6. Cấu trúc khóa luận
1.5.5. Vai trò của sai lệch đối với tính chất của vật rắn
Sự có mặt của sai lệch mạng tinh thế và tương tác giữa chúng ảnh hưởng đến tính chất của vật liệu.
Để giải thích tính chất cơ học (tính dẻo, độ bền, độ cứng....) cần phải dựa vào lý thuyết độ bền, trong đó các mô hình cấu trúc vi mô được áp dụng để lý giải kết quả thực tế.
1.6. Đơn tinh thể và đa tinh thễ.
1.6.1. Đơn tỉnh thể, các đặc tính, ứng dụng
Neu tinh thể có mạng thống nhất và phương không đổi trong toàn bộ thể tích thì gọi là đơn tinh thế.
Tính chất tiêu biểu của đon tinh thể là tính dị hướng vì theo các hướng độ xếp chặt nguyên tử khác nhau.
Đon tinh thể chủ yếu sử dụng trong công nghệ bán dẫn và vật liệu kĩ thuật điện.
1.6.2. Đa tỉnh thể
Đa tinh thể gồm rất nhiều tinh thể nhỏ gọi là hạt tinh thể có cùng cấu trúc mạng nhưng định hướng khác nhau mang tính ngẫu nhiên, liên kết bằng biên giới hạt. Trong thực tế, phần lớn vật rắn tinh thể được sử dụng ở dạng đa tinh thể. Tính chất tiêu biểu của đa tinh thể là tính đẳng hướng.
cấu trúc của đa tinh thể gồm hai phần chính:
- Các tinh thế nhỏ gọi là hạt, có định hướng khác nhau.
- Biên giới hạt, cấu trúc không trật tự, liên kết hạt với nhau được coi là một dạng của sai lệch mặt.
Do đặc điếm tạo thành các hạt tinh thế không bao giờ có kích thước như nhau.
b .•
Hình 1.10
1.7. Kết luận chương 1
Trong chương một tôi đã trình bày về cấu trúc mạng tinh thế của vật rắn bao gồm các vấn đề chính:
Các dạng liên kết trong vật rắn. Mạng tinh thể.
Tính đối xứng của tinh thể. Mạng đảo.
Sai lệch mạng tinh thể. Đơn tinh thể và đa tinh thể.
Trong chương hai, tôi sẽ trình bày về tính chất chuyển động của điện tử trong tinh thể.
CHƯƠNG 2: CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐIỆN TỬ CHUYÉN ĐỘNG TRONG TINH THẺ
2.1. Vận tốc của điện tử khi không có trường ngoài
Nói chung ta có thể xem xét vấn đề vận tốc trung bình của điện tử chuyển động trong tinh thể từ hai góc độ:
-Vận tốc chuyến động của bó sóng (vận tốc nhóm ). -Vận tốc trung bình lượng tử.
Neu nhìn từ góc độ thứ nhất, trạng thái của điện tử trong tinh thế được mô tả bằng hàm Bloch, mà hàm này là hàm tuần hoàn trong toàn thể tích tinh thể, không định xứ tại bất kì vị trí một vị trí cụ thế nào, do đó có để mô tả chuyển động của điện tử như một hạt cần phải xây dựng một bó sóng với tâm tương ứng với giá trị đã cho của k rồi xét tốc độ chuyển động của bó sóng này. Nhưng như ta đã biết, vận tốc chuyển động của bó sóng chính là vận tốc nhóm, và theo định nghĩa nó bằng:
_àco 1 õE(k) t .
v‘ m gradt ( ứh » ( 2 - , }
Neu nhìn từ góc độ thứ hai ta có thế xét vấn đề như sau. Theo công thức chung về các trị trung bình trong cơ học lượng tử, ta có:
(v) = ^-(p) = ~ Ị i ỵ y ụ / kdT (2.2)
m m ĩ ì J tĩ
Trong đó - , v là toán tử xung lượng. Do trong tinh thê trạng thái của
i
điện tử được mô tả bằng hàm Bloch:
y/k(r) = uk(r)e,h'
Trong đó
uk(r + R) = uk(r)
Nên
V ự/k = V(ukeikr ) = ikựk + eikrVukV y/k = V [ukeịkr ) = ikụ/k + eìkrVuk
Và ta có:
(v) = — + ——[ u*kVukdT (2.3)
m m iJ
Trong công thức này thành phần thứ nhất trùng với vận tốc của điện tử khi nó hoàn toàn tự do và được mô tả bằng hàm sóng y/l = Aexpựkr) còn thành phần thứ hai là thành phần bố chính, tính đến sự “không tự do” của điện tử.
