Sự ưu tiên này là do thể chế tác động hay do sự nhận định cá nhân của mỗi giáo viên? Chính vì vậy, chúng tôi tiến hành dự giờ, quan sát lớp học và phân tích các tổ chức dạy học mà giáo viên thực hiện, đồng thời, việc nghiên cứu này giúp chúng tôi trả lời câu hỏi CH2 mà chúng tôi đã đặt ra.
CH2: Trong thực tế dạy học, giáo viên thiết lập các tổ chức didactic nào để tiến hành giảng dạy các tổ chức toán học liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số? Có sự khác biệt nào giữa tổ chức toán học được dạy với tổ chức toán học cần dạy ?
Đối tượng: Học sinh lớp 12 đang học theo chương trình cơ bản (sách giáo khoa cơ bản).
Hình thức: Chúng tôi tiến hành dự giờ ba giáo viên (mỗi giáo viên 2 tiết) về bài học
“Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”.Trong đó, chúng tôi quan tâm đến 2 tiết dạy của thầy Lý Tấn Tài, 2 tiết dạy này diễn ra vào tiết 4 và tiết 5 ngày 19/08/2013 tại lớp 12C2 của trường THPT Phú Quốc (huyện Phú Quốc, tỉnh Kiên Giang).
Sản phẩm thu được: Biên bản quan sát tiết học, băng ghi âm và sổ ghi chép về 2 tiết dạy của thầy Lý Tấn Tài.
Mở đầu tiết học, giáo viên thông báo kết thúc bài học cũ “Cực trị của hàm số” và giới thiệu bài mới.
1. GV: Tiết rồi chúng ta học xong bài “Cực trị của hàm số”. Hôm nay, chúng ta qua bài học mới, bài “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số”.
GV viết
Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Sau đó giáo viên tổ chức hoạt động nhóm cho học sinh thông qua phiếu câu hỏi như sau:
Bài toán 1.
Cho các hàm số y = sinx và hàm số y =−14x4+ 2x2có đồ thị như hình vẽ. Đối với mỗi hình vẽ hãy thực hiện các yêu cầu sau:
38 1) Tìm xđể 𝑓(𝑥) lớn nhất.
2) Tìm xđể 𝑓(𝑥) nhỏ nhất.
Hình 1 Hình 2
Bài toán 2. Xét các hàm số 𝑦=𝑓1(𝑥), 𝑦=𝑓2(𝑥) và 𝑦=𝑓3(𝑥) trên các đoạn được chỉ ra. Đối với mỗi hình vẽ, hãy thực hiện các yêu cầu sau:
1) Tìm các điểm cực trị của hàm số.
2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 3) Các hàm số trên có đặc điểm gì chung?
Hàm số 𝑦=𝑓1(𝑥) Hàm số 𝑦=𝑓2(𝑥) Hàm số 𝑦=𝑓3(𝑥)
GV phát phiếu câu hỏi cho từng học sinh và phân nhóm.
2. GV: Ba em một nhóm làm chung bài tập với nhau và nhớ là làm bài toán 1, còn bài toán 2 để phần sau làm.
3. GV: Bài toán 1 có hai hình thôi, thầy cho các em 5 phút để làm bài tập này.
Chúng tôi nhận thấy đây là thời điểm gặp gỡ đầu tiên của tổ chức toán học
[Τ,𝜏đ𝑡,𝜃đ𝑡,Θ]. Đồng thời ở thời điểm này kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ, môi trường công nghệ lý thuyết cũng đã xuất hiện.
4. GV: Các em đọc kỹ yêu cầu của bài.
5. GV: Lưu ý hình vẽ của các em, đồ thị có cái mũi tên có nghĩa là còn nữa đó nha.
6. GV: (Sau chừng 5 phút làm việc) Xong hết chưa ? Có hai yêu cầu đơn giản như trên thôi, thứ nhất là tìm x để f(x) lớn nhất và tìm x để f(x) nhỏ nhất.
39
7. GV: Có em nào làm xong chưa?...Giờ chúng ta làm việc nhé, chúng ta dừng lại ở đây, các em trả lời các câu hỏi mà thầy đã yêu cầu nha. Đối với hình vẽ thứ nhất, ở đây ta chỉ có cơ sở là dùng đồ thị thôi nhe. Đối với hình vẽ thứ nhất, tìm x để f(x) lớn nhất. Tìm x để cho f(x) lớn nhất. Dựa vào đâu để các em biết f(x) là lớn nhất ?
8. HS: Dựa vào đồ thị.
9. GV: À, dựa vào đồ thị, chỗ nào cao nhất là giá trị lớn nhất. Như vậy ở câu thứ nhất, ở câu 1 nhỏ các em trả lời như thế nào ?
10. GV: Ba em này đi( 3 em ngồi bàn đầu), sau khi thảo luận câu hỏi này rồi cho thầy biết sẽ trả lời câu hỏi này như thế nào ?
