Tác động của trường ngoài lên năng lượng của điện tử

6. Cấu trúc khóa luận

2.2. Tác động của trường ngoài lên năng lượng của điện tử

Xét điện tử nằm trong tinh thể (có trường tinh thể là v ( r ) ) và chịu thêm tác dụng của trường ngoài u ( r ) , khi đó phương trình Schroedinger viết cho nó là: lại: (v) — const —> a — 0 (2.11) (2.12) Trong đó: tí^ H' = - - —V2 +v (r) + u (r) = H + u (r) (2.13) 26

Với cách kí hiệu như trên, H là Hamiltonian khi chưa có trường ngoài và giá trị riêng tương ứng với H là E.

Như ta đã biết, trong cơ học lượng tử phương trình chuyến động của một đại lượng vật lý bất kì nào đó được biểu diễn bằng toán tử A đều có dạng:

d A _ d A

dt ôt + H , A

- f 4 ( " |2I4>

Nếu như A không phụ thuộc một cách tường minh vào thời gian thì lúc đó — = 0 và ta có:

õt

d A

dt ^{H , A = ị [ H ' A - A H}h ^{(2 .1 5 )}

Áp dụng công thức này cho trường họp A là H đ ể xét sự thay đổi của H

với thời gian khi có sự tác động của trường ngoài, ta có:

d H

dt ^{H , H U H - H ư } (2 .1 6 )}

Khai triển vế bên phải của công thức trên đây, ghi nhớ rằng các toán tử tác động lên hàm sóng ta có: { u H - H ư ) ụ / ( r ) = - U ( r ) ệ - ỵ V (r) + U ( r ) V ( r ) + ệ - V ỉ [ u ( r ) W( r ) ] - V ( r ) U ( r ) lỵ ( r ) = - — ị u ( r ) V2ụ / ( r ) - V 2U ( r ) ụ / ( r ) - 2 V U V ụ / ( r ) - u ( r ) v 2ụ/(r)} 2 m = - |^ { V 2C/{r) + 2V Í/(r)v}^(r) Tóm lại: ^ - = ỉ ; { v2u^ + 2 v u ^ v ì (2-18)

Neu bây giờ chỉ xét đến các trường ơ (r)th ay đổi chậm trong không gian, lúc đó có thế bỏ qua số hạng đầu trong công thức trên vì nó nhỏ hơn nhiều so với số hạng thứ hai, ngoài ra còn nhận xét thêm rằng:

V U { r ) = - F a (2.19)

(Fa là lực của trường ngoài)

j - v = £- = v (2.20)

m m

{p là xung lượng của điện tử) Ta sẽ đi đến công thức:

LỈH

— = V.F, (2.21)

dt v '

Lấy trung bình công thức này theo các hàm sóng y/k (r) ta có: ■vế trái:

( Z 2 2 )

■

vế

{ỳ-F* ) = Ị v l { r ) ( v -Fa)'f' t (r ) d T = (v).F„ (2.2 3)

Neu giả thiết rằng Fa không phụ thuộc vào tọa độ, lúc đó có thế đưa nó ra ngoài dấu tích phân và ta có:

( V-F«) = F* ị r i ( r ) vy/ t {r ) dT = (v)-Fa (2.24) Ket luận lại, khi Fa không phụ thuộc vào tọa độ ta có:

(2-25)

dt

Đây là công thức rất quan trọng mang tính chất cổ điển, nó là một dạng của định luật bảo toàn năng lượng vì nó nói lên rằng khi có trường ngoài tác động thì năng lượng của điện tử (lấy theo mốc năng lượng khi chưa có trường

ngoài ) bị thay đổi đi và độ lớn của sự thay đổi này bằng công do lực ngoài thực hiện.