Bằng lý thuyết biến phân (tăng biến số к lên một lượng vô cùng nhỏ ồk)
có thế tính ra rằng:
\ulVukdT = !ỊỊịvkE ( k ) - i k (2.4)
J п
Và do đó ta có công thức cuối cùng sau đây đối với <v>:
(v) = ị v t E ( k ) ^ ị g r a d t E ( k ) ^ - (2.5)
п п n ôk
Như vậy vận tốc trung bình lượng tử và vận tốc nhóm đều được biểu diễn bằng cùng một biểu thức. Đây là kết quả tất yếu vì từ cả hai góc độ ta đều chỉ mô tả chuyển động của một hạt duy nhất, đó là điện tử.
Có các nhận xét sau đây về (v) (để đơn giản cách viết đôi khi ta sẽ bỏ dấu ngoặc chéo thể hiện giá trị trung bình đi):
(1). Theo công thức (2.5) thấy rõ rằng vận tốc chuyển động của điện tử vuông góc với mặt đẳng năng:
(v ) _L ( E = c o n s t) (2.6)
(2). Trong trường họp chung hướng của (v) và hướng của к không trùng nhau (hình 2.1 minh họa điều này). Thật vậy, vận tốc của điện tử nằm trong
trạng thái k được xác định bởi đạo hàm lấy theo k của năng lượng và do đó chỉ được xác định bởi k một cách gián tiếp. Có thể nhận xét theo một cách khác là hướng của (v) là hướng của vận tốc nhóm, còn hướng của k là hướng của vận tốc pha, do đó nói chung chúng không trùng nhau. Chỉ trong trường họp điện tử có thể coi là chuyển động tự do để sao cho:
Be mặt đẳng hướng E= const
Hình 2.1 minh họa sự không trùng nhau về hướng giữa vecto sóng k và vận tốc chuyến động Vic của điện tử trong tinh thế.
(lúc này mặt đẳng năng là hình cầu) thì ta mới có hướng của (V) và hướng của k trùng nhau, vì khi đó:
(2.7)
ky
(2.8)
(3). Nói chung mỗi điện tử trong tinh thể đều nằm trong một trạng thái
k = kị cố định nào đó (khi không có tác động của trường ngoài). Do k cố định nên năng lượng của nó (vì chỉ phụ thuộc vào k ) cũng cố định và kết quả là vận tốc chuyển động trong toàn tinh thể của điện tử cũng cố định.
k = k Ị =cons/ —» E = E ( kx) =cons/ —>(v) = d ( ^ ịk =const (2.9) Nói chung bao giờ ta cũng có v= const # 0 đối với điện tử thuộc một vùng năng lượng bất kì. Điều đó có nghĩa rằng không phải chỉ có các điện tử nằm ở lớp ngoài cùng của nguyên tử (các điện tử hóa trị ) mới có khả năng chuyến động trong tinh thế mà các điện tử thuộc các lớp bên trong cũng có khả năng này. Hoặc nói cách khác, ngay cả trong trường hợp năng lượng toàn phần của điện tử nhỏ hơn chiều cao hố thế năng của nó trong tinh thể. Vậy cơ chế chuyển động ở đây là gì? Đó chính là hiệu ứng xuyên hầm (tunnel). Tất nhiên vẫn phải ghi nhớ rằng khi điện tử nằm trong các vùng năng lượng cao hơn thì xác suất xuyên hầm của nó lớn hơn cả do đó tốc độ chuyển động của nó trong tinh thể cũng lớn hơn. Thí dụ nếu xét thời gian trung bình điện tử nằm tại một nút mạng nào đó trong tinh thể thì:
-Đối với các điện tử hóa trị thời gian này ~ 10 -15sec.
-Đối với các nguyên tử nằm trên lớp trong cùng của nguyên tử thời gian này có thể hàng giờ.
