4. Các dàn lọc đa kênh (Multi-channel Filter Banks)
4.3.2. Dàn lọc điều chế Cosin
Những vấn đề liên quan đến dàn lọc điều chế phức tạp có thể được giải quyết bằng cách sử dụng điều chế cosin thích hợp. dàn lọc điều chế cosin như vậy là rất quan trọng trong thực tế, ví dụ như trong nén âm thanh. Vì chúng thường có chiều dài L = 2N (trong đó N là tỷ lệ lấy mẫu xuống), đôi khi chúng được gọi là điều chế LOT, hoặc MLT. Được gọi là dàn lọc Princen-Bradley. Chúng tôi sẽ nghiên cứu một lớp của dàn lọc điều chế lọc cosin ở một số chiều sâu. Dàn lọc điều chế cosin, chúng tôi xem xét ở đây là một trường hợp đặc biệt của dàn lọc gương giả cầu phương (PQMF) khi chiều dài bộ lọc được giới hạn hai lần số lượng các kênh L = 2N. Bộ lọc giả QMF đã được đề xuất như một phần mở rộng đến N kênh của bộ lọc QMF hai kênh cổ điển. Giả QMF hệ thống phân tích / tổng hợp đạt được nói chung chỉ hủy bỏ các hạn răng cưa chính (răng cưa từ các kênh lân cận). Tuy nhiên, khi chiều dài bộ lọc được giới hạn L = 2N, họ có thể đạt được tái thiết hoàn hảo. Do cấu trúc điều chế và cũng giống như trong trường hợp STFT, có những thuật toán tính toán nhanh, làm cho các ngân hàng bộ lọc như vậy hấp dẫn cho việc triển khai.
Một họ của dàn lọc PQMF mà loại bỏ được giới hạn aliasing chính:
(2.41) cho các bộ lọc phân tích (Hpr[n] là đáp ứng xung của cửa sổ). Các tần số điều chế của cosines ở π/2N, 3π/2N, ..., (2 N - 1) π/2N, và cửa sổ nguyên mẫu là một bộ lọc thông thấp với sự hỗ trợ [- π/2N, π/2N] . Sau đó, bộ lọc thứ k là một bộ lọc thông dải với sự hỗ trợ từ kπ / N (k +1) π / N (và một hình ảnh phản chiếu từ - kπ / N - (k +1) π / N), do đó bao gồm các phạm vi từ 0 đến π bằng nhau. Lưu ý rằng với k = 0 và N - 1, hai búp hợp nhất thành một bộ lọc thông thấp và bộ lọc thông cao tương ứng. Trong trường hợp tổng quát, aliasing chính bị hủy bỏ vì giá trị của pha có thể như sau
Với giá trị này của pha, và trong trường hợp đặc biệt L = 2N, thiết lập lại chính xác đã đạt được. điều này mang lại các bộ lọc có dạng:
(2.42) Với k = 0, …, N – 1, n = 0, …, 2N – 1. Vì chiều dài bộ lọc là 2N, chúng ta có LOT, và chúng ta sử dụng các hình thức trong 3.4.4. Nó có thể được chỉ ra rằng do cấu trúc của các bộ lọc, nếu hpr[n] = 1, n = 0, …, 2N – 1, thì (2.20) và (2.21) giữ nguyên. Ý tưởng để chứng minh như sau: Chiều dài là 2N, mỗi bộ lọc có một đuôi trái và phải có chiều dài là N. nó có thể được xác mình rằng với sự lựa của pha như trên thì tất cả các bộ lọc có đuôi trái đối xứng (hk [N/2 – 1 – l ] = hk
[N/2 + l ], với l = 0, …, N/2 – 1) và đuôi phản đối xứng bên phải (hk [3N/2 – 1 –
l ] = hk [3N/2 + l ], với l = 0, …, N/2 – 1). Sau đó, trực giao của các đuôi sau vì sản phẩn của đuôi trái và phải là hàm lẻ, và do đó tổng bằng 0. Ngoài ra mỗi bộ lọc trực giao với phiên bản điều chế của nó và có tiêu chuẩn 1, và do đó chúng ta có một trực giao LOT.
Giả sử bây giờ chúng ta sử dụng một cửa số đối xứng hpr[n]. chúng tôi muốn tìm điều kiện theo (2.20) - (2.21) vẫn giữ nguyên. Gọi Bi là các khối trong (2.20) - (2.21) khi không sử dụng hàm cửa sổ hoặc hpr[n] = 1, n = 0, …, 2N – 1, và Ai là các khối với một cửa sổ đối xứng chung hpr[n]. sau đó, chúng ta có thể biểu diễn A0 theo B0 như:
Vì hpr là đối xứng, đó là hpr[n] = hpr[2N – 1 – n], và W biểu thị ma trận cửa sổ. sử dụng ma trận đường chéo J
Rất dễ để xác minh A1 có liên quan đến B1, trong một kiểu dáng giống nhau, cho tới một lối vào đảo của hàm cửa sổ, hoặc:
A1 = B1JWJ (2.46)
Cũng lưu ý rằng dó cấu trúc đặc biệt của cosin phức tạp nên điều sau là thực sự tốt:
, (2.47)
Vì vậy lấy (2.20) và thay thế các biểu thức A0 và A1 cho trong (2.43) và (2.46)
Bây giờ sử dụng (2.47), trở thành:
Trong đó thực tế chúng ta sử dụng J2 = I. nói cách khác, việc tái thiết hoàn hảo được giữ như sau:
(2.48) Đó là một đặc tính bù công suất. sử dụng biểu thức A0 và A1.
Điều kiện (2.48) cũng quy định hình dạng của cửa sổ. Ví dụ, nếu thay vì chiều dài là 2N, một cửa sổ sử dụng chiều dài ngắn hơn là 2N - 2M, sau đó ngoài các hệ số M của mỗi "đuôi" (nửa cửa sổ không đổi đối xứng) được thiết lập là 0, và bên trong M những hệ số được thiết lập là theo (2.48).
Bảng 2.1: các giá trị của cửa sổ bù công suất sử dụng các dàn lọc điều chế cosin phát sinh (cửa sổ thỏa mãn 2.48). Nó là đối xứng (hpr[16 – k – 1] = hpr[k])
Hình 2.12. Một ví dụ về dàn lọc điều chế cosin với N = 8. (a) đáp ứng xung cho bốn bộ lọc đầu tiên. (b) Các đáp ứng cường độ của tất cả các bộ lọc được đưa ra. Cửa sổ nguyên mẫu đối xứng có chiều dài 16 với hệ số8 đầu tiên được đưa ra trong Bảng 2.1.
Xem xét trường hợp N = 8. Tần số trung tâm của bộ lọc điều chế hk[n] là (2k +1) 2π/32, và vì đây là một điều chế cosin và các bộ lọc là có thật, có một búp gương ở (32 - 2k - 1) 2π/32 . Cho các bộ lọc h0 [n] và H7 [n], hai búp những chồng lên nhau để tạo thành một thông thấp và bộ lọc thông cao đơn, tương ứng, trong khi h1 [n], ..., h 6 [n] là bộ lọc thông dải. Một cửa sổ đối xứng có độ dài 16 và thỏa mãn (2.48) được đưa ra trong Bảng 2.1, trong khi những đáp ứng xung của bốn bộ lọc đầu tiên cũng như những đáp ứng cường độ của tất cả các bộ lọc điều chế được đưa ra trong hình 2.12