- Định hướng 1: Cỏc biện phỏp được xõy dựng dựa trờn cơ sở tụn trọng nội dung chương trỡnh sỏch giỏo khoa THPT và tuõn theo cỏc nguyờn tắc dạy học.
- Định hướng 2: Cỏc biện phỏp được xõy dựng phải dựa trờn định hướng đổi mới phương phỏp dạy học hiện nay, tạo cho học sinh cú một mụi trường hoạt động tớch cực, tự giỏc, sỏng tạo.
- Định hướng 3: Cỏc biện phỏp phải mang tớnh khả thi, cú thể thực hiện được trong điều kiện thực tế của quỏ trỡnh dạy học.
- Định hướng 4: Cỏc biện phỏp phải hỗ trợ trong quỏ trỡnh tự học, tự tiếp cận, tự PH và chiếm lĩnh tri thức mới. Phải đảm bảo sự thống nhất giữa vai trũ chủ đạo của thầy với vai trũ tự giỏc, tớch cực, độc lập của học sinh.
- Định hướng 5: Cỏc biện phỏp xõy dựng phải phự hợp với hoạt động phỏt triển của HS, đảm bảo sự thống nhất giữa tớnh vừa sức và yờu cầu phỏt triển.
- Định hướng 6: Cỏc biện phỏp khụng chỉ sử dụng được trong dạy học giải bài tập toỏn mà cũn cú thể ỏp dụng cho mụn Toỏn.
- Định hướng 7: Cỏc biện phỏp đề xuất phải căn cứ vào tri thức về phương phỏp luận triết học duy vật biện chứng, thành tựu nghiờn cứu về tõm lý học, giỏo dục học và phương phỏp dạy học tớch cực.
2.3. Một số biện phỏp luyện tập cho học sinh hoạt động PH vấn đề trong dạy học giải bài tập Toỏn.
2.3.1. Biện phỏp 1: Khai thỏc một số tri thức thuộc phạm trự triết học duy vật biện chứng nhằm định hướng điều chỉnh cỏc hoạt động tỡm tũi kiến thức mới.
V.I. Lờnin nhấn mạnh phộp biện chứng và học thuyết sõu sắc nhất, khụng phiến diện về sự phỏt triển. Những người theo quan điểm biện chứng xem thế giới như một chỉnh thể thống nhất giữa cỏc sự vật, cỏc hiện tượng và cỏc quy luật cấu thành thế giới đú vừa tỏch biệt nhau vừa cú mối quan hệ qua lại thõm nhập và chuyển húa lẫn nhau.
Theo tỏc giả Nguyễn Bỏ Kim, Triết học duy vật biện chứng thể hiện cỏc quy luật chung nhất của sự phỏt triển tự nhiờn, xó hội và tư duy con người. Nú là cơ sở phương phỏp luận của mọi khoa học. Nú cũng giỳp ta hiểu được đối tượng và phương phỏp của khoa học toỏn một cỏch đỳng đắn và sõu sắc, giỳp hỡnh thành thế giới quan duy vật biện chứng của thế hệ trẻ.
Vỡ vậy trong quỏ trỡnh dạy học giải bài tập toỏn giỏo viờn phải biết khộo lộo cài đặt cỏc quy luật của phộp biện chứng duy vật cựng với những dụng ý sư phạm thỡ sẽ giỳp học sinh rốn luyện tư duy phỏt triển trớ tuệ trong học Toỏn. Trong luận văn này chỳng ta quan tõm luyện tập cho học sinh cỏc hoạt động chủ yếu sau.
2.3.1.1. Luyện tập cho học sinh xem xột cỏc đối tượng toỏn học trong mối quan hệ vận động biến đổi để phỏt hiện kiến thức mới
Trong dạy học giải bài tập toỏn người giỏo viờn cần phải quan tõm giỳp đỡ học sinh cú thúi quen xem xột cỏc đối tượng, cỏc quan hệ trong bài toỏn theo quan điểm vận động biến đổi nhằm tỡm tũi phỏt hiện kiến thức mới.
