4. Các dàn lọc đa kênh (Multi-channel Filter Banks)
4.2.3. Phân tích miền nhiều pha
Lý do chính của việc phân tích nhiều pha của dàn lọc hai kênh lấy mẫu xuống hệ số 2 là để mở rộng tín hiệu và đáp ứng xung bộ lọc thành các chỉ số phần chẵn và lẻ (cùng với một số thuật ngữ pha thích hợp). Khá tự nhiên, trong trường hợp N kênh với lấy mẫu xuống hệ số N, sẽ có N thành phần nhiều pha. Việc lựa chọn pha trong các thành phần nhiều pha là tùy ý, nhưng phải phù hợp.
Do đó, các tín hiệu đầu vào có thể được chia ra thành các thành phần nhiều pha của nó như sau:
Định nghĩa các vector nhiều pha như:
xp(z) = (X0(z) X1(z) … XN – 1(z))T
Các thành phần nhiều pha của bộ lọc tổng hợp gi được định nghĩa tương tự, đó là
Ma trận nhiều pha của dàn lọc tổng hợp được cho bởi
[Gp(z)]ji = Gij(z)
Cần chú ý đến chuyển vị ẩn. Đến hệ số pha và chuyển vị, dàn lọc phân tích được phân tách tương tự. Bộ lọc được viết như sau:
(2.31) Trong đó
(2.32)
Ma trận phân tích nhiều pha sau đó được xác định như sau:
[Hp(z)]ji = Hij(z)
Ví dụ, các vector của các kênh tín hiệu,
y(z) = (y0(z) y1(z) … yN – 1(z))T
y(z) = Hp(z)xp(z)
Đặt tất cả cùng nhau, đầu ra của các dàn lọc phân tích / tổng hợp trong Hình 3.10 có thể được viết như sau:
Tương tự như trường hợp hai kênh, chúng ta có thể xác định ma trận hàm truyền Tp(z) = Gp(z)Hp(z). Sau đó, kết quả giống như trong trường hợp hai kênh.
Định lý 2.1 Dàn lọc đa kênh
a) Aliasing (chồng phổ) trong một hệ thống một chiều bị hủy bỏ khi và chỉ khi các ma trận hàm truyền là giả tuần hoàn [311].
b) Cho một dàn lọc phân tích lấy mẫu xuống hệ số N với ma trận nhiều pha Hp(z), tái thiết tự do alias là có thể nếu và chỉ nếu bậc bình thường của Hp(z) bằng với N.
c) Đưa ra một dàn lọc phân tích FIR lấy mẫu quan trọng, tái thiết hoàn hảo
d) với các bộ lọc FIR là có thể nếu và chỉ nếu det(Hp(z)) là trễ thuần túy.
Lưu ý rằng các điều chế và biểu diễn nhiều pha có liên quan thông qua ma trận Fourier. Ví dụ, người ta có thể xác minh rằng
(2.33) Trong đó Fkl = = .