2.3. Khái nỉệm chuẩn xung lượng của điện tử trong tinh thể

Xét định luật bảo toàn năng lượng khi có trường ngoài tác động lên điện tử nằm trong tinh thế:

d E ( k)

dt = {v)-F«

-Biến đổi vế trái:

dE(k) = ỵ^Ẽ Ễ .Ẽ L =s/t E— (2.26)

dt j dkj dt dt

-Trong vế phải thay (v)bằng giá trị đã tìm được cho nó:

(v).Fa = ị v E . F a (2.27)

Ta sẽ đi đến kết quả là định luật bảo toàn năng lượng sẽ trở thành:

ỉ i Ẽ l = F (2.28)

dt

Đây là phương trình chuyển động của điện tử trong tinh thể dưới tác dụng của trường ngoài, nó có dạng của định luật Newton thứ hai:

F = — , với p = hk (2.29)

dt

Do đó có thế nói rằng đại lượng p = hk đóng vai trò xung lượng của điện tử nằm trong tinh thể ở trạng thái với vecto sóng là k, khi điện tử này chịu tác động của trường ngoài, mặc dù p = hk không phải là xung lượng thực của điện tử (xung lượng thực của điện tử được biếu diễn bằng p và p=mv ). p = hk

được gọi là “chuẩn” xung lượng của điện tử.

Khi không có trường ngoài tác động lên tinh thể, tức là khi Fa= 0 ta có:

—— - = Q^>P = hk = const (2.30)

Điều này có nghĩa là khi không có trường ngoài chuẩn xung lượng của điện tử được bảo toàn (vecto k có giá trị cố định ).

về

ặ = i [ H p - p H ) (2.31)

CÓ thể dễ dàng thấy rằng:

f ^ = - V V ( r ) - V Ư ( r ) (2.32) Do:

- W ( r ) = F; ( Fị là lực của trường tinh thể) (2.33)

-V ơ (r) = Fa (F(Ẳ là lực của trường ngoài) (2.34) Nên cuối cùng ta có:

^ = Fi + Fa (2.35)

dt

Công thức này cho ta thấy khi Fa= 0 ta có:

^ = F, (2.36)

dt

Nghĩa là xung lượng thực của điện tử ngay cả khi không có tác dụng của trường ngoài vẫn không bảo toàn mà thay đổi tuần hoàn, bởi vì lực của trường tinh thể là một lực có tính chất tuần hoàn theo tọa độ: F (r + R) = F. (r)

Việc đối với trường hợp điện tử nằm trong tinh thế thì trong phương trình chuyển động của nó xung lượng thực p được thay bằng chuẩn xung lượng p = hk có ý nghĩa vật lý sâu xa là thông qua cách thay thế này đã tính đến tác dụng của trường tinh thể lên điện tử. Chính vì vậy có thể nói rằng nếu không xét điện tử trong tinh thế một cách riêng biệt, mà gộp cả tác động của trường tinh thể lên nó thành tính chất gắn liền của nó thì khi đó nó được coi là

một “chuẩn” hạt với “chuẩn” xung lượng là p = h k . Sau này, khi xét đến khái niệm khối lượng hiệu dụng sẽ còn thấy là điện tử như một “chuấn” hạt còn được đặc trưng bởi “chuẩn” khối lượng m khác với khối lượng thực m của điện tử. Điều nói trên đây giải thích việc tại sao điện tử là một hạt thực sự mà trong vật lý chất rắn ở nhiều chỗ nó lại được coi là một “chuẩn” hạt.

2.4. Chuyển động của điện tử trong tinh thể khi có từ trường

Xét một thí dụ cụ thế về trường ngoài. Từ trường được chọn vì các quy luật chuyến động của điện tử trong tinh thể dưới tác động của nó rất đặc biệt.

Trước hết xét trường hợp đơn giản nhất là trường họp tác động của từ trường đều lên điện tử chuyển động hoàn toàn tự do. Như ta đã biết, lực F do từ trường đều H tác dụng lên một điện tích electron tự do chuyển động với tốc độ V biểu diễn dưới dạng lực Lorenzt:

Trong đó c là vận tốc của ánh sáng. Do đó phương trình chuyển động trong trường họp này có dạng:

F = - [ v x H ]

c (2.37)

dv m — =

Hình 2.2

Quỹ đạo chuyến động của điện tử tự do trong từ trường đều vẽ cho các góc khác nhau giữa vận tốc ban đầu của điện tử và hướng của từ trường:

a. Góc vuông (quỹ đạo tròn);

b. Góc không vuông (quỹ đạo dạng lò xo).