Vớ dụ 14: Mở rộng bài toỏn phẳng – kiến thức hỡnh học phẳng sang khụng gian nhằm phỏt hiện bài toỏn mới, kiến thức mới. Thụng qua khảo sỏt bài toỏn sau.
Bài toỏn: “Cho gúc xoy và A thuộc gúc đú. Hóy dựng qua A đường thẳng sao cho cắt ox tại M, oy tại N và AM = AN
Với cỏch nhỡn thứ nhất: Xem A là tõm của hỡnh bỡnh hành cú MN là đường chộo
⇒ Tạo hỡnh bỡnh hành M,N là cặp đỉnh đối diện
Nối OA và xỏc định OK = OA. Từ K kẻ đường thẳng song song với ox và oy
Kt ox = M , Ks oy = N
Với cỏchnhỡn thứ hai: Để dựng cần
dựng M
(vỡ điều kiện xỏc định bởi 2 điểm ) Để dựng M cần xỏc định 2 điều kiện
- M OC, M là ảnh của N qua đối xỳng tõm A - M oy là ảnh của oy qua phộp đối xứng tõm A Đa: 0 a K
⇒0y a oy’ P oy ( oy’ vẽ qua K )
*) Khỏi quỏt húa bài toỏn: Ta xem phộp đối xứng tõm là trường hợp của phộp vị tự tõm A tỉ số k và dẫn tới bài toỏn mới.
Bài toỏn: Cho gúc xoy và A thuộc gúc đú. Hóy dựng qua A đường
thẳng sao cho cắt ox tại M, oy tại N và = k , k > cho trước.
Để dựng ta cần xỏc định qua M ⇒ •M ox
•M là ảnh của N qua
•M là giao của ox với oy’ trong đú oy’ là ảnh của oy qua
*) Mở rộng bài toỏn trong khụng gian ta được bài toỏn sau
Bài toỏn: Cho gúc tam diện oxyz và điểm G nằm trong tam diện đú. Dựng qua G mặt phẳng ( ) sao cho ( ) cắt ox, oy, oz tại cỏc điểm A, B, C sao cho ABC nhận G là trọng tõm.
Để giải bài toỏn trong khụng gian này ta cú thể giải theo cỏc cỏch sau 1. Lợi dụng bài toỏn phẳng, chuyển qua cỏch giải khụng gian.
Dựng mặt phẳng qua (ox và G ) = (P) (P) (yOz) = Ot G
Qua G dựng đường thẳng m sao cho
m cắt ox tại A, Ot tại M, =
Dựng qua M đường thẳng sao cho cắt Oy tại B và ot tại C và M là trung điểm của BC
G là trọng tõm của ABC. 2. Sử dụng phộp vị tự
: (Oyz) (Oyz)’ (Oyz) (Oyz)’ Ox = A
•AG (yoz) = M
•Dựng qua M đường thẳng , cắt Oy, Oz tại B, C và M là trung điểm của BC.
Như vậy, trong dạy học Toỏn giỏo viờn cần nhỡn đối tượng Toỏn học theo quan điểm vận động biến đổi. Phải cho học sinh thấy rừ được sự vận động biến đổi của chỳng trong tư duy toỏn học nhằm hỡnh thành hệ thống cỏc kiến thức lý thuyết, từ đú hoàn thiện cỏc kiến thức cơ bản, nõng cao lý thuyết trong chừng mực cú thể, làm cho học sinh nhớ và khắc sõu những lý thuyết đó
học trong mối quan hệ biện chứng. Qua việc rốn luyện cỏc biện phỏp sư phạm này từ đú nhằm cho học sinh đào sõu khai thỏc cỏc kiến thức cú liờn quan như phõn tớch, tổng hợp, huy động nhiều kiến thức để tỡm tũi khai thỏc cỏc bài toỏn trong sự vận động biến đổi khụng ngừng. Tất cả những thao tỏc tư duy mà giỏo viờn vận dụng đú sẽ gúp phần củng cố, khắc sõu và mở rộng kiến thức cho học sinh. Đõy là biện phỏp để học sinh phỏt triển tư duy biện chứng, xõy dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo ở cỏc giai đoạn khỏc nhau của quỏ trỡnh dạy học Toỏn.