(4). Theo công thức (2.5) thấy rõ rằng khi E(k) cực trị (cực đại hoặc cực tiểu), giả sử tại giá trị k() nào đó, thì vì theo tính chất của điểm cực trị đạo hàm của E lấy theo k tại điểm này bằng 0, nên lúc này ta có (v) = 0:
M í Ọ |t = 0 ^ v ( * 0) = 0 (2.10) Điều này có nghĩa là mặc dù nói chung trong các trạng thái k khác thì
Nhưng khi điện tử nằm trong trạng thái k tương ứng với năng lượng cực trị (thường xảy ra khi k nằm ở biên của vùng Brillouin) thì (v) = 0. Nói tóm
-Khi k có giá trị sao cho E EmM hoặc £ m i n -+v = const * 0 ,
-Khi k c ó giá trị sao cho E = £ max hoặc £ min -> V = const = 0 (thường xảy ra khi k nằm ở biên vùng Brillouin ).
Các tính chất trên đây có thể được suy ra từ các suy luận vật lý đơn giản như sau: do tính chất tuần hoàn của cấu trúc mạng tinh thể (các nguyên tử được sắp xếp một cách có trật tự ) làm cho điện tử với một năng lượng ban đầu nào đó chuyển động trong tinh thể cứ như là trong chân không, không hề bị tán xạ (va chạm với các hạt khác ) và do đó năng lượng của nó cũng không thay đổi và vận tốc chuyển động của nó là cố định.chỉ tại một số giá trị năng lượng nào đó tương ứng với phản xạ Bragg thì ta mới có: V = const = 0
(5). Như ta đã thấy, dưới tác động của trường tinh thể điện tử chuyển động với vận tốc cố định, và như vậy có nghĩa là gia tốc của nó bằng 0:
Hay nói cách khác, chỉ có tác động của trường ngoài mới làm cho điện tử trong tinh thế chuyến động có gia tốc.
2.2. Tác động của trường ngoài lên năng lượng của điện tử
Xét điện tử nằm trong tinh thể (có trường tinh thể là v ( r ) ) và chịu thêm tác dụng của trường ngoài u ( r ) , khi đó phương trình Schroedinger viết cho nó là: lại: (v) — const —> a — 0 (2.11) (2.12) Trong đó: tí^ H' = - - —V2 +v (r) + u (r) = H + u (r) (2.13) 26
Với cách kí hiệu như trên, H là Hamiltonian khi chưa có trường ngoài và giá trị riêng tương ứng với H là E.
Như ta đã biết, trong cơ học lượng tử phương trình chuyến động của một đại lượng vật lý bất kì nào đó được biểu diễn bằng toán tử A đều có dạng:
d A _ d A
dt ôt + H , A
- f 4 ( " |2I4>
Nếu như A không phụ thuộc một cách tường minh vào thời gian thì lúc đó — = 0 và ta có:
õt
d A
dt H , A = ị [ H ' A - A Hh (2 .1 5 )
Áp dụng công thức này cho trường họp A là H đ ể xét sự thay đổi của H
với thời gian khi có sự tác động của trường ngoài, ta có:
d H
dt H , H U H - H ư } (2 .1 6 )
Khai triển vế bên phải của công thức trên đây, ghi nhớ rằng các toán tử tác động lên hàm sóng ta có: { u H - H ư ) ụ / ( r ) = - U ( r ) ệ - ỵ V (r) + U ( r ) V ( r ) + ệ - V ỉ [ u ( r ) W( r ) ] - V ( r ) U ( r ) lỵ ( r ) = - — ị u ( r ) V2ụ / ( r ) - V 2U ( r ) ụ / ( r ) - 2 V U V ụ / ( r ) - u ( r ) v 2ụ/(r)} 2 m = - |^ { V 2C/{r) + 2V Í/(r)v}^(r) Tóm lại: ^ - = ỉ ; { v2u^ + 2 v u ^ v ì (2-18)
Neu bây giờ chỉ xét đến các trường ơ (r)th ay đổi chậm trong không gian, lúc đó có thế bỏ qua số hạng đầu trong công thức trên vì nó nhỏ hơn nhiều so với số hạng thứ hai, ngoài ra còn nhận xét thêm rằng:
V U { r ) = - F a (2.19)
(Fa là lực của trường ngoài)
j - v = £- = v (2.20)
m m
{p là xung lượng của điện tử) Ta sẽ đi đến công thức:
LỈH
— = V.F, (2.21)
dt v '
Lấy trung bình công thức này theo các hàm sóng y/k (r) ta có: ■vế trái:
( Z 2 2 )
