IV. Quan hệ Gĩ c Cung Dây Khoảng cách từ tâm đến dây ––
b) Vẽ CI vuụng gúc AM (I thuộc AM) Chứng minh tứ giỏc AOIC là tứ giỏc nội tiếp.
II,Đa giác nội tiếp đờng trịn (Đờng trịn ngoại tiếp) III, Hai đờng trịn cắt nhau
IV,Hai đờng trịn tiếp xúc V, Nửa đờng trịn
VI,Đờng trịn nội tiếp Đa giác VII,Khơng cĩ đờng trịn
Các bài tốn hình trong các đề thi
Bài 4 : ( 3,5 điểm)
Cho nửa đường trũn (O ; R) đường kớnh AB. Vẽ bỏn kớnh OC vuụng gúc với AB.Gọi K là điểm nằm giữa hai điểm B và C. Tia AK cắt đường trũn (O) ở M .
a) Tớnh số đo cỏc gúc : ACB , AMC.
b) Vẽ CI vuụng gúc AM ( I thuộc AM) .Chứng minh tứ giỏc AOIC là tứ giỏc nội tiếp. tiếp.
c) Chứng minh hệ thức AI.AK = AO.AB. d) Nếu K là trung điểm của CB . Tớnh tgMAB. Hỡnh vẽ phục vụ cõu a
Hỡnh vẽ phục vụ cõu b,c
0.25025 025
c) + Trong tam giỏc vuụng ACK ta cú :
AC2 = AI.AK (1) ( hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng) +Trong tam giỏc vuụng ACB ta cú:
AC2 = AO.AB (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra hệ thức cần chứng minh. d) Kẻ KH ⊥AB => KH // OC.
Nếu K là trung điểm BC thỡ KH là đường trung bỡnh của tam giỏc COB suy ra : KH = =
và OH = = Do đú: AH = R + = .
+Tam giỏc AKH vuụng tại H => tgMAB = tgKAH = = := 0.5 0.25 0.25 0.25 Trang: 87 H I M C O A B K
Giáo án dạy thêm tốn 9. trần văn toản -thcs cẩm văn- cg - hD
Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB=2R. Gọi M là một điểm bất kỳ
thuộc đường trũn (O) khỏc A và B. Cỏc tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuụng gúc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuụng gúc với AE (Q thuộc AE).
a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giỏc nội tiếp đường trũn và APMQ là hỡnh chữ nhật.
b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng.
c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh hai tam giỏc EAO và MPB đồng dạng. Suy ra K là trung điểm của MP.
d) Đặt AP = x. Tớnh MP theo R và x. Tỡm vị trớ của M trờn (O) để hỡnh chữ nhật APMQ cú diện tớch lớn nhất.
Bài 5:
a) Ta cú gúc EMOã = 90O = ãEAO
=> EAOM nội tiếp.
Tứ giỏc APMQ cú 3 gúc vuụng :
ã ã ã o
EAO APM PMQ 90= = =
=> Tứ giỏc APMQ là hỡnh chữ nhật b) Ta cú : I là giao điểm của 2 đường chộo AM và PQ của hỡnh chữ nhật APMQ nờn I là trung điểm của AM.
Mà E là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại M và tại A nờn theo định lý ta cú : O, I, E thẳng hàng.
c) Cỏch 1: hai tam giỏc AEO và MPB đồng dạng vỡ chỳng là 2 tam giỏc vuụng cú 1 gúc vuụng bằng nhau là AOE ABMã =ã , vỡ AE // BM => AO AE
BP = MP (1)
Mặt khỏc, vỡ KP//AE, nờn ta cú tỉ số KP BP
AE= AB (2)Từ (1) và (2) ta cú : AO.MP = AE.BP = KP.AB, Từ (1) và (2) ta cú : AO.MP = AE.BP = KP.AB, mà AB = 2.OA => MP = 2.KP
Vậy K là trung điểm của MP. Cỏch 2 : Ta cú EK AP
EB =AB(3) do AE // KP, mặt khỏc, ta cú EI AP
EO =AB (4) do 2 tam giỏc EOA và MAB đồng dạng
So sỏnh (3) & (4), ta cú : EK EI
EB = EO.
Theo định lý đảo Thales => KI // OB, mà I là trung điểm AM => K là trung điểm MP. d) Ta dễ dàng chứng minh được : abcd 4 a b c d 4 + + + ≤ ữ (*)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d Trang: 88 I K B O M Q E A P x I
Giáo án dạy thêm tốn 9. trần văn toản -thcs cẩm văn- cg - hD
MP = MO2−OP2 = R2− −(x R)2 = 2Rx x− 2
Ta cú: S = SAPMQ = MP.AP x 2Rx x= − 2 = (2R x)x− 3
S đạt max ⇔ (2R x)x− 3 đạt max ⇔ x.x.x(2R – x) đạt max ⇔ x x x. . (2R x) 3 3 3 − đạt max Áp dụng (*) với a = b = c = x 3 Ta cú : 4 4 4 x x x 1 x x x R . . (2R x) (2R x) 3 3 3 4 3 3 3 16 − ≤ + + + − ữ = Do đú S đạt max ⇔ x (2R x) 3 = − ⇔ x 3R 2 = . Bài 4 (3,5 điểm)
Cho hai đường trũn (C) tõm O, bỏn kớnh R và đường trũn (C') tõm O', bỏn kớnh R' (R > R') cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ tiếp tuyến chung MN của hai đường trũn (M ∈ (C), N ∈ (C')). Đường thẳng AB cắt MN tại I (B nằm giữa A và I).
a) Chứng minh rằng BMN MABã =ã b) Chứng minh rằng IN2 = IA.IB
c) Đường thẳng MA cắt đường thẳng NB tại Q; đường thẳng NA cắt đường thẳng MB tại P. Chứng minh rằng MN song song với QP.
a) Trong đường trũn tõm O:
Ta cú BMNã = MABã (cựng chắn cung BMẳ ) b) Trong đường trũn tõm O':
Ta cú IN2 = IA.IB c) Trong đường trũn tõm O:
ã ã
MAB BMN= (gúc chắn cung BMẳ ) (1) Trong đường trũn tõm O':
ã ã
BAN BNM= (gúc chắn cung BNằ ) (2)
Từ (1)&(2) => ã ã ã ã ã ã 0
MAB BAN MBN BMN BNM MBN 180+ + = + + = Nờn tứ giỏc APBQ nội tiếp. Nờn tứ giỏc APBQ nội tiếp.
=> BAP BQP QNMã =ã = ã (gúc nội tiếp và gúc chắn cung) mà QNM và BQPã ã ở vị trớ so le trong => PQ // MN Bài 4: (4.00 iểm)ð Trang: 89 I P B O O' M N Q A
Giáo án dạy thêm tốn 9. trần văn toản -thcs cẩm văn- cg - hD
Cho hình vuơng ABCD cạnh a, lấy iểm M bất kỳ trên cạnh BC (M khác B và C). Qua Bð kẻ ýờng thẳng vuơng gĩc với ýờng thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt ýờng thẳng DC tạið ð ð K.