Ở thực nghiệm này chúng tôi chọn 3 bài toán trong đó 2 bài thuộc dạng dựng hình theo tiên đề và 1 bài thuộc dạng dựng hình tương giao. Chúng tôi sẽ phân tích chi tiết các bài toán đó dưới đây.
A. Bài toán 1
Bài toán này thuộc dạng toán dựng hình tương giao. Như đã phân tích ở chương 2, đây là dạng toán không tạo điều kiện thuận lợi cho bước phân tích xuất hiện. Tuy nhiên, chúng tôi đã thiết kế sao cho đường thẳng B1C1 không cắt đường thẳng nào trong ba đường thẳng MN, NP, MP cho nên việc dựng giao điểm của đường thẳng B1C1 và mp(MNP) bằng cách “kéo dài” các đoạn thẳng, hoặc “nối” hai điểm trên hình biểu diễn sẽ gặp khó khăn hơn. Học sinh phải dựng thêm nhiều đường thẳng phụ mới tìm được đường thẳng nằm trong mp(MNP) mà cắt đường thẳng B1C1. Nhưng, nếu học sinh phân tích và nhận ra được đặc điểm của giao điểm của B1C1 và mp(MNP) thì lời giải sẽ gọn gàng hơn. Từ đó, chúng tôi sẽ quan sát được học sinh sẽ ưu tiên cho sự lựa chọn nào.
Các biến dạy học.
Chúng tôi chỉ trình bày các biến didactic:
• V1: Vị trí tương đối giữa đường thẳng MN và mp(P, B1C1) . Có hai giá trị: + MN song song với mp(P, B1C1).
+ MN không song song với mp(P, B1C1).
• V2: Vị trí tương đối của đường thẳng B1C1 so với các đường thẳng MN, MP, NP. Có hai giá trị:
+ B1C1 không cắt đường thẳng nào trong ba đường thẳng MN, MP, NP. + B1C1 cắt một trong ba đường thẳng MN, MP, NP.
Các chiến lược.
Smrh: Chiến lược “mở rộng hình”.
Kéo dài các đoạn thẳng biểu diễn cho các đường thẳng trong mp(MNP) để tìm giao điểm của các đường thẳng đó với các đường thẳng chứa các cạnh của hình hộp. Từ đó tìm được đường thẳng nằm trong mp(MNP) cắt đường thẳng B1C1. Và giao điểm đó chính là giao điểm của đường thẳng B1C1 và
mp(MNP).
Sdd: Chiến lược “Chỉ ra đặc điểm của đối tượng cần dựng”.
Phân tích để chỉ ra giao điểm của đường thẳng B1C1 và mp(MNP) chính là giao điểm của đường thẳng B1C1 và giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và
(A1B1C1D1). Đồng thời, cũng chỉ ra được giao tuyến chính là đường thẳng qua P và song song với đường thẳng MN. Như vậy, giao điểm cần dựng là giao điểm của hai đường thẳng Px Px MN( ) và B1C1.
Sdvhv: Chiến lược “Dựa vào hình vẽ”.
Học sinh không phân tích mà dựa vào hình vẽ để suy ra MN(A B C B1 1 1 1), từ đó kẻ đường thẳng qua P và song song với MN cắt B C1 1.
Những cái có thể quan sát được .
Chiến lược Lời giải có thể
Smrh
(mở rộng hình)
Kéo dài MN cắt AD và DC lần lượt tại H và I.
Gọi Llà giao điểm của HP với DD1,Klà giao điểm của IL và D1C1, Jlà giao điểm KP và B1C1.
Vì H, I, L, K thuộc mp(MNP) nên J thuộc mp(MNP).
Sdd
(Lời giải mong đợi)
Giả sử B C1 1cắt mp(MNP) tại J. Suy ra J∈(A B C D1 1 1 1).
Vậy J∈(A B C D1 1 1 1)∩(MNP). Từ đó suy ra giao điểm của B1C1 và
mp(MNP) là giao điểm của B1C1 và giao tuyến của hai mp(MNP) và
mp(A1B1C1D1) . Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MN A B C D MNP A B C D Px MN P MNP A B C D ⇒ ∩ = ∈ ∩ . Trong mp(A B C D1 1 1 1), gọi J =Px∩B C1 1⇒ =J B C1 1∩mp MNP( ). Sdvhv (dựa vào hình vẽ)
Từ P kẻ đường thẳng Px song song với MN, Px cắt B1C1 tại điểm J
1 1 ( )
J B C mp MNP
⇒ = ∩ .