Công thức này nói lên rằng lực F luôn luôn vuông góc với V và do đó từ trường chỉ ảnh hưởng lên hướng của chuyển động (làm cong quỹ đạo chuyển động) chứ không ảnh hưởng tới giá trị tuyệt đối của vận tốc. Điều này có thể thấy rõ khi nhân vô hướng cả hai vế của công thức trên với V, khi đó ta có:

m v — = — v . \ v x H ] (2 .3 9 )

dt c

Nhưng vì vịvxH] = 0 (do có tính chất của tích vô hướng) nên ta có:

d v l 4 y 2 ) ^ 2 I I ^

V — = - — -— - = 0 —» V = const—» V = const ( 2 .4 0 )

dt 2 dt

Xét dạng của quỹ đạo của chuyển động của điện tử, ta thấy ở đây có 2 trường hợp:

- Neu H vuông góc với vận tốc ban đầu v0 của điện tích tự do thì dưới tác động của từ trường H điện tích sẽ chuyển động theo quỹ đạo tròn nằm trên mặt phang vuông góc với H với vận tốc V có giá trị tuyệt đối |v| = |v0| . Chú ý rằng khi điện tích là dương thì nó sẽ quay quanh H theo chiều kim đồng hồ,

còn khi điện tích là âm (thí dụ điện tử) thì nó sẽ quay quanh H ngược chiều kim đồng hồ. Như vậy có nhận xét rằng trong trường hợp này quỹ đạo chuyến động của điện tử là phang (nằm trên một mặt phang) và khép kín.

- Khi H không vuông góc với v0 thì quỹ đạo của điện tích sẽ có dạng của một lò xo, tức là sẽ không còn là phang và cũng không còn là khép kín nữa (hình 2.2 minh họa điều này).

Khi điện tử không phải là hoàn toàn tự do như trên nữa mà là điện tử nằm trong tinh thể thì do khi đó có thêm tác dụng của trường tinh thể lên chuyển động của điện tử nên hình dạng quỹ đạo của nó có thể sẽ khác đi và các điều kiện để có các quỹ đạo đóng hoặc mở cũng sẽ khác đi. Đe thấy rõ điều này có thể xét phương trình chuyển động của điện tử nằm trong tinh thể dưới tác động từ trường đều //, phương trình này có dạng:

^ M = /r = - - [ v x f f l (2.41)

đ t c 1 J

Đáng chú ý là trong đó: V = —V, E, do đó công thức này nói lên rằng:

h (ìk

- Một mặt — ± H

dt ( dk\

- Măt khác — 1 V mà V lai vuông góc với măt đăng năng E=const.

\ d t )

Vì vậy bản thân điểm cuối của vecto k nằm trên mặt phang vuông góc với H và quỹ đạo chuyển động của điểm cuối này được xác định bởi đường cắt của mặt phang vuông góc H này và bề mặt đẳng năng (hình 2.3)

Nhưng trên đây mới là quỹ đạo chuyển động của vecto sóng k trong không gian đảo. Còn quỹ đạo chuyển động thực sự của điện tử (trong không gian thông thường) thì như thế nào? Có thể dễ dàng thấy rằng quỹ đạo thực

dk

này cũng có dang như quỹ đao của k vì theo công thức viêt cho — trên đây ta

thấy là nếu xét trong măt phẳng vuông góc với H thì VẤthì (là các hình

clt

chiếu của V và — trên mặt phẳng này) chỉ khác nhau bởi hệ số — và quay

dt eH

đi một góc —.

