Chúng tôi thống kê những tổ chức toán học liên quan đến bài toán dựng hình trong không gian có trong SGK và SBT hình học 11 – Nâng cao như sau:
Kiểu nhiệm vụ T*
diem: “Dựng một điểm thỏa mãn những điều kiện cho trước” có những kiểu nhiệm vụ con sau:
Kiểu nhiệm vụ Tdiem: “Tìm điểm cách đều các đỉnh của tứ diện ABCD”. Kỹ thuật τdiem:
− Dựng đường thẳng ∆ là trục của tam giác ABC (một mặt nào đó của tứ diện) và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC.
− Dựng mặt phẳng trung trực ( )α của một cạnh (không là cạnh của tam giác ABC) . Giao điểm của ∆ và ( )α là điểm cần tìm.
Công nghệ θdiem:
− Trục của tam giác là tập hợp các điểm trong không gian cách đều các đỉnh của tam giác.
− Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm trong không gian cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Ví dụ: (về Tdiem, τdiem) [18, tr.102] (SGK)
Cho tứ diện ABCD. Tìm điểm Ocách đều bốn đỉnh của tứ diện SGV đề nghị lời giải [19, tr.98]
Áp dụng kết quả của hoạt động 3, §34
thì tập các điểm cách đều ba đỉnh A, B, C
của tam giác ABC là đường thẳng ∆ vuông góc với mp ABC( )tại tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi ( )P là mặt phẳng trung trực của DA thì
( )P cắt ∆ tại điểm O, đó là điểm cách đều bốn đỉnh A, B, C, D.
( )
mp P phải cắt ∆ vì nếu ∆( )P hoặc ∆ ⊂( )P thì từ DA⊥( )P suy ra DA⊥ ∆, khi ấy DA nằm trong mp ABC( ), mâu thuẫn với giả thiết A, B, C, D không đồng phẳng.
Đối với kiểu nhiệm vụ này, tác giả chỉ trình bày cách dựng và chứng minh các phép dựng thực hiện được.
Kiểu nhiệm vụ Tgiaodiem: “Dựng giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng”.
Kỹ thuật 1
giaodiem
τ :
− Tìm d⊂( )P sao cho a cắt d. Gọi I = ∩a d. Thì I = ∩a ( )P . Công nghệ 1 giaodiem θ : − d⊂( )P ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈( M d M ( ))P . Kỹ thuật 2 giaodiem τ : − Tìm một mặt phẳng (Q) chứa a. Tìm d =( )Q ∩( )P .
4Hoạt động 3, §3 chứng minh được đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC) thì sẽ cách đều 3 điểm A, B, C.
P O1 A B C D O
− Nếu I = ∩a d. Thì I = ∩a ( )P . Công nghệ 2
giaodiem
θ :
− Định nghĩa giao tuyến.
− d⊂( )P ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈( M d M ( ))P .
Ví dụ: (về Tgiaodiem,τ1giaodiem,τ2giaodiem) [18, tr.55] (SGK)
Cho tứ diện ABCDvà ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định giao điểm S của mp(PQR) với cạnh AD nếu:
a) PR AC . b) PR cắt AC.
Lời giải trong SGV [19, tr.51] a) Trường hợp PR AC .
Từ Q ta vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD tại S. Khi đó QS PR nên bốn điểm P, Q, R, Sđồng phẳng. Vậy S = mp(PQR)∩AD (hình 2.1).
b) Trường hợp PR cắt AC tại I.
Khi đó IQ=(PQR)∩(ACD). Đường thẳng IQ cắt AD tại S Vậy S = mp(PQR)∩AD (hình 2.2).
Quan sát các bài tập trong SGK và SBT chúng tôi thấy: Hình 2.2 S I B C D A P R Q Hình 2.1 S P B C D A R Q
Tác giả trình bày việc tìm giao điểm của đường thẳng a và mp(P) bằng cách “nối ”, “kéo dài” đoạn thẳng trên hình biểu diễn. Hoặc tìm một mặt phẳng ( )Q
chứa đường thẳng a, sau đó tìm giao tuyến của mp Q( ) và mặt phẳng (P). Giao tuyến này sẽ cắt đường thẳng a tại một điểm và điểm ấy chính là điểm cần tìm.
Bài toán luôn gắn khối hình học, đường thẳng và mặt phẳng cần tìm giao điểm được cho một cách cụ thể. Chẳng hạn, đường thẳng được cho đi qua hai điểm hoặc đi qua một điểm và phương của nó, mặt phẳng thường được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng. Chính điều này tạo điều kiện thuận lợi cho phép học sinh có thể sử dụng phương pháp “thử sai” để tìm giao điểm.