B. Bài toán 2
Bài toán này thuộc dạng toán dựng hình theo tiên đề. Bài toán không gắn với khối hình học. Để dựng được hình bắt buộc phải phân tích để tìm ra đặc điểm của đối tượng cần dựng, các mối liên hệ giữa đối tượng cần dựng và các đối tượng đã cho. Học sinh không thể xác định đối tượng cần dựng trên hình biểu diễn được mà
J D1 C1 B1 A A1 D C B M N P J K L I H D1 C1 B1 A A1 D C B M N P
chỉ mô tả đối tượng cần dựng mà thôi. Chính vì vậy, nếu học sinh không phân tích thì sẽ không tìm ra được cách dựng một cách đúng đắn.
Như vậy, qua bài toán này chúng tôi sẽ quan sát được kỹ năng phân tích của học sinh và quan sát được học sinh có gặp khó khăn gì hay không?
Các biến dạy học.
Các biến didactic:
• V3: Ngữ cảnh7 của bài toán. Có hai giá trị: + Bài toán không gắn với khối hình học. + Bài toán gắn với khối hình học.
Các chiến lược.
Sdd : Chiến lược “Chỉ ra đặc điểm của đối tượng cần dựng”.
Phân tích để chỉ ra a nằm trong ( , )mp M ∆ và song song với mp( )α . Khi đó, nếu mp M( , )∆ và mp( )α cắt nhau thì đường thẳng a sẽ song song với giao tuyến đó. Nếu mp M( , )∆ và mp( )α song song với nhau thì đường thẳng a đi qua một điểm bất kì thuộc ∆.
Svh: Chiến lược “vẽ hình”.
Học sinh vẽ đường thẳng a qua M, cắt đường thẳng ∆, và song song với một cạnh của hình bình hành biểu mp( )α .
Sxd: Chiến lược “Xác định đường thẳng”.
Học sinh không phân tích mà lí luận theo cảm tính để chỉ ra hai điểm thuộc đường thẳng cần dựng. Đường thẳng cần dựng là đường thẳng đi qua hai điểm trên.
Những cái có thể quan sát được.
Chiến lược Lời giải có thể
Sdd (lời giải mong đợi)
Giả sử dựng được đường thẳng a qua M cắt ∆ tại N, và song song với
( )α .
Vì M không thuộc ∆ cũng không thuộc ( )α , và ∆ không nằm trong
( )α nên xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: mp M( , ) ( )∆ α (hình 3.1) Suy ra N tùy ý trên ∆.
Vậy cách dựng đường thẳng anhư sau: − Lấy một điểm N tùy ý trên ∆.
− Dựng đường thẳng a đi qua hai điểm M, N. Đường thẳng a là đường thẳng cần dựng.
Trường hợp 2: mp M( , )∆ ∩( )α =b (hình 3.2) Suy ra a b .
Vậy cách dựng đừng thẳng anhư sau:
− Dựng giao tuyến b của hai ( , )mp M ∆ và mp( )α .
− Trong mp M( , )∆ dựng đường thẳng a qua M và song song với
b.
Nếu a cắt ∆ thì đường thẳng alà đường thẳng cần dựng. Nếu a∆ thì bài toán vô nghiệm.
b a ∆ Hình 3.2 α N M a ∆ Hình 3.1 α N M
Svh
(Vẽ hình)
Từ hình vẽ kết luận dựng được hay không được đường thẳng a.
Sxd
(Xác định đường thẳng)
Lấy điểm N trên đường thẳng ∆ sao cho MN ( )α . Đường thẳng a là đường thẳng đi qua hai điểm M, N.
C. Bài Toán 3
Bài toán này cũng đặt học sinh vào tình huống cần phải phân tích để tìm ra điều kiện tồn tại. Vì rằng tiên đề về dựng mặt phẳng không có trình bày trong thể chế dạy học mà chỉ có điều kiện xác định mặt phẳng nên ở câu hỏi này chúng tôi chỉ quan sát xem học sinh có phân tích để chỉ ra đặc điểm của đường thẳng cần dựng hay không? Cho nên chúng tôi không đưa ra yêu cầu dựng mà chỉ dừng lại ở yêu cầu kiểm tra sự tồn tại. Như vậy, qua bài toán này cho phép chúng tôi một lần nữa quan sát được học sinh có thực hiện bước phân tích hay không? Và quá trình thực hiện gặp phải khó khăn gì? Các biến dạy học. Các biến didactic: a α ∆ N M a α ∆ N M
• V4: Ngữ cảnh của bài toán. Có hai giá trị: + Bài toán không gắn với khối hình học. + Bài toán gắn với khối hình học.
Các chiến lược.
Sdd: Chiến lược “Chỉ ra đặc điểm của đối tượng cần dựng”.
Giả sử nếu tồn tại đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Từ đó suy ra được đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng. Sau đó biện luận trường hợp tồn tại.
