6. Cấu trúc khóa luận
2.5. Gia tốc và khái niệm khối lượng hiệu dụng (ra*)
2.5.1. Khái niệm m trong trường họp chung
Như ta đã biết, khi không có trường ngoài thì điện tử trong tinh thế chuyển động với vận tốc:
v ' h õk
Tại một giá trị k nhất định v(k) = const và như vậy chuyển động của điện tử là không có gia tốc.
Khi có trường ngoài tác động lên tinh thể vận tốc V bị thay đối đi với tốc độ:
~õE(ỉc) dv _ 1 d
dt h dt õk (2.42)
Hình 2.5
Các kiếu quỹ đạo chuyến động của điện tử dân trong tỉnh thế khỉ tinh thế này nằm trong từ trường: Qũy đạo kiếu lô trong (hình trái );
Qũy đạo kiếu điện tử (hình giữa); quỹ đạo mở (hình phải).
Công thức này nói lên rằng bây giờ chuyến động đã là có gia tốc:
a — —- ^ 0
ÔE
Vì — phu thuôc vào thời gian chỉ băng cách thông qua k nên ta có thê
dk
viẻt:
dv 1 d E ị k) dk
dt tỉ dk dt (2.43)
Nhưng, như ta đã biết:
dk 1 — = — F dt h a Do đó ta có: (2.44) Nếu đặt: (2.45) Thì ta có công thức: ^ = \ F a (2.46) dt m
Đây là một dạng khác của phương trình chuyển động của điện tử nằm trong tinh thể dưới tác dụng của lực ngoài. Nó cũng có dạng của định luật Newton 2, nhưng viết cho a = — , trong đó khối lương thưc m của điên tử đã được thay bằng m được gọi tên là khối lượng hiệu dụng của điện tử nằm trong tinh thể.
2.5.2. Ý nghĩa vật lý của khối lượng hiệu dụng
Đe thấy rõ ý nghĩa vật lý của khái niệm khối lượng hiệu dụng có thể xét như sau: khi có hai loại lực đồng thời tác dụng lên tinh thể, lực Fị do trường tinh thể làm sinh ra và lực Fa của trường ngoài, thì mặc dù lực Fị không làm cho chuyển động của điện tử trở nên có gia tốc ta vẫn không thể viết:
dt
— - Ĩ7 m — = r ,
dị "
Vì thực ra vẫn còn một khả năng nữa là Fị làm thay đối khối lượng m
của điện tử, do đó công thức đúng phải là:
d v _ z r , r
m — = Fa + F.
dt a '
(đây cũng là công thức 2.35 mà ta đã đưa ra ở mục 2.3 ). Neu bây giờ thực hiện khả năng nói trên, tức là tính đến tác động của Fị lên điện tử bằng cách thay m bằng một giá trị hiệu dụng m* nào đó thì ta có thể viết:
. * d v - 77
m — = F„
dt a
Với cách xét như vậy ta thấy rõ rằng khối lượng hiệu dụng của điện tử là khối lượng đã tính đến các tác động của trường tinh thể lên các tính chất của nó. Nói một cách khác khối lượng hiệu dụng là khối lượng của điện tử khi nó được coi là một “chuẩn” hạt.