Từ những điều trên giúp chúng tôi trả lời câu hỏi ở phần lý thuyết đã đặt ra là đường thẳng d5được tìm bằng cách “mò mẫm” theo phương pháp “thử sai”.
Kiểu nhiệm vụ T2diem : “Dựng hai điểm thỏa mãn những điều kiện cho trước.
Kỹ thuậtτ2diem :
− Giả sử dựng được hai điểm thỏa yêu cầu bài toán.
− Tìm mối quan hệ của hai điểm cần dựng với các đối tượng còn lại. − Chỉ ra một trong hai điểm (chẳng hạn điểm A) cấn dựng là giao của
hai đường thẳng a và b(trong đó a và b có thể dựng được). − Dựng điểm A= ∩a b.
− Dựng điểm còn lại dựa trên mối quan hệ của hai điểm cần dựng.
Công nghệ Θ2diem : Các tính chất của hình học không gian. Ví dụ (về T2diem,τ2diem) [18, tr.75] (SGK)
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Tìm điểm I trên đường chéo B1D và điểm J trên đường chéo AC sao cho IJ BC1
5 dlà đường thẳng nằm trong mp(P) mà cắt đường thẳng a.
SGV đề nghị lời giải [19, tr. 67 – 68]
Giả sử ta tìm được I∈B D J1 , ∈AC
sao cho IJ BC1. Xét phép chiếu song song theo phương BC1 lên
mp(ABCD). Khi đó hình chiếu của các điểm D, I, B1 lần lượt là D, J, B’1. Do D, I, B1 thẳng hàng nên D, J, B’1 thẳng hàng. Vậy ' 1 J =B D∩AC. Từ đó ta có thể tìm J như sau: • Dựng ' 1
B là hình chiếu của B1 qua phép chiếu song song ở trên ( ' 1 1 1
BC B B là hình bình hành).
• Dựng Jlà giao điểm của ' 1
B Dvà AC. • Trong mp( '
1 1
B B D), kẻ JI song song với ' 1 1
B B cắt B1D tại I. Rõ ràng I và J thỏa mãn điều kiện bài toán.
Kiểu nhiệm vụ này đòi hỏi phải có bước phân tích để tìm được đặc điểm của đối tượng cần dựng và điều kiện tồn tại của đối tượng cần dựng. Đồng thời kiểu nhiệm vụ này luôn gắn liền với khối hình học nên đối tượng cần dựng có thể xác định được trên hình biểu diễn.
Ở ví dụ trên tác giả cũng có trình bày bước phân tích. Tuy vậy, vẫn có trường hợp thể chế không trình bày bước phân tích mà chỉ nêu cách dựng. Chẳng hạn, ví dụ sau:[4, tr.55] (SBT)
Cho tứ diện ABCD đều có cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD
và AB.
a) Hãy xác định điểm I∈AC, J∈DN sao cho IJ BM . Giải. [4, tr.83] B' 1 I J C1 D1 A1 C B A D B1
Trong mp BCD( ), từ D kẻ đường thẳng song song với BM cắt CB tại K. Nối K với N
cắt AC tại I. Trong mp IKD( ), từ I kẻ đường thẳng song song với DK cắt đường thẳng DN tại J. Khi đó theo cách dựng ta có IJ BM .
Ở ví dụ này, chính vì không có bước phân tích đã làm cho cách dựng trở nên “bí ẩn”, không lý giải được cách dựng xuất phát từ đâu ? Và dựa trên cơ sở nào để nghĩ được cách dựng như vậy? Học sinh khi gặp bài toán dựng hình khác thì sẽ làm như thế nào để tìm ra được cách dựng?
Như vậy, việc vắng mặt bước phân tích làm cho lời giải trở nên khó hiểu và không rèn luyện cho học sinh kỹ năng, thao tác và phương pháp thực hiện bước phân tích để tìm ra cách dựng cho bài toán dựng hình khác.
Kiểu nhiệm vụ T*
dt: “Dựng một đường thẳng thỏa mãn những điều kiện cho trước”. Có những kiểu nhiệm vụ con sau:
1
dt
T : “Dựng đường thẳng đi qua một điểm A và vuông góc với mặt phẳng ( )P
cho trước”. Kỹ thuật 1
dt
τ :
− Chọn hai đường thẳng cắt nhau a và b trong mp P( ).