Quỹ đạo chuyển

Hình 2.3

Quỹ đạo chuyến động của vecto sóng k của điện tử trong tinh thế nằm trong từ trường

Bây giờ ta sẽ xét một số chuyến động để minh họa cụ thể hơn các nhận định trên đây cho trường hợp bề mặt đẳng năng là bề mặt Fermi (tức là xét các điện tử dẫn). Đe đơn giản ta sẽ chỉ xét mạng lập phương đơn và chỉ xét vùng Brillouin thứ nhất (tuy vậy chú ý rằng các kết quả hoàn toàn có thể dùng cho các vùng Brillouin bậc cao hơn)

2.4.1. Quỹ đạo kiểu điện tử.

Quỹ đạo kiếu điện tử xảy ra khi bề mặt Fermi không cắt biên vùng Brillouin. Một trường hợp riêng của quỹ đạo kiểu này là khi thể tích được bề mặt Fermi bao quang nhỏ (ứng với k nhỏ và cũng tức là ứng với nồng độ điện

tử nhỏ), lúc này quỹ đạo của vecto k có dạng đường tròn như trên hình 2.5 (hình giữa). Ta có các nhận xét sau đây về quỹ đạo kiểu này:

- Nhận xét thứ nhất là quỹ đạo này bao quanh một vùng của không gian k đã bị các điện tử lấp đầy (do bên trong bề mặt Fermi các mức năng lượng đều đã được lấp đầy). Một quỹ đạo như vậy được gọi là quỹ đạo kiểu điện tử.

- Nhận xét thứ hai là nếu nồng độ điện tử càng tăng thì bề mặt Fermi càng bị lập phương hóa dần, không còn là hình cầu nữa và do đó quỹ đạo chuyển động của điện tử cũng trở nên bị vuông hóa dần, không còn là đường tròn nữa. Điều này cũng nói lên rằng khi nồng độ điện tử dẫn trong tinh thể càng nhỏ thì chuyển động của điện tử càng gần với chuyển động của điển tử tự co.

2.4.2. Quỹ đạo kiểu lỗ trống

Quỹ đạo kiểu lỗ trống xảy ra khi bề mặt Fermi cắt gần sát góc biên vùng Brillouin. Hình 2.4 và hình 2.5 minh họa kiểu quỹ đạo này.

a. Quỹ đạo kiểu lỗ trống trong biểu diễn quy chuẩn (hình 2.4 trái)

- Điện tử ở A sẽ chuyển động theo đường cắt của bề mặt Fermi với mặt phang vuông góc H đến điểm B

- B và B tương đương nhau (vì chúng cách nhau một vecto của mạng đảo), do đó từ B điện tử nhảy về B .

- Xét tiếp tục tương tự như trên sẽ được quỹ đạo ABB c c DD A

b. Quỹ đạo kiếu lỗ trống trong biếu diễn tuần hoàn (hình 2.4 giữa và phải)

Cách biếu diễn quỹ đạo của điện tử theo vùng quy chuẩn trên đây có vẻ quá “nhân tạo” vì có cảm giác là quỹ đạo chuyển động của điện tử bị gián đoạn tại biên vùng Brillouin.

Trên thực tế hai điểm A và A , cũng như B và B ’, c và C ’, D và D ’ cùng tương đương với một hàm sóng, do đó để thấy rõ tính liên tục của quỹ đạo

chuyển động của điện tử có thể dùng biểu diễn tuần hoàn, và đây cũng chính là giá trị của biểu diễn tuần hoàn.

y V

>

Hình 2.4

Quỹ đạo kiêu lô trông vẽ trong biêu diên quy chuân (hình trái), trong biếu diên tuần hoàn (hình giữa),

và trong biêu diên tuân hoàn rút gọn (hình phải).

Một quỹ đạo như thể hiện trên hình 2.4 được gọi là kiểu quỹ đạo lỗ trống, vì nó bao quanh một vùng không bị điện tử lấp đầy của không gian vecto k.