2.5.3. Xét chi tiết hơn về khái niệm m*
Neu nói một cách chính xác thì trong phương trình chuyến động của điện tử nằm trong tinh thể dưới tác dụng của lực ngoài:
dv l
~Ị~ = dt m II
Ta chỉ xác định được đại lượng:
-L = irí~' = Vj (Vt £)
m
Đây là một đại lượng tenxo bậc hai được gọi tên là tenxo nghịch đảo của khối lượng hiệu dụng gồm 9 phần tử. Thật vậy:
V*(V,E) =d 2E d ÕE d ÕE d 0 Е Л d k õ k ’ d k õ k / dk õk z У d 2E õ2E ô2E dk; dkỴõkz dkzÕkx õ2E õ2E õ2E õkxõkỴ dk* õkzõk% õ2E d2E õ2E õkxõkz õkxõkz dk;
Tenxo này cũng có thể được viết dưới dạng:
* \ m ) 1 õ2E Tí1 ôk;õk ; i , j = x , ỵ , z (2.47) (2.48) Và khi đó phương trình chuyển động của điện tử có thể được viết lại dưới dạng:
(2.49)
m h
Đáng chú ý là m*~' là một tenxo đối xứng vì lý do:
d2E _ õ2E
dkfîkj õk]õkị (2.50)
Do đó giống như tất cả các tenxo đối xứng khác, bao giờ cũng có thể chọn các trục tọa độ X , y, z một cách thích họp để đưa nó về dạng chéo, tức là đưa về dạng mà ở đó: Trong đó: , _ 1 õ2E ( m = — — - ' '' h ôk (2.51) (2.52) 40
Các trục tọa độ mà nếu biểu diễn theo chúng thì m*_1 là một tenxo chéo được gọi là các trục chính hoặc các hướng chính. Sau đây ta sẽ kí hiệu chúng là X, Y, z (các chữ in ).
Neu bây giờ ta đưa vào khái niệm tenxo khối lượng hiệu dụng được định nghĩa như là tenxo nghịch đảo của tenxo nghịch đảo của khối lượng hiệu dụng:
Trong đó 1 không phải là số 1 thông thường mà là tenxo đơn vị lij =SVì,
do đó công thức để xác định ra* có thể được viết lại thành:
/ *-1 \ ' _ * ym I = m Thì một điều hết sức đáng chú ý là: (2 .5 3 ) m —--- -— j 1 õE (2 .5 4 ) h 2 õk.õk.
Thật vậy, theo định nghĩa trên ra* được xác định theo công thức:
* *—1 *—I * 1 m m = m m = 1 (2 .5 5 ) (2 .5 6 ) (2 .5 7 ) Z mâ (m*~'),j = (m*~') 3j = «!ij(">*"'). (2 .5 8 ) Kết quả là ta có: h 2 õkiôkj (2 .5 9 )
Công thức này nói lên rằng nếu ra*-1 là một tenxo chéo thì m* cũng là một tenxo chéo, hơn nữa nằm trên đường chéo của tenxo ra* là các giá trị nghịch đảo của các phần tử tương ứng trong tenxo m*~] . Tức là:
m = 1 0 ra* 1 0 m*y 0 0 m = Trong đó: 1 1 d2Ẽ m* h2 õk2 'm*x 0 0 ^ 0 m*y 0 1 ° 0 mZ; 1 (2 .6 0 ) 1 õ2E ¥ ~ õ ẽ (2 .6 1 )
Như vậy ta thấy rằng trong biểu diễn theo các hướng chính ra* cũng là một tenxo xác định, và lúc này phương trình chuyển động của điện tử có dạng:
» dỵ^ _ = x Y z
' dt (2 .6 2 )
(Chú ý chỉ là trong biểu diễn theo các hướng chính mới có thể chuyển
m* sang vế bên trái như trong các phương trình chuyển động cổ điển, còn nếu không ta phải viết m~x ở vế bên p h ả i).
Trong một số trường hợp đặc biệt có thể có m*x =nị=m*z =m*. Lúc này khối lượng hiệu dụng trở thành một đại lượng vô hướng (scalar ) giống như khối lượng thực m của điện tử và phương trình chyển động trở thành:
*dv m — = F
dt " (2 .6 3 )
Có thể có các nhận xét sau đây về khối lượng hiệu dụng của điện tử: (1). Thông qua khối lượng hiệu dụng người ta biếu diễn tác động của trường tinh thể lên điện tử. Nhờ khái niệm này tác động của trường tinh thể đã
được gộp vào thành tính chất gắn liền với điện tử và như vậy điện tử trong tinh thể trở nên một “chuẩn” hạt.
(2). Trong trường hợp chung ra* không phải là một đại lượng vô hướng như m mà là một tenxo bậc hai (nếu nói thật chính xác thì — mới là một
m
tenxo bậc hai ). Nguyên nhân của điều này là do tính chất đẳng hướng (anisotropi) của cấu trúc mạng tinh thế.
