IV. Quan hệ Gĩ c Cung Dây Khoảng cách từ tâm đến dây ––
2 sđ BD ) Suy ra : ∆ ABD ~ ∆ AEB
BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giỏc ACDO nội tiếp:
a) Chứng minh tứ giỏc ACDO nội tiếp:
ã ã 0
90
CAO CDO= = (tớnh chất tiếp tuyến)
Tứ giỏc ACDO cú ã ã 0
180
CAO CDO+ = nờn nội tiếp được trong một đường trũn.
b) Tớnh theo R độ dài cỏc đoạn thẳng AH; AD:
CA = CD (tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OD =R ⇒OC⊥ AD và AH = HD
Tam giỏc ACO vuụng ở A, AH ⊥ OC nờn 2 2 2
1 1 1 AH = AO + AC = 2 ( )2 1 1 2 R + R = 2 5 4R Vậy : AH = 2 5 5 R và AD = 2AH = 4 5 5 R c) Chứng minh MHDã =450 : ã 900
AMB= (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) ⇒CMAã =900
Hai đỉnh H và M cựng nhỡn AC dưới gúc 900 nờn ACMH là tứ giỏc nội tiếp. Suy ra : ãACM =ãMHD
Tam giỏc ACB vuụng tại A, AC = AB(gt) nờn vuụng cõn . Vậy ãACB=450 Do đú : MHDã =450.
E IK K H O N M D C B A
Giáo án dạy thêm tốn 9. trần văn toản -thcs cẩm văn- cg - hD
d) Tớnh diện tớch hỡnh trũn (I) nằm ngồi đường trũn (O) theo R :
Từ CHDã =900và MHDã =450 ⇒CHMã =450mà CBAã =450(do ∆CAB vuụng cõn ở B)
Nờn CHMã =CBAã ⇒ Tứ giỏc HMBO nội tiếp . Do đú MHB MOBã =ã =900. Vậy tõm I đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MHB là trung điểm MB.
Gọi S là diờn tớch phần hỡnh trũn ( I ) ở ngồi đường trũn (O). S1 là diện tớch nửa hỡnh trũn đường kớnh MB.
S2 là diện tớch viờn phõn MDB Ta cú : S = S1 – S2 ∗ Tớnh S1 : MBằ =900⇒MB R= 2. Vậy S1 = 2 2 1 2 . 2 2 4 R πR π ữữ = ∗ Tớnh S2: S2 = SquạtMOB – S∆MOB = 2.900 0 2 360 2 R R π − = 2 2 4 2 R R π − ∗ S = 2 4 R π −( 2 2 4 2 R R π − ) = 2 2 R
Bài 15: Cho đường trũn (O) đường kớnh AB bằng 6cm . Gọi H làđiểm nằm giữa A và B sao cho AH = 1cm . Qua H vẽ đường thẳng vuụng gúc với AB , đường thẳng này cắtđường trũn (O) tại C và D .Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M .Từ Mhạ đường vuụng gúc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB ) .
a) Chứng minh MNAC là tứ giỏc nội tiếp .
b) Tớnh độ dài đoạn thẳng CH và tớnh tgãABC .
c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường trũn (O) .
d) Tiếp tuyến tại A của đường trũn (O) cắt NC ở E . Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.
BÀI GIẢI
a) Chứng minh tứ giỏc MNAC nội tiếp:
ãACB=900 (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) Suy ra MCAã =900. Tứ giỏc MNAC cú N Cà + =à 1800 nờn nội tiếp được trong một đường trũn.
b) Tớnh CH và tg ABC.
AB = 6 (cm) ; AH = 1 (cm) ⇒ HB = 5 (cm)
Tam giỏc ACB vuụng ở C, CH ⊥ AB ⇒ CH2 = AH . BH = 1 . 5 = 5 ⇒CH = 5
(cm)
* tg ABC = 5
5
CHBH = BH =
c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường trũn (O):
Ta cú : ãNCA NMA= ã (hai gúc nội tiếp cựng chắn cung AN của đường trũn ngoại tiếp
tứ giỏc MNAC).