2.4.3. Quỹ đạo mở

Trên thực tế bề mặt Fermi là một bề mặt không gian có hình dạng phức tạp, do đó tùy thuộc vào hướng của từ trường mà ta có thể có các loại mặt cắt khác nhau, tức là có quỹ đạo chuyển động của điện tử hay lỗ trống. Ngoài ra còn có một khả năng nữa, đó là có mặt phang vuông góc với hướng của từ trường cắt bề mặt Fermi theo kiếu tạo ra đường cắt không phải là đường khép kín (như haỉ trường họp trên) mà là đường cắt mở (hình 2.5 hình phải). Trong hai trường hợp này vecto k thay đối liên tục cho đến GO trong sơ đồ biểu diễn tuần hoàn và có ý nghĩa là điện tử cũng chạy đến vô tận.

2.5. Gia tốc và khái niệm khối lượng hiệu dụng (ra*)2.5.1. Khái niệm m trong trường họp chung 2.5.1. Khái niệm m trong trường họp chung

Như ta đã biết, khi không có trường ngoài thì điện tử trong tinh thế chuyển động với vận tốc:

v ' h õk

Tại một giá trị k nhất định v(k) = const và như vậy chuyển động của điện tử là không có gia tốc.

Khi có trường ngoài tác động lên tinh thể vận tốc V bị thay đối đi với tốc độ:

~õE(ỉc) dv _ 1 d

dt h dt õk (2.42)

Hình 2.5

Các kiếu quỹ đạo chuyến động của điện tử dân trong tỉnh thế khỉ tinh thế này nằm trong từ trường: Qũy đạo kiếu lô trong (hình trái );

Qũy đạo kiếu điện tử (hình giữa); quỹ đạo mở (hình phải).

Công thức này nói lên rằng bây giờ chuyến động đã là có gia tốc:

a — —- ^ 0

ÔE

Vì — phu thuôc vào thời gian chỉ băng cách thông qua k nên ta có thê

dk

viẻt:

dv 1 d E ị k) dk

dt tỉ dk dt (2.43)

Nhưng, như ta đã biết:

dk 1 — = — F dt h a Do đó ta có: (2.44) Nếu đặt: (2.45) Thì ta có công thức: ^ = \ F a (2.46) dt m

Đây là một dạng khác của phương trình chuyển động của điện tử nằm trong tinh thể dưới tác dụng của lực ngoài. Nó cũng có dạng của định luật Newton 2, nhưng viết cho a = — , trong đó khối lương thưc m của điên tử đã được thay bằng m được gọi tên là khối lượng hiệu dụng của điện tử nằm trong tinh thể.

2.5.2. Ý nghĩa vật lý của khối lượng hiệu dụng

Đe thấy rõ ý nghĩa vật lý của khái niệm khối lượng hiệu dụng có thể xét như sau: khi có hai loại lực đồng thời tác dụng lên tinh thể, lực Fị do trường tinh thể làm sinh ra và lực Fa của trường ngoài, thì mặc dù lực Fị không làm cho chuyển động của điện tử trở nên có gia tốc ta vẫn không thể viết:

dt

— - Ĩ7 m — = r ,

dị "

Vì thực ra vẫn còn một khả năng nữa là Fị làm thay đối khối lượng m

của điện tử, do đó công thức đúng phải là:

d v _ z r , r

m — = Fa + F.

dt a '

(đây cũng là công thức 2.35 mà ta đã đưa ra ở mục 2.3 ). Neu bây giờ thực hiện khả năng nói trên, tức là tính đến tác động của Fị lên điện tử bằng cách thay m bằng một giá trị hiệu dụng m* nào đó thì ta có thể viết:

. * d v - 77

m — = F„

dt a

Với cách xét như vậy ta thấy rõ rằng khối lượng hiệu dụng của điện tử là khối lượng đã tính đến các tác động của trường tinh thể lên các tính chất của nó. Nói một cách khác khối lượng hiệu dụng là khối lượng của điện tử khi nó được coi là một “chuẩn” hạt.

2.5.3. Xét chi tiết hơn về khái niệm m*

Neu nói một cách chính xác thì trong phương trình chuyến động của điện tử nằm trong tinh thể dưới tác dụng của lực ngoài:

dv l

~Ị~ =

II

Ta chỉ xác định được đại lượng: