Năm 1973, Fisher Black và Myron Scholes đã công bố các kết quả nghiên cứu định giá quyền chọn của họ. Công trình của F. Black và M. Scholes đăng trong bài báo “The Pricing of Option and Corporate Liabilities” (Journal of Political Economics - 81/1973). Kết quả nghiên cứu của các ông đã tạo ra bƣớc ngoặt, khâu đột phá trong nghiên cứu, phân tích tài chính trong đó sử dụng công cụ toán mức độ cao (giải tích ngẫu nhiên, phƣơng trình đạo hàm riêng). Khi mới ra đời, lí thuyết Black - Scholes đối với giới tài chính phố Wall là quá phức tạp, bởi vậy nó đƣợc mệnh danh là “khoa học tên lửa”. Sau một thời gian, khi thị trƣờng quyền chọn chính thức ra đời và hoạt động, các nhà phân tích phố Wall đã nhận ra tính hữu ích to lớn của lý thuyết (đặc biệt là công thức định giá Black - Scholes) trong hoạt động đầu tƣ của mình.
Các giả thiết của mô hình Fisher Black và Myron Scholes đề xuất là:
Cổ phiếu S không trả cổ tức và giá của S luôn dƣơng.
Có một mức lãi suất kép cố định, là hằng số . Hay nói cách khác, tồn tại một chứng khoán không rủi ro sao cho
với mọi . Hoặc cũng có thể nói thỏa mãn phƣơng trình vi phân:
với điều kiện biên .
Cổ phiếu S thỏa mãn phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên
với đã cho; , là các hằng số; là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Ta sẽ chứng minh phƣơng trình trên có nghiệm duy nhất đƣợc cho bởi công thức:
2 . / 3 Thật vậy, xét phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên:
Để giải phƣơng trình này ta áp dụng công thức Itô cho hàm với . Ta có: . / Lấy tích phân hai vế từ đến ta đƣợc :
∫ ∫ ∫ ∫ ( )
Hay:
Ta có điều phải chứng minh.
Giá chứng khoán Black - Scholes có tính chất Markov: đến thời điểm hiện tại, giá tƣơng lai độc lập với giá quá khứ. Tuy nhiên, công thức của dải Bollinger lại phụ thuộc vào giá quá khứ. Nhìn thoáng qua dƣờng nhƣ tính chất của dải Bollinger không có ý nghĩa gì với chúng ta khi xem xét mô hình giá chứng khoán Black - Scholes. Nhƣng, ta sẽ chứng minh rằng giá chứng khoán xây dựng theo mô hình Black - Scholes thực sự mang tính chất của dải Bollinger.