− Dựng hai mặt phẳng ( )α và ( )β qua A và lần lượt vuông góc với a và
b.
− Giao tuyến của ( )α và ( )β là đường thẳng cần tìm. J I K M N B C D A
Công nghệ 1
dt
Θ :
− Áp dụng định nghĩa đường thẳng vuông góc với một phẳng.
2
dt
T : “Dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b”. Kỹ thuật 2
dt
τ :
− Dựng mặt phẳng (P) qua a và song song với b.
− Dựng mặt phẳng (Q) qua b và vuông góc với (P). Gọi J =( )Q ∩a. − Dựng IJ ⊥a I( ∈a). IJlà đường thẳng cần dựng. Công nghệ 2 : a dt θ
− Định lý: Nếu a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.
− Hệ quả: Qua một đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P).
Kỹ thuật 2
:
b dt
τ
− Dựng mặt phẳng (P) qua a và vuông góc với b.
− Gọi I =( )P ∩b. Dựng IJ ⊥b J( ∈b). IJlà đường thẳng cần dựng. Công nghệ 2 : b dt θ
− Tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
3
dt
T : “ Dựng đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước và đi qua một điểm hoặc song song với một đường thẳng cho trước”.
Kỹ thuật 3
dt
τ :
− Giả sử dựng được đường thẳng ∆ cắt a và b lần lượt tại A và B.
− Tìm mối quan hệ của đặc điểm của hai điểm A và B với các đối tượng khác.
− Chỉ ra mỗi điểm A, Blà giao điểm của hai đường thẳng nào đó. Công nghệ 3
dt
θ :
Ví dụ: (về 3
dt
T , 3
dt
τ ) [4, tr.75] (SBT)
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CC’. Xác định đường thẳng ∆ qua M cắt AN và cắt A’B.
Lời giải [4, tr.67 – 68]
Giả sử đã dựng được đường thẳng ∆ cần tìm cắt cả AN và A’B. Gọi I, J là giao điểm của ∆ với AN và BA’. Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD) theo phương chiếu A’B. Khi đó ba điểm J, I, M lần
lượt có hình chiếu là B, I’, và M. Do đó ba điểm
B, I’, M thẳng hàng. Gọi N’ là hình chiếu của N
thì AN’ là hình chiếu của AN. Vì I thuộc AN nên
I’ thuộc AN’. Vậy I’ là giao điểm của BM và
AN’.
Từ phân tích trên ta có thể dựng đường thẳng ∆
theo các bước sau.
Lấy giao điểm I’ của AN’ và BM.
Trong mp(ANN’) dựng 'II NN'(đã có NN' CD ') cắt AN tại I. Vẽ đường thẳng MI, đó là đường thẳng ∆ cần dựng.
Kiểu nhiệm vụ Tgiaotuyen: “Dựng giao tuyến của hai mặt phẳng”. Có hai kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này.
Kỹ thuật 1
giaotuyen
τ :
− Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Công nghệ 1
giaotuyen
θ :
− Định nghĩa giao tuyến.
− Tính chất: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. − Định lý: Nếu mọi đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt
phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó. Kỹ thuật 2 giaotuyen τ : J I I' N' N M A' D' C' C B A D B'
− Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng. − Tìm phương của giao tuyến.
Công nghệ 2
giaotuyen
θ :
− Định nghĩa giao tuyến.
− Một đường thẳng xác định khi biết một điểm và một phương của đường thẳng đó.
Ví dụ: (về Tgiaotuyen, τ1giaotuyen) [18, tr.51] (SGK)
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM)
và (SAC).
Lời giải trong SGV[19, tr.48] Gọi N =SM ∩CD,O= AC∩BN. Ta thấy SO=(SAC)∩(SBM)
Ví dụ: (về Tgiaotuyen, τgiaotuyen2 ) [18, tr.54] (SGK)
Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAB) và (SCD).
Giải
(SAB) và (SCD) có điểm chung S và lần lượt đi qua hai đường thẳng song song AB
và CD nên chúng cắt nhau theo giao tuyến ∆ đi qua S và song song với AB và CD.
Trở lại câu hỏi mà chúng tôi đã đặt ra ở phần lý thuyết, để tìm điểm chung của hai mặt phẳng nếu điểm chung chưa có sẵn thì phải tìm hai đường thẳng cắt
B A D C S O N A B C D S M
nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đã cho, giao điểm của hai đường thẳng là điểm chung của hai mặt phẳng. Nhưng, tìm hai đường thẳng cắt nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng cần tìm giao tuyến như thế nào?