2.3.1.1. Luyện tập cho học sinh khai thỏc mối quan hệ biện chứng giữa cỏi chung và cỏi riờng để tỡm ra mới liờn hệ giữa cỏc yếu tố bài toỏn
Theo quan điểm của phộp biện chứng duy vật: Cỏi riờng là phạm trự dựng để chỉ một sự vật, một hiện tượng, một quỏ trỡnh riờng lẻ nhất định. Cỏi chung là phạm trự dựng để chỉ những mặt, những thuộc tớnh chung khụng những cú ở một kết cấu vật chất nhất định, mà cũn được lặp lại trong nhiều sự vật, nhiều hiện tượng hay quỏ trỡnh riờng lẻ khỏc nữa.
Giữa cỏi riờng và cỏi chung cú mối quan hệ biện chứng với nhau. Cỏi chung chỉ tồn tại trong cỏi riờng, biểu hiện thụng qua cỏi riờng; ngược lại, cỏi riờng chỉ tồn tại trong mối liờn hệ với cỏi chung, bao hàm cỏi chung; cỏi riờng là cỏi toàn bộ, phong phỳ hơn cỏi chung, cỏi chung là cỏi bộ phận nhưng sõu sắc hơn cỏi riờng.
Toỏn học cú lẽ là lĩnh vực đặc thự để xột mối quan hệ giữa cỏi chung và cỏi riờng. Sự sắp xếp chương trỡnh học Toỏn núi chung là dẫn dắt học sinh từ những trường hợp riờng rồi khỏi quỏt dần lờn những cỏi chung như từ số tự nhiờn rồi đến số nguyờn, số hữu tỉ, số vụ tỉ, từ tam giỏc vuụng rồi đến tam giỏc thường, từ tam giỏc rồi đến tứ giỏc, từ hàm lượng giỏc cỏc gúc nhọn rồi đến hàm lượng giỏc cỏc gúc suy rộng ..v.v... Khi làm bài tập, học sinh lại phải vận dụng những khỏi niệm chung vào cỏc trường hợp riờng cụ thể cho từng bài.
Trong quỏ trỡnh giải bài toỏn nếu phỏt hiện ra được cỏc quan hệ cỏi chung - cỏi riờng của bài toỏn thỡ sẽ thuận lợi rất nhiều trong quỏ trỡnh giải Toỏn. Do vậy trong quỏ trỡnh dạy học Toỏn cỏi quan trọng của người giỏo
viờn cần phải định hướng cho học sinh biết khai thỏc chuyển từ những bài toỏn xa lạ, về những bài toỏn quen thuộc. Thế nhưng khi cú kết quả bài toỏn thỡ dừng ở đú chưa đủ, vỡ Toỏn học luụn luụn là sự mở rộng của cỏi riờng đó biết đến hay một cỏi chung trước đú để nhằm khai thỏc tỡm tũi cũng cố sõu thờm kiến thức của chương trỡnh Toỏn phổ thụng.
Chẳng hạn trong Hỡnh học thỡ tam giỏc đều vừa là trường hợp riờng của hỡnh tứ diện đều vừa là trường hợp riờng của tam giỏc cõn. Xột về số chiều thỡ tam giỏc đều và tứ diện đều là mõu thuẫn, nhưng xột về tớnh chất thỡ cú tất cả cỏc cạnh bằng nhau là thống nhất.
Trong dạy học Toỏn, nếu người giỏo viờn nắm được mối quan hệ giữa cỏi chung và cỏi riờng sẽ đem lại hiệu quả cao.
Vớ dụ 15: Khi dạy phộp biến hỡnh trong SGK lớp 11 GV cú thể cho HS làm cỏc bài toỏn sau:
Bài toỏn 1: Trờn cỏc cạnh ABC, dựng vào phớa ngoài cỏc tam giỏc đồng dạng ABC1 , BCA1 , CAB1. CMR: ABC và A1B1C1 cú chung trọng tõm.
Bài toỏn 2: Trờn cỏc cạnh tứ giỏc ABCD dựng bờn ngoài 4 hỡnh vuụng trờn 4 cạnh của tứ giỏc ABCD. CMR tõm của cỏc hỡnh vuụng đú là đỉnh của một tứ giỏc cú hai đường chộo vuụng gúc.