(3). Vì m* là một tenxo bậc hai, do đó nói chung hướng của gia tốc không trùng với hướng của lực ngoài. Thật vậy:
a = m ’~'Ftl -> a: = £ F,j (2 .6 4 )
j= X , Y , Z ij
Gia tốc chỉ trùng hướng với hướng của lực ngoài nếu như lực ngoài có hướng theo một trục chính nào đó. Thật vậy, khi m*'1 có dạng chéo thì lúc đó:
a = ỉ i - \ i = X , Y yZ (2.65)
m*
(4). Trên thực tế thường chỉ đo được các giá trị của ra* tại các hướng chính và do đó khi phân tích các kết quả thực nghiệm hầu như bao giờ cũng coi ra* và m*~l là các tenxo chéo. Các hướng chính này là các hướng nào? Chúng là các hướng của tinh thể, tùy thuộc vào loại tinh thể mà ta có các hướng chính khác nhau.
Từ định nghĩa của m* như nghịch đảo của đạo hàm bậc hai của E lấy theo k (đạo hàm bậc hai biếu diễn độ cong của hàm số ) thấy rõ rằng:
- K h i E ( k ) = Emax —» m* < 0(7 = X ,Y ,Z);
- K h i E ( k ) = Emin —» m* >0(i = X ,Y, Z);
Và như vậy tùy thuộc vào giá trị của k mà m* có thể thay đổi trong khoảng từ —00đến 400 (tính chất này làm cho m* khác hẳn với m). Hình 2.6 là đồ thị minh họa (vẽ cho vùng năng lượng thứ hai trong biểu diễn quy chuẩn ).
Hình 2.6
Đồ thị minh họa sự thay đối của năng lượng, vận tốc và khối lượng hiệu dụng của điện tử (trong tinh thế) khi k biến thiên
(6). Khối lượng hiệu dụng biểu diễn tác động của trường tinh thể lên điện tử nên ngược lại thông qua ra* (nếu đo được nó) có thể biết được cấu trúc vùng năng lượng trong tinh thể.
2.6. Phương pháp khối lượng hiệu dụng
2.6.1. Khai triển Taylo quanh điễm năng lượng cực trị
Xét trường hợp không có trường ngoài, khi đó năng lượng E của điện tử thường đạt cực trị ở biên vùng Brillouin và có thể ở một số vùng khác nữa. Quanh điểm ko mà E cực trị này có thể khai triển E theo chuỗi Taylor:
E { k ) = ỵ Ẽ m \ ( ± M . (2.66)
v ’ t í õk" |to nỉ
Nhưng điều kiện cực trị là:
ÕE
^ f l * = ° ( 2 -67 )
Nên khai triển này bắt đầu từ các số hạng bậc hai. Hơn nữa, nếu chỉ xét các giá trị k quanh ko tức là chỉ xét \k-k0\ nhỏ, lúc đó trong khai triển Taylor của E có thể bỏ qua các thành phần bậc ba và cao hơn, tức là khi đó ta có:
E ( k ) = E ( k 0) + ị ^ \ ta( k - k 0) = E ( k 0) + ị ỵ ^ - Ệ L \ t0(k(ì- k 0i)(k(ì- k 0J) (2 .6 8 )
Có nhận xét rằng trong công thức này các hệ số khai triến chính là các phần tử của tenxo m*~' tại điểm k():
- T ^ - L ^ í ^ l L (2.69)
õk.dk. 1(1 v J'iịu
Neu chọn các trục tọa độ là các hướng chính X,Y,Z thì tenxo m*~x sẽ có dạng chéo và khai triển Taylor trở thành:
E ( k ) = E ( k ữ) +ị ỵ Ể Ẵ i ( k i - k a f = E ( k 0) +ị ỵ ( 2 - 7 0 )
L i=x,Y,z UKi ^i=xỵ,z
Chú ý là trong công thức trên đây khai triển được thực hiện quanh cùng một điểm cực đại hoặc cực tiểu nên các m*(kữ) với i=X,Y,Z bao giờ cũng có cùng một dấu (+ hoặc -).
2.6.2. Phưong pháp khối lượng hiệu dụng
Một mặt, như ta đã biết,năng lượng E của điện tử nằm trong tinh thể là giá trị riêng của toán tử:
H = ~ — v 2 + v ( r )
2 m v '
Nhưng mặt khác, nếu xét E quanh điếm cực trị thì như ta đã thấy từ mục 2.6.1 (công thức 2.68):
l*(k0)
Tức là lúc này E là một hàm bậc hai của vecto sóng k, nhưng một sự phụ thuộc bậc hai như vậy chỉ có được khi E(k) là giá trị riêng của toán tử:
^ <2-71>
Nhưng toán tử H0 trên đây lại biểu diễn chuyển động tự do của một điện tử có khối lượng m* (k0). Do đó, kết luận lại ta có thể nói rằng nếu xét điện tử nằm trong các trạng thái k xung quanh điếm k0 mà tại đó E(k0) là cực trị thì có thể biểu diễn tác động của trường tinh thể lên điện tử bằng cách vẫn coi là điện tử chuyển động hoàn toàn tự do, nhưng không phải với khối lượng m nữa mà là m*(kữ)\
(2.72)
Trên đây một lần nữa ta đã đưa ra khái niệm khối lượng hiệu dụng, nhưng lần này là cho một trường họp riêng rất hay sử dụng trên thực tế là trường hợp điện tử nằm ở gần biên vùng năng lượng nói riêng và quanh điểm cực trị nói chung. Giá trị của việc đưa ra khái niệm khối lượng hiệu dụng cho trường hợp riêng này là ở chỗ:
- Xung quanh các điểm năng lượng cực trị chuyển động của điện tử vẫn có thể coi là hoàn toàn tự do, chỉ khác là khối lượng của nó bây giờ là ra* chứ không phải là m nữa.
- Xung quanh điểm cực trị có thế coi khối lượng hiệu dụng của điện tử là khối lượng hiệu dụng của nó tại điểm cực trị ko, và như vậy khối lượng hiệu dụng trở nên không phụ thuộc vào k như trong trường hợp chung của khái niệm khối lượng hiệu dụng nữa.
- Không cần biết trường tinh thể V(r), chỉ cần biết được m* tại điểm E
cực trị thì vẫn có thể biết được hình dạng của vùng năng lượng quanh điếm này.
- Đặc biệt khái niệm khối lượng hiệu dụng làm cho bài toán về chuyển động của điện tử có năng lượng gần năng lượng cực trị dưới tác động của trường ngoài trở nên đơn giản hơn nhiều.
Thật vậy, khi có thêm tác dụng của trường ngoài U(r) thì Hamintonian có dạng:
H ' = ~ — v 2 + v ( r ) + ơ ( r ) (2 .7 3 )
2 m w w
Neu như chỉ xét đến chuyến động của các điện tử có năng lượng gần với năng lượng cực trị thì có thể xét Hamintonian dưới dạng đơn giản hơn:
f ỉ " = ~ ^ + u ( r ) (2 .7 4 )
2 m
Việc giải bài toán về chuyển động của điện tử khi tinh thể nằm trong trường ngoài với Hamintonian có dạng H" như trên đây được gọi tên là phương pháp khối lượng hiệu dụng.
2.6.3. Dạng của E(k) quanh điểm cực trị
Nói chung có ba cách minh họa công thức E(k) xung quang điếm ko mà
E cực trị bằng đồ thị, đó là: - E(kị);i = X, Y,Z^>parabol,
- E ị k n k j Ỵ , ỉ , j - X , Y , Z { i ^ y ) —» p a r a b o lo it,
- E{kx, ky,k,^ — const —»elipsoit.
