Công thức tính:
: số đơn vị thời gian để tính trung bình trƣợt. Ta có các công thức sau:
Trung bình trƣợt đơn giản bƣớc:
̅ ∑ Trung bình trƣợt có trọng số bƣớc: ̂ ∑ ∑
(Ngoài ra, còn có trung bình trƣợt hàm số mũ, trung bình trƣợt tam giác, trung bình trƣợt điều chỉnh theo khối lƣợng,… nhƣng trong phạm vi luận văn này, ta chỉ sử dụng trung bình trƣợt đơn giản và trung bình trƣợt có trọng số).
Trong phân tích kĩ thuật, giá chứng khoán đƣợc giả định gồm có hai thành phần, một thành phần là một xu thế cơ bản nào đó quyết định xu hƣớng của giá chứng khoán, thành phần còn lại đƣợc gọi là “nhiễu”, và chính thành phần “nhiễu” này làm cho giá chứng khoán biến đổi ngẫu nhiên, làm cho chúng ta khó xác định đƣợc xu hƣớng của giá chứng khoán. Vì vậy, ngƣời ta cố gắng tách các xu thế cơ bản ra khỏi những biến đổi ngẫu nhiên bằng cách làm trơn các quan sát theo thời gian, và “trung bình trƣợt” là một cách làm trơn số liệu phổ biến nhất hiện nay.
Đường màu xanh: đƣờng trung bình trƣợt đơn giản 20 bƣớc
Đường màu đỏ: đƣờng trung bình trƣợt đơn giản 50 bƣớc
Hình 7. Chỉ số VN - Index (12/03/2013 - 31/03/2014)
Khi tính toán trung bình trƣợt, một yếu tố quan trọng cần xác định là khoảng thời gian để tính toán số trung bình trƣợt đó. Các trung bình trƣợt có thể đƣợc tính trên bất kì chuỗi dữ liệu nào nhƣ giá mở cửa, giá cao nhất, thấp nhất, giá đóng cửa hoặc một chỉ số khác.
Tóm tắt chương 1: Trong chƣơng 1, tác giả đã trình bày hệ thống các kiến thức làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài, bao gồm các kiến thức mở đầu về lý thuyết xác suất: không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, quá trình ngẫu nhiên, chuyển động Brown, martingale, tích phân ngẫu nhiên Itô và phƣơng trình vi phân Itô, trong đó định lý về tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình vi phân Itô đƣợc chứng minh chi tiết. Bên cạnh đó, vì dải Bollinger là một công cụ phân tích kĩ thuật nên các kiến thức về thị trƣờng chứng khoán và phân tích kĩ thuật cũng đƣợc giới thiệu một cách khái quát.
Chƣơng 2. Dải Bollinger 2.1 Lịch sử ra đời dải Bollinger
Năm 1960, Wilfrid LeDoux đƣa ra đồ thị đƣờng song sinh (Twin - Line chart), sau đó là Chester W.Keltner với quy tắc trung bình trƣợt 10 ngày (Ten - Day moving average rule) và Richard Donchian với quy tắc bốn tuần (four - week rule), đó là những ý tƣởng đầu tiên để phát triển dải giá giao dịch.
Dải giá giao dịch gồm ba đƣờng, trong đó đƣờng trung tâm là đƣờng biểu diễn trung bình trƣợt (đơn giản hoặc có trọng số). Một ý tƣởng thƣờng đƣợc sử dụng vào nửa cuối thập niên 70 của thế kỉ 20 là việc tạo ra dải bên trên và bên dƣới bằng cách dịch chuyển đƣờng trung bình trƣợt lên và xuống với một tỉ lệ cố định. Một ví dụ đƣợc mô tả ở hình 8, trong đó dải giá giao dịch đƣợc xây dựng xung quanh đƣờng trung bình của chỉ số công nghiệp Dow Jones, với trung bình trƣợt đơn giản 21 ngày và đƣợc dịch chuyển lên/xuống 4%.
Hình 8. Dải giá giao dịch với trung bình trƣợt 21 ngày, lên/xuống 4% (Nguồn: http://www.bollingerbands.com)
Với việc dịch chuyển lên/xuống cùng một tỉ lệ phần trăm cố định của đƣờng trung bình, tất cả các dải giá giao dịch đều đối xứng, do đó nó không
thể hiện đƣợc sự biến động của giá chứng khoán. Đầu những năm 1980, Marc Chaikin kết hợp cùng Bob Brogan giới thiệu một dải băng thích hợp hơn, đƣợc gọi là dải Bomar (Bob và MARc), sử dụng đƣờng trung bình trƣợt 21 ngày và độ rộng của dải băng tính từ đƣờng trung bình trƣợt lên và xuống có sự khác nhau sao cho hình bao đó chứa 85% dữ liệu của thị trƣờng trong 250 ngày trƣớc đó. Hình 9 mô tả dải Bomar với dải trên đƣợc tăng lên 3% và dải dƣới đƣợc giảm xuống 2% so với đƣờng trung bình đơn giản 21 ngày.
Hình 9. Dải Bomar với trung bình trƣợt 21 ngày, lên 3%, xuống 2% (Nguồn: http://www.bollingerbands.com)
So với các dải giá giao dịch trƣớc đó, dải Bomar đã đƣợc điều chỉnh sao cho phù hợp với cấu trúc giá của chứng khoán và bƣớc đầu hƣớng tới việc xem xét mối quan hệ tƣơng đối của giá. Tuy nhiên, cũng nhƣ những dải giá giao dịch trƣớc đó, dải Bomar chƣa có đƣợc sự giải thích hợp lý về mặt toán học, dải băng chỉ thỏa mãn điều kiện chứa 85% dữ liệu thị trƣờng trong 250 phiên trƣớc mà chƣa thể hiện rõ đƣợc sự biến động của giá chứng khoán.
Vào cuối thập niên 70, đầu thập niên 80 của thế kỉ 20, khi có sự mua bán chứng chỉ quỹ và quyền chọn, John Bollinger đã kế thừa và phát triển tƣ tƣởng của những ngƣời đi trƣớc, tuy nhiên, khác với họ, ông tập trung vào độ biến động nhƣ một chìa khóa để dự báo tốt hơn những động thái của thị
trƣờng. Trƣớc khi chọn độ lệch tiêu chuẩn để tạo ra độ rộng của dải băng, John Bollinger đã thử dùng một số chỉ số đo độ biến động khác, nhƣng chính độ nhạy của độ lệch chuẩn với những xu thế của thị trƣờng đã khiến nó đƣợc chọn và “dải Bollinger” ra đời.
2.2 Cấu trúc dải Bollinger
Dải Bollinger gồm ba đƣờng: Đƣờng trung tâm: ̅ ∑ đ n g n hoặc ̂ ∑ ∑ ó tr ng
Đƣờng biên trên: ̅ (đơn giản) hoặc ̂ (có trọng số)
Đƣờng biên dƣới: ̅ (đơn giản) hoặc ̂ (có trọng số) trong đó: √ ∑ ̅
Hình 10. Dải Bollinger với trung bình trƣợt đơn giản 20 ngày, lên/xuống 2 lần độ lệch tiêu chuẩn
(Nguồn: http://www.bollingerbands.com)
Khoảng giữa các đƣờng trung tâm, đƣờng biên trên và đƣờng biên dƣới thể hiện độ biến động về giá, khi thị trƣờng biến động mạnh, dải băng mở rộng hơn, và khi thị trƣờng ổn định hơn thì dải băng thu hẹp lại.
John Bollinger nhấn mạnh một số đặc điểm của dải Bollinger:
Khi biến động giá suy yếu, các dải thu hẹp tối đa thƣờng dẫn đến thay đổi mạnh của giá sau đó.
Giá biến động ra khỏi các dải xác nhận xu hƣớng hiện tại vẫn tiếp tục.