•Để giải bài toỏn 1 ta đặt: = = = K = = = Xột phộp quay gúc tõm lần lượt là B, C, A gúc - A1a A’ ; B1a B’ ; C1a C’ = k ⇒ = k A B1 C1 B C’ B’ A’ C A1
⇒ = k Bằng hoạt động tương tự . Ta cú : = k . = k. ⇒ + + = k( + + ) = ⇒ + + = Mà + + = 3
( G, G1 lần lượt là trọng tõm ABC, A1B1C1 )
⇒ = ⇒ G G1
•Giải bài toỏn 2:
Gọi O1 , O2, O3 , O4 là tõm 4 hỡnh vuụng M, N, P, Q là trung điểm AB, CD, BC, AD.
= + + = + + (1) Xột phộp quay → = ; → → ; → → + + +
= + + = Vậy: →
→ O1O3 = O2O4 và O2O4 ⊥ O1O3
2.3.1.2. Luyện tập cho học sinh khai thỏc mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hỡnh thức để phỏt hiện cấu trỳc của bài toỏn và tỡm phương phỏp giải.
Theo Triết học Mỏc-Lờnin, “Nội dung là tổng hợp tất cả những mặt, những yếu tố, những quỏ trỡnh tạo nờn sự vật. Cũn hỡnh thức là phương thức tồn tại và phỏt triển của sự vật, là hệ thống cỏc mối liờn hệ tương đối bền vững giữa cỏc yếu tố của sự vật đú". Điều đú thấy rằng, bất kỡ một sự vật nào cũng cú hỡnh thức bề ngoài của nú, song theo quan điểm biện chứng duy vật thỡ hỡnh thức bờn trong, cơ cấu bờn trong là quan trọng nhất. Nội dung là những mặt những yếu tố những quỏ trỡnh tạo nờn sự vật. Nội dung và hỡnh thức khụng tồn tại tỏch rời nhau, nú cú sự thống nhất biện chứng với nhau. Nội dung giữ một vai trũ quyết định đối với hỡnh thức trong quỏ trỡnh vận động và phỏt triển của sự vật, và hỡnh thức cũng cú tỏc động sõu sắc tới nội dung. Theo GS. Nguyễn Cảnh Toàn “... nội dung cú thể diễn tả bởi nhiều hỡnh thức phong phỳ nhưng như vậy khụng cú nghĩa là tuỳ tiện khi suy nghĩ để tỡm ra những hỡnh thức khỏc nhau của cựng một nội dung ...”.
Để làm sỏng tỏ điều này chỳng ta cú thể xem xột vớ dụ sau
Vớ dụ 16: Cho số a2011(a + b + c) < 0 CM: b2 – 4ac > 0
Hoạt động biến đổi đối tượng, biến đổi hỡnh thức và nội dung của đối tượng để chủ thể xõm nhập vào đối tượng.
Thực hiện hoạt động biến đổi đối tượng a2011(a + b + c) < 0
Học sinh phỏt hiện ra a2010 > 0 nờn chia hai vế bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới:
a( a+ b + c ) < 0 Đặt f(x) = ax + bx + c
a.f(x) = a( a+ b + c ) < 0 ⇒ b2 – 4ac > 0 a2 + ab + ac < 0 ⇔ (a + b)2 - b2 + ac < 0 ⇔ ( a + b)2 0 > 0 Hay: b2 – 4ac > 0
Khi học sinh tư duy được thỡ tri thức tam thức bậc hai được mở rộng. Trong quỏ trỡnh dạy học Toỏn thỡ bản thõn giỏo viờn cần phải biết diễn tả một nội dung ra thành nhiều hỡnh thức khỏc nhau, qua đú hướng dẫn được học sinh biết “tư duy”, nhằm nõng cao được sức sỏng tạo cú tư tưởng tiến cụng trong khoa học, biết nhỡn nhận vấn đề trong mối quan hệ biện chứng. Thấy được rằng trong toỏn học nội dung quyết định hỡnh thức và hỡnh thức lại tỏc động trở lại nội dung, biết phõn tớch một sự kiện trong nhiều hỡnh thức để từ đú tỡm ra nội dung bản chất của nú.