11. HS: Dạ thưa thầy! Nhóm tụi em là…. tìm được giá trị lớn nhất tại 𝑥=𝜋2
12. GV: À, chúng ta nhận thấy là, tại 𝑥=𝜋2 thì f(x) lớn nhất. ( Giáo viên viết 𝑥=𝜋2)
13. GV: f(x) lớn nhất là bằng mấy vậy em ? 14. HS: Dạ, f(x) = 1
(Giáo viên viết f(x) = 1)
15. GV: Tại vì chúng ta thấy f(x) = 1 là cao nhất rồi, hơn nữa là dựa vào hàm số sin ta biết ngay giá trị lớn nhất của sin là bằng mấy ? Ngoài giá trị 𝑥=𝜋2 chúng ta còn giá trị nào khác không ?
16. HS: Còn nữa.
17. GV: À, còn nữa, …nhưng thôi. Chúng ta tiếp tục, x bằng mấy thì f(x) nhỏ nhất ? 18. HS: Dạ, 𝑥=−𝜋2 thì f(x) nhỏ nhất.
(Giáo viên viết 𝑥=−𝜋2)
19. GV: Chúng ta thấy đồ thị nằm ở vị trí thấp nhất phải không ? Vậy f(x) bằng mấy ? 20. HS: Dạ, f(x) = -1.
(Giáo viên viết f(x)=1)
21. GV: Hơn nữa đồ thị hàm số sin thì chúng ta đã học rồi. Như thế này thôi.
Không giống như trình tự của sách giáo khoa là đưa ra định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trước, mở đầu tiết học giáo viên đưa ra bài toán 1 yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Một kiểu nhiệm vụ được giáo viên đưa ra là kiểu nhiệm vụ T. Giáo viên đưa ra kiểu nhiệm vụ này kết hợp với đồ thị của hàm số sẽ tạo điều kiện cho kỹ thuật “đồ thị” xuất hiện, đồng thời các yếu tố công nghệ lý thuyết cho kỹ thuật này đã được giáo viên cùng học sinh thể chế hóa ngay tại lớp giúp học sinh dễ dàng tìm được câu trả lời.
40
Tiếp tục vẫn là thời điểm làm việc với kỹ thuật “đồ thị” thông qua các hoạt động ở hàm số thứ 2, chúng tôi cho rằng mục đích là giúp học sinh hoàn thiện và củng cố thêm với kỹ thuật này.
22. GV: Chúng ta tiếp tục đến hàm số thứ 2.
(Giáo viên vẽ hình lên bảng)
23. GV: (Giáo viên yêu cầu nhóm khác) Nhóm của em sau khi thảo luận, kết luận như thế nào rồi ? 24. HS: Thưa thầy là….nhóm em là… f(x) có giá trị nhỏ nhất khi x = 0.
25. GV: Khi x = 0 ư, khi x = 0 thì hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất phải không ? 26. HS: Dạ.
27. GV: Bằng mấy vậy ? 28. HS: Bằng 0, thưa thầy.
29. HS: Giá trị lớn nhất là….ở điểm x = -2 hoặc x = 2.
30. GV: À, giá trị lớn nhất khi x = -2 hoặc x = 2. f(x) lớn nhất là bằng mấy ? 31. HS: Bằng 4.
32. GV: Kết quả của hai nhóm này như thế, các em khác có ý kiến gì không ?
33. GV: Thầy nhờ một nhóm đã thảo luận rồi cho thầy biết kết quả có giống hay không nhe?
34. GV: Ba em này, sau khi thảo luận xong các em thấy kết quả của mình có giống với bạn không ? 35. HS: (Không trả lời)
36. GV: Có nhóm nào có kết quả khác với nhóm này không ?
37. GV: Đối với hàm số sin thì chúng ta biết ngay giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Nhưng đối với hàm số bên phải (hình 2), các em hiểu như thế nào về mũi tên mà thầy ký hiệu? Tức là đồ thị còn đi nữa, dài dài xuống dưới nữa.
38. GV: (Giáo viên chỉ vào đỉnh cao nhất của đồ thị) Như vậy, chỗ này có phải là chổ cao nhất của đồ thị chưa ?
(Nghe một số học sinh nói “phải”)
39. GV: Hai mũi tên hiểu là sao ? 40. HS: Đi xuống.
41. GV: Đi xuống nữa, đi xuống nữa, như vậy thì đâu có chổ nào cao hơn chổ này. Chúng ta sẽ kết luận như thế này.
41
42. GV: Rồi bây giờ, còn chổ x = 0 thì f(x) = 0, bạn kết luận là giá trị nhỏ nhất. Các em cũng kết luận như vậy phải không ? Chúng ta xem còn chổ nào thấp hơn chổ này nữa không ? Còn không ?
43. HS: Còn