■ vế phải:
{ỳ-F* ) = Ị v l { r ) ( v -Fa)'f' t (r ) d T = (v).F„ (2.2 3)
Neu giả thiết rằng Fa không phụ thuộc vào tọa độ, lúc đó có thế đưa nó ra ngoài dấu tích phân và ta có:
( V-F«) = F* ị r i ( r ) vy/ t {r ) dT = (v)-Fa (2.24) Ket luận lại, khi Fa không phụ thuộc vào tọa độ ta có:
(2-25)
dt
Đây là công thức rất quan trọng mang tính chất cổ điển, nó là một dạng của định luật bảo toàn năng lượng vì nó nói lên rằng khi có trường ngoài tác động thì năng lượng của điện tử (lấy theo mốc năng lượng khi chưa có trường
ngoài ) bị thay đổi đi và độ lớn của sự thay đổi này bằng công do lực ngoài thực hiện.
2.3. Khái nỉệm chuẩn xung lượng của điện tử trong tinh thể
Xét định luật bảo toàn năng lượng khi có trường ngoài tác động lên điện tử nằm trong tinh thế:
d E ( k)
dt = {v)-F«
-Biến đổi vế trái:
dE(k) = ỵ^Ẽ Ễ .Ẽ L =s/t E— (2.26)
dt j dkj dt dt
-Trong vế phải thay (v)bằng giá trị đã tìm được cho nó:
(v).Fa = ị v E . F a (2.27)
Ta sẽ đi đến kết quả là định luật bảo toàn năng lượng sẽ trở thành:
ỉ i Ẽ l = F (2.28)
dt
Đây là phương trình chuyển động của điện tử trong tinh thể dưới tác dụng của trường ngoài, nó có dạng của định luật Newton thứ hai:
F = — , với p = hk (2.29)
dt
Do đó có thế nói rằng đại lượng p = hk đóng vai trò xung lượng của điện tử nằm trong tinh thể ở trạng thái với vecto sóng là k, khi điện tử này chịu tác động của trường ngoài, mặc dù p = hk không phải là xung lượng thực của điện tử (xung lượng thực của điện tử được biếu diễn bằng p và p=mv ). p = hk
được gọi là “chuẩn” xung lượng của điện tử.
Khi không có trường ngoài tác động lên tinh thể, tức là khi Fa= 0 ta có:
—— - = Q^>P = hk = const (2.30)
Điều này có nghĩa là khi không có trường ngoài chuẩn xung lượng của điện tử được bảo toàn (vecto k có giá trị cố định ).
về xung lượng thực p của điện tử trong tinh thể, bằng cách tính theo công thức:
ặ = i [ H p - p H ) (2.31)
CÓ thể dễ dàng thấy rằng:
f ^ = - V V ( r ) - V Ư ( r ) (2.32) Do:
- W ( r ) = F; ( Fị là lực của trường tinh thể) (2.33)
-V ơ (r) = Fa (F(Ẳ là lực của trường ngoài) (2.34) Nên cuối cùng ta có:
^ = Fi + Fa (2.35)
dt
Công thức này cho ta thấy khi Fa= 0 ta có:
^ = F, (2.36)
dt
Nghĩa là xung lượng thực của điện tử ngay cả khi không có tác dụng của trường ngoài vẫn không bảo toàn mà thay đổi tuần hoàn, bởi vì lực của trường tinh thể là một lực có tính chất tuần hoàn theo tọa độ: F (r + R) = F. (r)
Việc đối với trường hợp điện tử nằm trong tinh thế thì trong phương trình chuyển động của nó xung lượng thực p được thay bằng chuẩn xung lượng p = hk có ý nghĩa vật lý sâu xa là thông qua cách thay thế này đã tính đến tác dụng của trường tinh thể lên điện tử. Chính vì vậy có thể nói rằng nếu không xét điện tử trong tinh thế một cách riêng biệt, mà gộp cả tác động của trường tinh thể lên nó thành tính chất gắn liền của nó thì khi đó nó được coi là
một “chuẩn” hạt với “chuẩn” xung lượng là p = h k . Sau này, khi xét đến khái niệm khối lượng hiệu dụng sẽ còn thấy là điện tử như một “chuấn” hạt còn được đặc trưng bởi “chuẩn” khối lượng m khác với khối lượng thực m của điện tử. Điều nói trên đây giải thích việc tại sao điện tử là một hạt thực sự mà trong vật lý chất rắn ở nhiều chỗ nó lại được coi là một “chuẩn” hạt.