Vớ dụ 17: Khi dạy học sinh bài toỏn: “Tớnh khoảng cỏch giữa 2 đường thẳng chộo nhau d1 và d2 , biết d1 đi qua M1 và cú vộc tơ chỉ phương , d2 đi qua M2 cú vộc tơ chỉ phương ”.
Khi học sinh gặp bài toỏn này ta cú thể rốn luyện cho học sinh hoạt động chuyển đổi ngụn ngữ để cú thể nhỡn nhận bài toỏn dưới nhiều gúc độ khỏc nhau và từ đú cú thể phỏt hiện nhiều phương phỏp để giải.
Trong hỡnh học tổng hợp ta cú những cỏch sau để xỏc định khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau trong khụng gian.
1. Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau là độ dài đoạn vuụng gúc chung: MN
2. Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau khụng gian cú thể xem là k/c từ đường thẳng d1 đến mặt phẳng (P) chứa đường thằng d2 và d1 (P)
3. Khoảng cỏch giữa 2 đường thẳng chộo nhau d1, d2 là khoảng cỏch giữa hai mặt phẳng (Q) và (P) song song với nhau lần lượt chứa d1 và d2
.
4. Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau trong khụng gian cú thể xem là chiều cao của hỡnh hộp ABCDA’B’C’D’ trong đú A, D d2 và C’, D’ d1
*)Từ đú cú thể định hướng học sinh chuyển cỏc phương phỏp giải đú trong hỡnh học tổng hợp thành cỏc phương phỏp trong hỡnh học tọa độ.
1. Sử dụng phương phỏp “Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau là độ dài đoạn vuụng gúc chung”.
Gọi MN là đoạn vuụng gúc chung của đoạn d1 và d2
Với M d1 Tọa độ M thỏa món phương trỡnh đường thẳng d1 Với N d2 Tọa độ N thỏa món phương trỡnh đường thẳng d2 MN d1 . = 0
MN d2 . = 0
Từ cỏc điều kiện này ta lập hệ phương trỡnh và tỡm được tọa độ MN: M ( xM , yM , zM ); N ( xN , yN , zN )
MN =
2. Sử dụng phương phỏp “Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau trong khụng gian cú thể xem là khoảng cỏch từ đường thẳng d1 đến mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 và d1 (P)”
Mặt phẳng (P) chứa (d2) và song song với (d1) nờn (P) đi qua điểm M2 và cú vộc tơ phỏp tuyến [ , ] phương trỡnh mặt phẳng về dạng Ax + By + Cz + D = 0
d(d1,d2) = d (M,(P)) =
Vớ dụ 18: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ cú 3 cạnh xuất phỏt từ một đỉnh là a,b,c. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB’ và BC’
Dựng phương phỏp tọa độ Cho C O
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hỡnh vẽ thỡ: D (a; 0; 0) C (0; 0; 0) A (a; b; 0) B (0; b; 0) C’ (0; 0; c)
Mặt phẳng (BDC’): + + = 1
bcx + acy + abz – abc = 0 d(A/(BDC’) = =
2.3.2. Biện phỏp 2: Khai thỏc quan điểm dạy học PH và GQVĐ trong dạy học giải bài tập toỏn
Dạy học PH và GQVĐ là kiểu dạy cú nột đặc trưng là giỏo viờn trực tiếp tạo ra những tỡnh huống cú vấn đề, điều khiển học sinh phỏt hiện ra vấn đề, hoạt động tự giỏc và tớch cực để GQVĐ. Thụng qua đú mà lĩnh hội tri thức, rốn luyện kỹ năng và đạt được cỏc mục đớch học tập khỏc.
Hàm ý của xu hướng dạy học giải quyết vấn đề là gợi ra vấn đề và giỳp học sinh biết tiếp cận tri thức, PH vấn đề và đi đến giải quyết vấn đề. Học Toỏn là học PH, học trỡnh bày và giải quyết cỏc bài toỏn dưới ỏnh sỏng của cỏc cụng