Bức tranh E phụ thuộc vào một chiều của k
Neu vẽ đồ thị phụ thuộc của E vào giá trị của kị chỉ theo một hướng chính kx (hoặc ky hay kz) nào đó thì do công thức khai triển Taylor của E lúc này có dạng:
£ (* ,) = - U = X , Y , Z (2 .7 5 )
2 m.ĩ
Nên đồ thị lúc này là một đường parabol. Các điếm đáng chú ý ở đây là: + ra* càng nhỏ thì độ cong của đường E(kj) càng lớn;
+ m* dương (ứng với đáy vùng năng lượng) thì parabol có đáy ở dưới, còn m* âm (ứng với đỉnh vùng năng lượng) thì parabol có đáy ở trên.
Bức tranh E phụ thuộc vào hai chiều của k
Đồ thị phụ thuộc của E vào hai tọa độ của k, thí dụ E(kx, ky) có dạng là một paraboloit.
Bức tranh E phụ thuộc vào cả ba chiều của k
Theo công thức khai triển theo chuỗi Taylor của E theo k (phụ thuộc vào cả ba tọa độ của k) ta thấy rõ rằng các bề mặt đẳng năng E(k)=const quanh điểm cực trị nào đó có dạng elipsoit và hình dạng của elipsoit này được quyết định bởi các giá trị của m*(i = X,Y,Z) tại điếm ko mà E cực trị. Thật vậy, phương trình dưới dạng chuẩn tắc của elipsoit có dạng:
ịkx —kQX) ^ {ky —k0y) ^ (kz —kữZ) ^ J ^2 y ^
Trong đó ax, aY, az là các độ dài của một nửa trục của elipsoit. Từ đây thấy rằng:
2 2[ E - E ( k0)]m;{k0)
n — -- --- ——--- •
h ’ (2.77)
Trong trường họp chung m*x và sự khác nhau giữa chúng càng nhiều sẽ càng làm cho elipsoit bị kéo dài theo hướng ỉ có ra* lớn nhất. Các trường họp đặc biệt:
rrìỵ = = m*z —» sphere (mặt câu) m* = ra* ^m*z —>• elipsoỉt quay.
Như vậy đáng chú ý là mặc dù ở gần biên vùng năng lượng (và nói chung ở quanh điểm năng lượng cực trị) bao giờ cũng có thể coi là điện tử chuyển động hoàn toàn tự do, nhưng ở đây có hai trường họp có thể xảy ra:
■Trong gần đúng bậc không, khi coi trường tinh thế hoàn toàn không có ảnh hưởng đến các tính chất của điện tử thì các bề mặt đẳng năng là hình cầu và được mô tả bằng công thức:
2 m
■ Trong gần đúng bậc một, khi tác động của trường tinh thể lên điện tử được thông qua khái niệm khối lượng hiệu dụng thì các bề mặt đẳng năng lúc này đã trở thành các elipsoit được mô tả bằng công thức:
E =n 2k 2
2.8. Kết luận chương 2
Trong chương hai tôi đã trình bày chuyển động của điện tử nằm trong tinh thể lý tưởng khi không có trường ngoài và khi có trường ngoài bằng cách tiếp cận bán cố điến, bao gồm các vấn đề chính:
- Vận tốc của điện tử khi không có trường ngoài. - Tác động của trường ngoài lên năng của điện tử.
- Khái niệm chuấn xung lượng của điện tử trong tinh thế. - Chuyển động của điện tử trong tinh thể khi có từ trường. - Gia tốc và khái niệm khối lượng hiệu dụng m*
- Phương pháp khối lượng hiệu dụng.
KẾT LUẬN
Trong cuốn khóa luận tốt nghiệp này chúng tôi đã trình bày các vấn đề sau: ■ Trình bày được rõ ràng cụ thể phần lý thuyết
về cấu trúc mạng tinh thế của vật rắn.
■ Trình bày về chuyển động của điện tử nằm trong tinh thể lý tưởng khi không có trường ngoài và khi có trường ngoài bằng cách tiếp cận bán cố điến, bao gồm các vấn đề chính:
- Vận tốc của điện tử khi không có trường ngoài. - Tác động của trường ngoài lên năng của điện tử.
- Khái niệm chuân xung lượng của điện tử trong tinh thê. - Chuyển động của điện tử trong tinh thế khi có từ trường. - Gia tốc và khái niệm khối lượng hiệu dụng m*