Quan sát các bài tập của kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi nhận thấy việc tìm hai đường thẳng trên bằng cách “mò mẫm”theo phương pháp “thử sai”.
Hai kiểu nhiệm vụ 1
dt
T và 2
dt
T của kiểu nhiệm vụ trên ở phần lý thuyết là các bài toán dựng hình mang tính tổng quát và không gắn với khối hình học. Tuy nhiên, ở phần bài tập thì các nhiệm vụ dựng hình này đều gắn liền với khối hình học và có bài toán còn gắn với số đo. Và tác giả chỉ trình bày cách dựng.
Kiểu nhiệm vụ Tmp: “Dựng mặt phẳng thỏa mãn những điều kiện cho trước”
Kỹ thuật τmp:
− Dựa trên điều kiện của mặt phẳng cần dựng, chỉ mặt phẳng cần dựng đi ba điểm không thẳng hàng, hoặc hai đường thẳng cắt nhau (hay song song).
− Dựng ba điểm không thẳng hàng, hoặc hai đường thẳng trên.
− Mặt phẳng xác định bởi ba điểm, hoặc hai đường thẳng trên là mặt phẳng cần dựng.
Công nghệθmp:
− Điều kiện xác định mặt phẳng.
Kiểu nhiệm vụ này chỉ được trình bày trong phần lý thuyết thông qua các định lí, tính chất hay hệ quả.
Kiểu nhiệm vụ Tdadien: “ Dựng một hình đa diện thỏa mãn những điều kiện cho trước”.
− Từ các dữ kiện của bài toán chỉ ra các đỉnh đa diện có mối quan hệ gì với các đối tượng đã dựng.
− Dựng các đỉnh đa diện (hoặc dựng các mặt phẳng chứa các mặt của đa diện). − Nối các đỉnh trên được đa diện cần dựng (hoặc các mặt phẳng trên cắt nhau
tạo thành đa diện).
Công nghệ θdadien
− Tính chất của hình đa diện cần dựng. − Tính chất của hình học không gian. Ví dụ: (về Tdadien, τdadien) [4, tr.60] (SBT)
Cho tứ diện ABCD, Hãy dựng một hình hộp ngoại tiếp tứ diện đó (tức là dựng một hình hộp sao cho mỗi cạnh của tứ diện là đường chéo của một mặt của hình hộp). Lời giải [4, tr.94]
Cách 1. Qua mỗi cạnh của hình tứ diện ABCD ta dựng một mặt phẳng song song với cạnh đối diện. Khi đó sáu mắt phẳng vừa dựng sẽ cắt nhau theo một hình hộp cần tìm có sáu mặt bên nằm trên sáu mặt phẳng nói trên.
Cách 2. Qua trung điểm I của AB ta dựng đoạn thẳng C D' ' bằng đoạn CD sao cho C D' 'CD và
I là trung điểm của C D' '. Qua trung điểm I' của
CD ta dựng đoạn A B' ' bằng đoạn ABsao cho ' '
A B AB và I'là trung điểm của A B' '. Khi đó rõ ràng AC BD A CB D' '. ' ' là hình hộp cần dựng.
Kiểu nhiệm vụ này chỉ xuất hiện trong SBT, ở ví dụ trên lời giải chỉ trình bày cách dựng. Vậy cách dựng xuất phát từ đâu mà có? Và khi gặp bài toán dựng hình khác học sinh sẽ ứng xử như thế nào?
I I' A D' B A' C B' D C'
Kiểu nhiệm vụ Tdagiac: “ Dựng một đa giác thỏa mãn những điều kiện cho trước”. Có các kiểu nhiệm vụ con sau:
Kiểu nhiệm vụ Ttamgiac: “Dựng một tam giác thỏa mãn những điều kiện cho trước”.
Kỹ thuật τtamgiac:
− Giả sử dựng được ∆ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán. − Chọn mặt phẳng (P) nào đó.
− Xét phép chiếu song song lên mp(P)theo phương a thích hợp sao cho dễ tìm ảnh của ∆ABC(∆A B C' ' ') và chỉ ra được đặc điểm của
', ', '
A B C .
− Dựng ∆A B C' ' '.
− Dựng các điểm A B C, , sao cho AA'BB'CC'a (nếu A, B, C lần lượt không trùng với A B C', ', ').
Công nghệ θtamgiac:
− Phương pháp phân tích đi xuống. − Tính chất của phép chiếu song song.