2 Mô hình logit đa thức đối với biến đầu ra định danh và các mô hình
2.2.3Mô hình logit đa thức như mô hình lựa chọn rời rạc
Mô hình lựa chọn rời rạc dựa trên nguyên tắc là một cá thể sẽ lựa chọn giá trị của biến đầu ra sao cho cực đại hóa lợi ích thu được từ chọn lựa đó. Đơn giản, giả sử rằng có hai lựa chọn được đánh số là 1 và 2. Gọi u1 là lợi ích từ việc lựa chọn 1 và u2 là lợi ích từ việc lựa chọn 2. Một người nào đó sẽ chọn 1 nếu u1 > u2 và chọn lựa 2 khi u2 > u1, giả sử không có sự trùng lặp của các lựa chọn. Mỗi người sẽ có lí theo nghĩa lựa chọn đem lại lợi ích đạt được là lớn nhất.
Lợi ích đạt được từ sự lựa chọn giá trị m với mỗi cá thể i phân biệt bằng:
Trong đó, µim là lợi ích trung bình của lựa chọn m với mỗi i phân biệt và
εim là sai số tương ứng với lựa chọn m. Xác suất để lựa chọn 1 là xác suất để lợi ích từ lựa chọn 1 lớn hơn lợi ích từ lựa chọn 2:
Pr (yi = 1) = Pr (ui1 > ui2)
= Pr (µi1+εi1 > µi2+εi2) = Pr (εi1−εi2 > ui2−ui1) Khi có J lựa chọn, xác suất để chọn m là
P r(y = m) = P r(um > ui), i 6= m.
Ví dụ, xác suất của việc lựa chọn công việc thủ công bằng xác suất lợi ích có được từ lựa chọn đó khi lợi ích này lớn hơn tất cả lợi ích của các lựa chọn nghề nghiệp khác.
Dạng cụ thể của mô hình lựa chọn rời rạc được xác định bởi giả thiết về phân phối của sai số ε và sự xác định lợi ích trung bình µm, liên quan đến các biến được đo lường. Để đưa ra mô hình MNLM, ta cho lợi ích trung bình là tổ hợp tuyến tính của các biến độc lập:
µim = xiβm
McFadden (1973) chứng minh rằng mô hình MNLM có hiệu quả khi và chỉ khi các sai số là độc lập và có dạng phân phối giá trị cực trị loại 1 với hàm mật độ
f (ε) = exp [−ε−exp (−ε)]
Phân phối này trông giống như đường cong chuẩn nhưng lệch về bên phải, có đuôi trái mỏng hơn và có đuôi phải dày hơn. Phân phối này có mode bằng 0, trung bình là 0,58 và độ lệch chuẩn là 1,28.