ãNMA ADC=ã (so le trong của MN // CD) và ãADC=ãABC (cựng chắn ằAC) Nờn : ãNCA ABC=ã . Do ã 1 2 ABC = sđ ằAC ã 1 2 NCA ⇒ = sđ ằAC
Suy ra CN là tiếp tuyến của đường trũn (O). Trang: 135
H / / / ? _ α K E H M O D C B A
Giáo án dạy thêm tốn 9. trần văn toản -thcs cẩm văn- cg - hD
(xem lại bài tập 30 trang 79 SGK toỏn 9 tập 2) d) Chứng minh EB đi qua trung điểm của CH:
Gọi K là giao điểm của AE và BC; I là giao điểm của CH và EB. KE // CD (cựng ⊥ với AB) ⇒ãAKB DCB=ã (đồng vị)
ã ã
DAB DCB= ( cựng chắn cung BD)
ã ã
DAB MAN= (đối đỉnh) và MANã =MCNã (cựng chắn MNẳ ) Suy ra: ãEKC ECK=ã ⇒ ∆KEC cõn ở E. Do đú EK = EC
Mà EC = EA( tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nờn EK = EA. ∆KBE cú CI // KE ⇒ CI BI KE = BE và ∆ABEcú IH // AE ⇒ IH BI AE = BE Vậy CI IH KE = AE mà KE = AE nờn IC = IH (đpcm) Bài 16
Cho đường trũn tõm O, đường kớnh AC. Vẽ dõy BD vuụng gúc với AC tại K ( K nằm giữa A và O). Lấy điểm E trờn cung nhỏ CD (E khụng trựng C và D), AE cắt BD tại H.
a) Chứng minh tam giỏc CBD cõn và tứ giỏc CEHK nội tiếp. b) Chứng minh AD2 = AH. AE.
c) Cho BD = 24cm; BC = 20cm. Tớnh chu vi hỡnh trũn (O).
d) Cho ãBCD=α . Trờn nửa mặt phẳng bờ BC khụng chứa điểm A, vẽ tam giỏc MBC cõn tại M. Tớnh gúc MBC theo α để M thuộc đường trũn (O).
Hướng dẫn:
c) Tớnh BK = 12 cm, CK = 16 cm, dựng hệ thức lượng tớnh được CA = 25 cm ⇒ R = 12,5 cm
Từ đú tớnh được C = 25π
d) M ∈ (O) ta cần cú tứ giỏc ABMC nội tiếp.
⇔ ã ã 0 180 ABM +ACM = 0 ã 0 90 2 180 2 MBC α ⇔ + + = Từ đú tớnh được ã 1800 4 MBC= −α
Bài 17. Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB. Trờn nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường trũn kẻ tiếp tuyến Ax và dõy AC bất kỳ. Tia phõn giỏc của gúc xAC cắt nửa đường trũn tại D, cỏc tia AD và BC cắt nhau tại E.
a) Chứng minh ∆ABE cõn.
b) Đường thẳng BD cắt AC tại K, cắt tia Ax tại F . Chứng minh tứ giỏc ABEF nội tiếp.
c) Cho CABã =300. Chứng minh AK = 2CK.
Bài 18. Từ điểm A ở ngồi đường trũn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC và cỏt tuyến AMN khụng đi qua tõm O . Gọi I là trung điểm MN.
a) Chứng minh AB2 = AM. AN
b) Chứng minh tứ giỏc ABIO nội tiếp .
c) Gọi D là giao điểm của BC và AI. Chứng minh IB DB
IC = DC
Bài 19. Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O). Phõn giỏc trong của BACã
Giáo án dạy thêm tốn 9. trần văn toản -thcs cẩm văn- cg - hD
cắt BC tại D và cắt đường trũn tại M. Phõn giỏc ngồi tại Acắt đường thẳng BC tại E và cắt đường trũn tại N. Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh:
a) MN vuụng gúc với BC tại trung điểm của BC. b) ãABN =EAKã
c) AK là tiếp tuyến của đường trũn (O).