2.4. Chuyển động của điện tử trong tinh thể khi có từ trường
Xét một thí dụ cụ thế về trường ngoài. Từ trường được chọn vì các quy luật chuyến động của điện tử trong tinh thể dưới tác động của nó rất đặc biệt.
Trước hết xét trường hợp đơn giản nhất là trường họp tác động của từ trường đều lên điện tử chuyển động hoàn toàn tự do. Như ta đã biết, lực F do từ trường đều H tác dụng lên một điện tích electron tự do chuyển động với tốc độ V biểu diễn dưới dạng lực Lorenzt:
Trong đó c là vận tốc của ánh sáng. Do đó phương trình chuyển động trong trường họp này có dạng:
F = - [ v x H ]
c (2.37)
dv m — =
Hình 2.2
Quỹ đạo chuyến động của điện tử tự do trong từ trường đều vẽ cho các góc khác nhau giữa vận tốc ban đầu của điện tử và hướng của từ trường:
a. Góc vuông (quỹ đạo tròn);
b. Góc không vuông (quỹ đạo dạng lò xo).
Công thức này nói lên rằng lực F luôn luôn vuông góc với V và do đó từ trường chỉ ảnh hưởng lên hướng của chuyển động (làm cong quỹ đạo chuyển động) chứ không ảnh hưởng tới giá trị tuyệt đối của vận tốc. Điều này có thể thấy rõ khi nhân vô hướng cả hai vế của công thức trên với V, khi đó ta có:
m v — = — v . \ v x H ] (2 .3 9 )
dt c
Nhưng vì vịvxH] = 0 (do có tính chất của tích vô hướng) nên ta có:
d v l 4 y 2 ) ^ 2 I I ^
V — = - — -— - = 0 —» V = const—» V = const ( 2 .4 0 )
dt 2 dt
Xét dạng của quỹ đạo của chuyển động của điện tử, ta thấy ở đây có 2 trường hợp:
- Neu H vuông góc với vận tốc ban đầu v0 của điện tích tự do thì dưới tác động của từ trường H điện tích sẽ chuyển động theo quỹ đạo tròn nằm trên mặt phang vuông góc với H với vận tốc V có giá trị tuyệt đối |v| = |v0| . Chú ý rằng khi điện tích là dương thì nó sẽ quay quanh H theo chiều kim đồng hồ,
còn khi điện tích là âm (thí dụ điện tử) thì nó sẽ quay quanh H ngược chiều kim đồng hồ. Như vậy có nhận xét rằng trong trường hợp này quỹ đạo chuyến động của điện tử là phang (nằm trên một mặt phang) và khép kín.
- Khi H không vuông góc với v0 thì quỹ đạo của điện tích sẽ có dạng của một lò xo, tức là sẽ không còn là phang và cũng không còn là khép kín nữa (hình 2.2 minh họa điều này).
Khi điện tử không phải là hoàn toàn tự do như trên nữa mà là điện tử nằm trong tinh thể thì do khi đó có thêm tác dụng của trường tinh thể lên chuyển động của điện tử nên hình dạng quỹ đạo của nó có thể sẽ khác đi và các điều kiện để có các quỹ đạo đóng hoặc mở cũng sẽ khác đi. Đe thấy rõ điều này có thể xét phương trình chuyển động của điện tử nằm trong tinh thể dưới tác động từ trường đều //, phương trình này có dạng:
^ M = /r = - - [ v x f f l (2.41)