Các đỉnh/đáy xác lập ngoài dải đƣợc tiếp nối bởi các đỉnh/đáy xác lập trong dải báo hiệu sự đảo chiều xu hƣớng.
Giá thƣờng dịch chuyển từ dải này sang dải kia. Điều này rất có ích trong việc dự báo giá mục tiêu.
Dựa vào đó, các nhà phân tích kĩ thuật đƣa ra một số lời khuyên cho nhà đầu tƣ, nhƣ sau:
Nên mua một chứng khoán khi giá chạm vào đƣờng biên dƣới sau một thời gian ở bên dƣới đƣờng biên đó, và nên bán khi giá chạm vào đƣờng biên trên sau một thời gian ở bên trên đƣờng biên đó (hình 11).
Hình 11. Biểu đồ dải Bollinger của giá CLG (4/2013 - 11/2013)
Khi giá chứng khoán ít biến động trong một thời gian tƣơng đối dài (độ rộng của dải băng thu hẹp trong một khoảng thời gian - đƣợc gọi là thời gian tích lũy), thì giá sẽ có xu hƣớng biến động rất mạnh về một hƣớng (tăng hoặc giảm). Hiện tƣợng này đƣợc gọi là hiện tƣợng “bung nút cổ chai” (hình 12).
Thông thƣờng ngƣời ta sử dụng giá đóng cửa để tính toán dải Bollinger, số bƣớc để tính trung bình trƣợt và số lần độ lệch chuẩn lên/xuống có thể đƣợc điều chỉnh sao cho phù hợp với mỗi chứng khoán. Việc lựa chọn n và k cũng tùy thuộc vào kinh nghiệm của từng ngƣời. Theo John Bollinger, một cấu trúc chuẩn của dải Bollinger bao gồm đƣờng trung bình trƣợt 20 bƣớc, lên/xuống 2 lần độ lệch chuẩn. Ngoài ra, nếu đầu tƣ ngắn hạn, ngƣời ta thƣờng sử dụng đƣờng trung bình trƣợt 10 bƣớc, lên/xuống 1,9 lần độ lệch chuẩn và sử dụng đƣờng trung bình trƣợt 50 bƣớc, lên/xuống 2,1 lần độ lệch chuẩn cho đầu tƣ dài hạn.
2.3 Đặc trƣng của dải Bollinger
Xét dải Bollinger với trung bình trƣợt có trọng số bƣớc, lên/xuống lần độ lệch tiêu chuẩn của trung bình trƣợt bƣớc. Ta biết rằng, khi xem xét dải giá giao dịch nói chung và dải Bollinger nói riêng, ngƣời ta quan tâm tới thời điểm giá chạm vào hai đƣờng biên của dải và phá vỡ một trong hai đƣờng biên đó. Câu trả lời sẽ có khi ta xem xét quá trình sau:
̂
Dễ thấy:
Nếu thì giá chạm vào đƣờng biên trên,
Nếu thì giá sẽ ở phía trên đƣờng biên trên,
Nếu thì giá chạm vào đƣờng biên dƣới,
Nếu thì giá ở phía dƣới đƣờng biên dƣới,
Nếu càng gần ( – ) thì giá càng gần đƣờng biên dƣới,
Nhƣ vậy, có thể nói là một đặc trƣng của dải Bollinger, vì qua nó ta có thể xác định vị trí của giá chứng khoán so với hai đƣờng biên của dải Bollinger.
2.4 Mô hình giá chứng khoán Black - Scholes và tính chất dải Bollinger
2.4.1 Mô hình giá chứng khoán Black - Scholes
Năm 1973, Fisher Black và Myron Scholes đã công bố các kết quả nghiên cứu định giá quyền chọn của họ. Công trình của F. Black và M. Scholes đăng trong bài báo “The Pricing of Option and Corporate Liabilities” (Journal of Political Economics - 81/1973). Kết quả nghiên cứu của các ông đã tạo ra bƣớc ngoặt, khâu đột phá trong nghiên cứu, phân tích tài chính trong đó sử dụng công cụ toán mức độ cao (giải tích ngẫu nhiên, phƣơng trình đạo hàm riêng). Khi mới ra đời, lí thuyết Black - Scholes đối với giới tài chính phố Wall là quá phức tạp, bởi vậy nó đƣợc mệnh danh là “khoa học tên lửa”. Sau một thời gian, khi thị trƣờng quyền chọn chính thức ra đời và hoạt động, các nhà phân tích phố Wall đã nhận ra tính hữu ích to lớn của lý thuyết (đặc biệt là công thức định giá Black - Scholes) trong hoạt động đầu tƣ của mình.