Bài 20. Cho ba điểm A, B,C nằm trờn đường thẳng xy theo thứ tự đú. Vẽ đường trũn (O) đi qua B và C. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và MN.
a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB. AC
b) Đường thẳng ME cắt đường trũn (O) tại I. Chứng minh IN // AB c) Chứng minh rằng tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OEF nằm trờn một đường thẳng cố định khi đường trũn (O) thay đổi.
Bài 21. Cho đường trũn (O) đường kớnh AB = 2R . Điểm C nằm trờn (O) mà AC > BC. Kẻ CD ⊥ AB ( D ∈ AB ) . Tiếp tuyến tại A của đường trũn (O) cắt BC tại E. Tiếp tuyến tại C của đường trũn (O) cắt AE tại M. OM cắt AC tại I . MB cắt CD tại K.
a) Chứng minh M là trung điểm AE. b) Chứng minh IK // AB.
c) Cho OM = AB . Tớnh diện tớch tam giỏc MIK theo R.
Bài 22 : Trờn cung nhỏ BC của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý . Gọi là giao điểm của AP và BC
Chứng minh BC2= AP . AQ .
a) Trờn AP lấy điểm M sao cho PM = PB . Chứng minh BP+PC= AP. b) Chứng minh PQ1 = PB PC1 + 1 .
Bài 23 : Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB = 2R và điểm C nằm ngồi nửa đường trũn . CA cắt nửa đường trũn ở M , CB cắt nửa đường trũn ở N . Gọi H là giao điểm của AN và BM .
a) Chứng minh CH ⊥ AB .
b) Gọi I là trung điểm của CH . Chứng minh MI là tiếp tuyến của nửa đường trũn (O)
c) Giả sử CH =2R . Tớnh số đo cung MNẳ .
Bài 24: Cho nửa đường trũn đường kớnh AB = 2R và dõy MN cú độ dài bằng bỏn kớnh .
(M thuộc cung AN ) . Cỏc tia AM và BN cắt nhau ở I . Cỏc dõy AN và BM cắt nhau ở K . a)Tớnh MINã và ãAKB.
b)Tỡm quỹ tớch điểm I và quỹ tớch điểm K khi dõy MN thay đổi vị trớ . c) Chứng minh I là trực tõm của tam giỏc KAB .
d)AB và IK cắt nhau tại H . Chứng minh HA.HB = HI.HK .
e)Với vị trớ nào của dõy MN thỡ tam giỏc IAB cú diện tớch lớn nhất ? Tớnh giỏ trị diện tớch lớn nhất đú theo R .
Bài 25: Trờn đường trũn (O) lấy ba điểm A,B và C . Gọi M,N và P theo thứ tự là
điểm chớnh giữa của cỏc cung AB,BC và AC. BP cắt AN tại I ,NM cắt AB tại E Trang: 137
Giáo án dạy thêm tốn 9. trần văn toản -thcs cẩm văn- cg - hD
Gọi D là giao điểm của AN và BC . Chứng minh rằng : a) ∆BNI cõn . b) AE.BN = EB.AN .
c)EI // BC d) AN AB
BN = BD
Bài 26 : Cho hai đường trũn (O) và (O1) ở ngồi nhau . Đường nối tõm OO1 cắt cỏc
đường trũn (O) và (O1) tại cỏc điểm A , B , C , D theo thứ tự trờn đường thẳng Kẻ tiếp tuyến tuyến chung ngồi EF ( E ∈ (O) , F ∈ (O1) ) . Gọi M là giao điểm
của AE và DF , N là giao điểm của EB và FC . Chứng minh rằng : a) Tứ giỏc MENF là hỡnh chữ nhật .
b) MN ⊥ AD
c)ME . MA = MF . MD