Svh: Chiến lược “vẽ hình”.
Học sinh vẻ đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng a, b và đi qua điểm M. Sau đó kết luận là có tồn tại hoặc không tồn tại đường thẳng ∆.
Những cái có thể quan sát được.
Chiến lược Lời giải có thể
Sdd
(Chiến lược mong đợi)
Giả sử tồn tại đường thẳng ∆ qua M và cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại I
và J.
Suy ra ∆ ⊂(M a, ),
(M b, ) (M a, ) (M b, )
∆ ⊂ ⇒ ∆ = ∩
Vì (M a, ) và ( , )M b là hai mặt phẳng
phân biệt và có điểm Mlà điểm chung nên tồn tại giao tuyến của hai mặt phẳng ( , )M a và (M b, ).
Để giao tuyến trên thỏa mãn thì hai đường thẳng a và b phải cắt giao tuyến. Nghĩa là a cắt mp(M,b) và b cắt mp(M,a).
Vậy nếu a cắt mp(M,b) và b cắt mp(M,a) thì tồn tại đường thẳng ∆
thỏa yêu cầu bài toán và ∆ =(M a, )∩(M b, ).
Ngược lại, thì không tồn tại đường thẳng nào thỏa yêu cầu bài toán. a b ∆ J I M
Svh
(Vẽ hình)
Có tồn tại đường thẳng ∆
Sự lựa chọn giá trị của biến và ảnh hưởng lên các chiến lược.
Bài toán 1.
Đối với biến V1, chúng tôi lựa chọn MN song song với mp(P, B1C1) nhằm mục đích tạo thuận lợi cho học sinh lựa chọn chiến lược Sdd.
Biến V2 nhận giá trị B1C1 không cắt đường thẳng nào trong ba đường thẳng
MN, MP, NP mục đích nhằm ưu tiên chiến lược Sdd và không ưu tiên các chiến lược
Smrh, Sdvhv.
Bài toán 2.
Biến V3 nhận giá trị là bài toán không gắn với khối hình học nhằm bắt buộc học sinh sử dụng chiến lược Sdd, các chiến lược khác tỏ ra không hiệu quả.
Bài toán 3.
Đối với biến V4, chúng tôi chọn bài toán không gắn với khối hình học nhằm bắt buộc học sinh sử dụng chiến lược Sdd, các chiến lược khác tỏ ra không hiệu quả.
Bảng 3.1 – Thống kê sự lựa chọn chiến lượcvà kiểm chứng giả thuyết. Bài toán Chiến lược Kiểm chứng giải thuyết
Kiểm chứng Chưa xác định Bài toán 1 Sdd: Chỉ ra đặc điểm của đối tượng cần dựng X Svh: Mở rộng hình X a b ∆ J I M
Sdvhv: Dựa vào hình vẽ X Bài toán 2 Sdd: Chỉ ra đặc điểm của đối tượng cần dựng X Svh: Vẽ hình X Sxd: Xác định đường thẳng X Bài toán 3 Sdd: Chỉ ra đặc điểm của đối tượng cần dựng X Svh: Vẽ hình X 3.2.3 Phân tích A posteriori
Thực nghiệm được tiến hành vào đầu tháng 3 năm 2012 trên 3 lớp 11. Hai lớp của trường THPT Buôn Hồ tỉnh Đak Lak, 1 lớp trên địa bàn TP.Hồ Chí Minh ở trường THPT Lê Quý Đôn. Tổng số học sinh là 116. Đối tượng học sinh mà chúng tôi chọn là lớp gồm nhiều em học sinh có học lực khá và đều học sách nâng cao. Mỗi học sinh được phát một phiếu thực nghiệm, một tờ giấy nháp. Học sinh làm việc độc lập trong thời gian là 40 phút, với thời gian trên chúng tôi dự đoán sẽ đủ cho học sinh giải hết các bài toán.
Để thuận tiện cho phân tích hậu nghiệm, chúng tôi mã hóa các học sinh tham gia trả lời các câu hỏi từ A1 đến A116.
Sau đây là kết quả chi tiết của thực nghiệm.
Bài toán 1.
Bảng 3.2 – Thống kê số lượng sử dụng các chiến lược trong bài toán 1
Chiến lược Smrh Sdd Sdvhv Tổng
Số lượng 52 25 39 116
Tỉ lệ 44,8% 21,6% 33,6% 100%
1. Chiến lược Sdd chiếm 21,6%. Trong khi, ở câu hỏi này chúng tôi đã thiết kế câu hỏi sao cho ưu tiên chiến lược Sdd. Tuy nhiên, trong lời giải học sinh không trình bày bước phân tích mà bước phân tích xuất hiện một cách ngầm ẩn.