Các giả thiết của mô hình Fisher Black và Myron Scholes đề xuất là:
Cổ phiếu S không trả cổ tức và giá của S luôn dƣơng.
Có một mức lãi suất kép cố định, là hằng số . Hay nói cách khác, tồn tại một chứng khoán không rủi ro sao cho
với mọi . Hoặc cũng có thể nói thỏa mãn phƣơng trình vi phân:
với điều kiện biên .
Cổ phiếu S thỏa mãn phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên
với đã cho; , là các hằng số; là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Ta sẽ chứng minh phƣơng trình trên có nghiệm duy nhất đƣợc cho bởi công thức:
2 . / 3 Thật vậy, xét phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên:
Để giải phƣơng trình này ta áp dụng công thức Itô cho hàm với . Ta có: . / Lấy tích phân hai vế từ đến ta đƣợc :
∫ ∫ ∫ ∫ ( )
Hay:
Ta có điều phải chứng minh.
Giá chứng khoán Black - Scholes có tính chất Markov: đến thời điểm hiện tại, giá tƣơng lai độc lập với giá quá khứ. Tuy nhiên, công thức của dải Bollinger lại phụ thuộc vào giá quá khứ. Nhìn thoáng qua dƣờng nhƣ tính chất của dải Bollinger không có ý nghĩa gì với chúng ta khi xem xét mô hình giá chứng khoán Black - Scholes. Nhƣng, ta sẽ chứng minh rằng giá chứng khoán xây dựng theo mô hình Black - Scholes thực sự mang tính chất của dải Bollinger.
2.4.2 Một số quan sát thực tế
Giả sử là giá chứng khoán tại thời điểm , ta định nghĩa: Trung bình trƣợt đơn giản 12 bƣớc:
̅ ∑ Trung bình trƣợt có trọng số 12 bƣớc: ̂ ∑ Độ lệch tiêu chuẩn: √ ∑ ̅ Các đƣờng cong ̂ , ̂ lần lƣợt là dải Bollinger dƣới và dải Bollinger trên.
Theo [11], quan sát giá đóng cửa hàng ngày của các chỉ số chứng khoán tại sàn giao dịch chứng khoán Mỹ là Dow, S&P500 và NASDAQ trong 15 năm, kết quả trong bảng dƣới đây chỉ ra rằng mỗi năm có hơn 94% giá
đóng cửa hàng ngày nằm giữa dải Bollinger với đƣờng trung bình trƣợt 12 bƣớc, lên/xuống 2 lần độ lêch tiêu chuẩn đƣợc xây dựng nhƣ trên:
Year Dow(%) S&P500(%) NASDAQ(%)
1991 97,52 97,53 97,93 1992 98,35 96,28 97,52 1993 96,71 94,63 97,12 1994 96,71 97,53 94,65 1995 97,53 94,65 96,71 1996 97,12 97,95 96,71 1997 98,76 97,52 97,51 1998 98,34 97,08 98,34 1999 98,93 97,93 96,28 2000 98,77 96,72 97,95 2001 98,76 97,11 97,93 2002 98,73 94,94 98,73 2003 97,50 96,68 97,92 2004 98,34 95,38 97,93 2005 96,69 96,28 98,35
Bảng 1. Tỉ lệ của Dow, S&P500 và NASDAQ trong 15 năm
Cũng với dải Bollinger với đƣờng trung bình trƣợt 12 bƣớc, lên/xuống 2 lần độ lệch chuẩn xây dựng trên giá chứng khoán SPY trong 13 năm, kết