2. Có tới 33,6% học sinh sử dụng chiến lược Sdvhv, điều này có nghĩa học sinh đã dự đoán được mối liên hệ của đối tượng cần dựng với đối tượng khác nhưng học sinh lại không phân tích. Từ đó, cho thấy nhiều học sinh gặp khó khăn ở bước phân tích.
3. Trong số các câu trả lời sử dụng chiến lược Smrh , chúng tôi thống kê có 21 học sinh cho kết quả đúng, có 15 học sinh chưa tìm được giao điểm và có 16 học sinh nhầm lẫn vị trí tương đối của hai đường thẳng dẫn đến cho kết quả giao điểm không chính xác. Quan sát phần gạch bỏ trên bài làm và cả ở giấy nháp ở những học sinh chưa tìm được giao điểm thì nhận thấy họ không thay đổi chiến lược mặc dù chiến lược đang sử dụng đang tỏ ra không hiệu quả, chúng tôi cũng không nhận thấy có sự phân tích nào về đặc điểm của đối tượng cần dựng.
Qua phân tích trên cho thấy, khi học sinh đứng trước một bài toán dựng hình tương giao thường ít quan tâm đến bước phân tích để tìm ra đặc điểm của đối tượng cần dựng mà thường tìm cách “mở rộng hình” với mong muốn tìm được các giao điểm của các đường thẳng và từ đó dựng được hình cần dựng. Đồng thời, qua kết quả thực nghiệm trên cũng cho thấy có nhiều học sinh thiếu kỹ năng phân tích nên gặp khó khăn ở bước phân tích.
Như vậy, kết quả thực nghiệm của bài toán 1 cho phép hợp thức một phần giả thuyết bài toán.
Bài toán 2.
Bảng 3.3 – Thống kê số lượng sử dụng các chiến lược trong bài toán 2.
Chiến lược Sdd Svh Sxd Chiến lược
khác Tổng
Số lượng 41 54 17 4 116
Qua bảng 3.3 cho thấy:
1. Khi đặt vào trường hợp bài toán cần phải có bước phân tích để tìm được cách dựng thì số lượng học sinh sử dụng chiến lược Sdd nhiều hơn bài toán trên và chiếm 35,3% . Tuy nhiên, trong số học sinh sử dụng chiến lược Sdd chỉ có 3 học sinh (2,6%) thực hiện được bước phân tích và tìm ra được cách dựng, còn lại các học sinh đều bế tắc ở bước phân tích.
2. Số lượng học sinh sử dụng chiến lược Svh vẫn nhiều nhất chiếm 46,6% , đa số học sinh chỉ vẽ hình mà không đưa ra lời giải thích nào hết, số học sinh còn lại có đưa ra lời giải thích nhưng không hợp lí, chẳng hạn như:
HS A46: “ vì qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có duy một đường thẳng song với mặt phẳng ấy và ∆ cắt mp( )α nên a cắt ∆”.
HS A25: “Điều kiện tồn tại ∆ ∩( )α ≠ ∅”.
Hoặc, HS A76: “ Qua điểm M có vô số đường thẳng song song với
( )
mp α , ta chọn một đường thẳng cắt ∆ thì đó là đường thẳng cần dựng”. 3. Có 14,7% học sinh sử dụng chiến lược Sxd, điều này cho thấy học sinh cố gắng để xác định được đường thẳng trên hình biểu diễn. Nhưng, học sinh không giải thích được điểm N lấy trên ∆ như thế nào? Và điểm này có phải lúc nào cũng tồn tại hay không? Điều trên, cho thấy có nhiều học sinh cho rằng đối tượng cần dựng luôn luôn tồn tại và đi tìm cách dựng để vẽ được đối tượng ấy trên hình biểu diễn mà không quan tâm đến bước phân tích để xác định điều kiện tồn tại của đối tượng cần dựng. Điều này có thể do học sinh lớp 11, chủ yếu được tiếp cận với các bài toán dựng hình tương giao mà đối tượng cần dựng luôn luôn tồn tại.
4. Có 3,4% học sinh làm chiến lược khác, chiến lược khác là những học sinh bỏ không làm bài, hoặc vẽ hình nhưng chưa đầy đủ các đối tượng mà bài toán đã cho.
Như vậy, qua kết quả thực nghiệm của bài toán 2 giúp cho chúng tôi khẳng định có nhiều học sinh bỏ qua bước phân tích hoặc gặp bế tắc ở bước phân tích khi giải bài toán dựng hình trong không gian. Đồng thời, cũng cho thấy học sinh không
nắm vựng kỹ năng cũng như phương pháp để thực hiện bước phân tích. Điều này,