quả trong bảng dƣới đây cho thấy rằng mỗi năm có nhiều hơn 94% giá đóng cửa hàng ngày nằm trong dải đó (xem [12]):
Năm Tỉ lệ (%) Năm Tỉ lệ (%) 1993 95,90 2000 97,93 1994 94,21 2001 97,90 1995 97,54 2002 99,17 1996 96,30 2003 97,93 1997 98,76 2004 97,49 1998 95,85 2005 97,51 1999 97,93
Bảng 2. Tỉ lệ của giá chứng khoán SPY trong 13 năm
Cũng theo [11], khi dùng máy tính để mô phỏng theo mô hình giá chứng khoán Black - Scholes, ngƣời ta ngạc nhiên khi nhận thấy rằng giá chứng khoán Black - Scholes cũng có tính chất của dải Bollinger giống nhƣ giá chứng khoán thực tế. Ngƣời ta đã mô phỏng 1000 lần, và con số hơn 94% giá chứng khoán nằm trong dải Bollinger đã thôi thúc họ đi tìm phƣơng pháp chứng minh toán học cho thực tế này. Do giá chứng khoán là một chuỗi ngẫu nhiên không ổn định, ngƣời ta nghĩ đến việc xây dựng một chuỗi dừng để thông qua đó tính toán tỉ lệ giá chứng khoán nằm trong dải Bollinger và kiểm định các ƣớc lƣợng một cách dễ dàng hơn.
2.4.3 Tính chất dải Bollinger của giá chứng khoán Black - Scholes([11])
Bổ đề 2.1 Với , ta có:
̂ ∑ ∑ , -, ̅ ∑ , -, Và: [ ] ∑ ( 2 3 ∑ 2 3 ) Chứng minh:
Nhƣ đã chỉ ra trong phần 2.4.1, giá cổ phiếu tuân theo mô hình chuyển động Brown hình học (2.1), và phƣơng trình này có nghiệm duy nhất (2.2).
Từ đó ta có:
2 . / 3
2 . / 3 2 . / 3
2 3 Hoàn toàn tƣơng tự ta có:
2 3 Suy ra:
̂ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 3 ̅ ∑ ∑ 2 3 [ ] [ √ ∑ ( ̅ ) ] ∑ ( 2 3 ∑ 2 3 ) Ta có định lý sau: Định lý 2.1 Ta có: Quá trình , - là dừng;
Với mỗi cố định, các quá trình , -
độc lập lẫn nhau.
Chứng minh:
Để đơn giản hơn về mặt kí hiệu, ta kí hiệu nếu hai vec tơ ngẫu nhiên và có cùng phân phối. Ta cũng giả sử rằng .
Với mỗi , kí hiệu là biến ngẫu nhiên có cùng phân phối với nhƣng độc lập với { } . Khi đó, với mỗi , áp dụng bổ đề 2.1 ta có: , ̂ ̅ -
(=)
, ̂ ̅ - trong đó độc lập với , ̂ ̅ -.
Áp dụng công thức trên cho ta có: , - { ̂ } { ̂ } , - độc lập với . Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Đặt trong bổ đề 2.1 và áp dụng cho công thức , ta có thể khử nhân tử chung xuất hiện ở cả tử và mẫu. Do đó,
chỉ là hàm của:
( ) độc lập lẫn nhau khi thay đổi và ta có kết luận của định lý.
Ta có thể thấy, định lý trên vẫn đúng với một quá trình có gia số dừng độc lập . Hơn nữa, nếu thay ̂ bởi ̅ trong công thức thì quá trình , -
vẫn dừng.
Với mỗi , kí hiệu:
*| | + Từ định lí 2.1 ta suy ra:
* + *| | + *| | + Đặt:
∑
chính là tần số quan sát đƣợc của các sự kiện *| | + . Ta có:
∑ ∑ { }
Với mỗi cố định, kí hiệu:
∑ [ *| | +] { } Áp dụng bất đẳng thức ta có: